2022年-有答案-山东省济南市章丘区高三(上)期中数学试卷

2022学年山东省济南市章丘区高三（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 已知集合𝐴＝{𝑥|

<1}，𝐵＝{𝑥|𝑥2−2𝑥−8>0)，则𝐴∩𝐵＝（ ）

B.(4, +∞) D.(1, 4)

A.(−∞, −2)∪(4, +∞) C.(−2, 0)∪(1, 4)

2. 复数𝑧=

2−𝑖1−2𝑖

（𝑖为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

A.第一象限

3. 已知𝑎＝log23，𝑏＝log48，𝑐＝ln2，则实数𝑎，𝑏，𝑐的大小关系是（ ） A.𝑐<𝑎<𝑏

4. 已知平面向量＝(2, 𝑚)，＝(1，-A.1

B.2

C.3

），且|2-|＝|2+|，则|+|＝（ ）

D.4

B.𝑐<𝑏<𝑎

C.𝑏<𝑎<𝑐

D.𝑎<𝑏<𝑐

5. “|𝑥−3|<1”是“A.充要条件

C.必要不充分条件

>1”的（ ）

B.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

6. 函数𝑓(𝑥)＝的图象大致为（ ）

试卷第1页，总17页

A. B.

C.

D.

7. 若𝑥>0，𝑦>0，且𝑥+4𝑦＝7，则+的最小值为（ ）

A.2

B. C. D.

8. 设𝑓(𝑥)是定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的函数，𝑓′(𝑥)为其导函数，𝑓(1−2𝑥)=

𝑓(2𝑥−1)，𝑓(−2)=0，当𝑥>0时，−𝑥𝑓′(𝑥)<𝑓(𝑥)，则使得𝑓(𝑥)>0成立的𝑥的取值范围是（ ） A.(−2, 0)∪(0, 2) C.(−∞, −2)∪(0, 2)

B.(−∞, −2)∪(2, +∞) D.(0, 2)∪(2, +∞)

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分

若命题“∃𝑥∈𝑅，(𝑘2−1)𝑥2+4(1−𝑘)𝑥+3≤0”是假命题，则𝑘的值可能为（ ） A.−1

函数𝑓(𝑥)＝𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0, 𝐴>0)的部分图象如图所示，则（ ）

B.1

C.4

D.7

试卷第2页，总17页

A.

B. C. D.

为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型𝑦＝𝑐𝑒𝑘𝑥拟合比较合适，令𝑧＝ln𝑦，得到𝑧＝1.3𝑥+𝑎，经计算发现𝑥，𝑧满足如表：

天数𝑥天 2 𝑧 则（ ） A.𝑐＝𝑒−0.2

3 4 5 6 1.5 4.5 5.5 6.5 7 B.𝑘＝1.3

C.𝑐＝𝑒0.2

D.𝑘＝−1.3

已知函数𝑓(𝑥)＝有8个零点，则（ ） A.𝑚的最小值为1 C.𝑚的最大值为3

，若函数𝑔(𝑥)＝[𝑓(𝑥)]2−4𝑓(𝑥)+𝑚+1恰

B.𝑚的最小值为2 D.𝑚无最大值

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

已知sin𝛼cos𝛼＝-

，𝛼∈(0, 𝜋)，则cos𝛼−sin𝛼＝________．

先将函数𝑦=cos(𝑥+𝜑)（𝜑∈(0, 𝜋)）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3个单位长度，所得函数图象关于𝑦轴对称，则𝜑=________．

在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=𝐵𝐶=3，𝐴𝐵=2，点𝑀和点𝑁分别是边𝐵𝐶和边𝐴𝐵上的点，且满足𝑀𝐶=2𝐵𝑀，𝐴𝑁=𝑁𝐵，则𝐴𝑀⋅𝐶𝑁=________．

在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，其外接圆的半径为1．若𝑎cos𝐴+

→

→

→

→

→

→𝜋

𝑏cos𝐵+𝑐cos𝐶＝，则△𝐴𝐵𝐶的面积为________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤

在①𝐶=4，②△𝐴𝐵𝐶的面积为12√3，③𝐵𝐴⋅𝐵𝐶=𝑎𝑐−𝑏𝑐sin𝐴这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．

试卷第3页，总17页

𝜋

→

→

问题：在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，_____，且𝑎sin𝐵+√3𝑏cos𝐴=√3𝑏，△𝐴𝐵𝐶的外接圆的半径为4．求△𝐴𝐵𝐶的周长．

某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成

[0, 1）,[1, 2),[2, 3),[3, 4),[4, 5),[5, 6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）． 乙班同学学习数学平均时间的频率分布表

学习数学时间区间 频数 [0, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6]

2 5 10 16 14 3

（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0, 2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0, 1)范围内的概率；

（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为𝜉，求𝜉的分布列和数学期望．

已知向量𝑎=(cos𝑥, cos𝑥+sin𝑥)，𝑏=(√3sin𝑥, cos𝑥−sin𝑥)，且函数𝑓(𝑥)＝𝑎⋅𝑏．

2

2

→

→

1

1

→→

（1）求𝑓(𝑥)的解析式及单调递增区间；

（2）若𝛼为锐角，且𝑓(𝛼)＝3，求cos2𝛼的值．

在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐．已知𝑏+𝑎(sin𝐶−cos𝐶)＝0． （1）求𝐴；

试卷第4页，总17页

1

（2）若𝐷为𝐵𝐶边上一点，且𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐵𝐶＝(2

已知函数𝑓(𝑥)＝(log2𝑥)2−2log2𝑥+𝑎2．

（1）若对任意𝑥∈(0, +∞)，𝑓(𝑥)>0恒成立，求𝑎的取值范围；

（2）设𝑚>1，若对任意𝑥∈[2, +∞)，不等式𝑓（𝑚(2𝑥−2−𝑥)）<𝑓(4𝑥+4−𝑥−1)恒成立，求𝑚的取值范围．

已知函数𝑓(𝑥)=(𝑒𝑎𝑥−1)ln𝑥(𝑎>0)．

（1）当𝑎=1时，求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在（1, 𝑓(1)）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若关于𝑥的方程𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑎𝑥在[1, +∞)上恰有三个不同的实数解，求𝑎的取值范围．

+2)𝐴𝐷，求sin2𝐵．

试卷第5页，总17页

参与试题解析

2022学年山东省济南市章丘区高三（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 【答案】 A

【考点】 交集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 2. 【答案】 A

【考点】

复数的代数表示法及其几何意义 【解析】

本题主要考查复数的运算及复数的几何意义. 【解答】

解：∵ 𝑧=1−2𝑖=(1−2𝑖)(1+2𝑖)=5+5𝑖，

∴ 复数𝑧在复平面内对应的点的坐标为(,)，位于第一象限.

53

2−𝑖

(2−𝑖)(1+2𝑖)

4

3

故选𝐴. 3. 【答案】 B

【考点】

对数值大小的比较 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 4. 【答案】 C

【考点】

平面向量数量积的性质及其运算 【解析】 此题暂无解析

试卷第6页，总17页

【解答】 此题暂无解答 5. 【答案】 B

【考点】

充分条件、必要条件、充要条件 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 6. 【答案】 C

【考点】

函数的图象与图象的变换 【解析】

根据函数奇偶性的概念判断𝑓(𝑥)为奇函数，排除选项𝐵和𝐷；再对比余下两个选项，不妨比较𝑓(1)与0的大小关系． 【解答】

取𝑥＝1，则𝑓(1)＝故选：𝐶． 7. 【答案】 B

【考点】

基本不等式及其应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 8. 【答案】 B

【考点】

利用导数研究函数的单调性 【解析】

，排除选项𝐴，

根据题意构造函数𝑔(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)，由求导公式和法则求出𝑔′(𝑥)，结合条件判断出𝑔′(𝑥)的符号，即可得到函数𝑔(𝑥)的单调区间，根据𝑓(𝑥)是偶函数判断出𝑔(𝑥)是奇函数，由𝑓(−2)=0求出𝑔(−2)=𝑔(2)=0，结合函数𝑔(𝑥)的单调性、奇偶性将问题转化为𝑔(𝑥)>𝑔(2)，求出不等式成立时𝑥的取值范围即可．

试卷第7页，总17页

【解答】

由题意设𝑔(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)， 则𝑔′(𝑥)=𝑥𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)，

∵ 当𝑥>0时，有𝑥𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)>0， ∴ 则当𝑥>0时，𝑔′(𝑥)>0，

∴ 函数𝑔(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)在(0, +∞)上为增函数，

∵ 𝑓(1−2𝑥)=𝑓(2𝑥−1)，故函数𝑓(𝑥)是偶函数，

∴ 𝑔(−𝑥)=(−𝑥)𝑓(−𝑥)=(−𝑥)[𝑓(𝑥)]=−𝑥𝑓(𝑥)=−𝑔(𝑥)， ∴ 函数𝑔(𝑥)为定义域上的奇函数， 由𝑓(−2)=0得，𝑔(−2)=−𝑔(2)=0，

𝑓(𝑥)>0即𝑥>0时，𝑔(𝑥)>0=𝑔(2)，解得：𝑥>2， 𝑥<0时，𝑔(𝑥)<0，解得：𝑥<−2

∴ 使得𝑓(𝑥)>0成立的𝑥的取值范围是：(−∞, −2)∪(2, +∞)，

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分 【答案】 B,C

【考点】

全称命题与特称命题 全称量词与存在量词 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 A,B,C,D

【考点】

由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 A,B

【考点】

求解线性回归方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 B,D

【考点】

函数的零点与方程根的关系

试卷第8页，总17页

【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 【答案】

-

【考点】

同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 5𝜋 6【考点】

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 【解析】

由题意利用函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得𝜑的值． 【解答】

先将函数𝑦=cos(𝑥+𝜑)（𝜑∈(0, 𝜋)）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），

可得𝑦=cos(𝑥+𝜑)的图象；

21

再向左平移3个单位长度，可得函数𝑦=cos(2𝑥+6+𝜑)的图象， 根据所得函数图象关于𝑦轴对称，可得 +𝜑=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，则𝜑=

6𝜋

5𝜋6

𝜋1𝜋

，

【答案】 8− 3【考点】

平面向量数量积的性质及其运算 【解析】

画出图形，利用已知条件表示所求向量的数量积的向量，然后利用数量积公式求解即可． 【解答】

试卷第9页，总17页

在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=𝐵𝐶=3，𝐴𝐵=2，点𝑀和点𝑁分别是边𝐵𝐶

和边𝐴𝐵上的点，且满足𝑀𝐶=2𝐵𝑀，𝐴𝑁=𝑁𝐵，如图： 𝐴𝑀=3𝐴𝐶+3𝐴𝐵，𝐶𝑁=2𝐶𝐴+2𝐶𝐵， 则𝐴𝑀⋅𝐶𝑁=(3𝐴𝐶+3𝐴𝐵)⋅(2𝐶𝐴+2𝐶𝐵) 1→21→→1→→1→→=−𝐴𝐶+𝐴𝐵⋅𝐶𝐴+𝐴𝐶⋅𝐶𝐵+𝐴𝐵⋅𝐶𝐵

6363111132+32−22112

=−×3−×3×2×+×3×3×(−)+×2×3×

63362×3×333=−3． 【答案】

8→

→

1→

2→

1→

1→

→

1→

2→

→

1→

1→

→

→

→

→

【考点】 正弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 【答案】

因为𝑎sin𝐵+√3𝑏cos𝐴=√3𝑏，

由正弦定理可得sin𝐴sin𝐵+√3sin𝐵cos𝐴=√3sin𝐵， 因为sin𝐵≠0，

所以sin𝐴+√3cos𝐴=√3，可得sin(𝐴+)=

3𝜋

√3， 2

因为𝐴∈(0, 𝜋)，𝐴+∈(, )，

3

3

3

𝜋𝜋4𝜋

所以𝐴+3=

𝜋2𝜋

，可得𝐴=3， 3

𝑎2

𝜋

由于△𝐴𝐵𝐶的外接圆的半径𝑅=4， 由正弦定理可得√3=8，解得𝑎=4√3，

若选①：𝐶=4，可得𝐵=𝜋−𝐴−𝐶=12，由正弦定理可得√2+√6=

4𝜋5𝜋𝑏𝑐√22=8，解得△

试卷第10页，总17页

𝐴𝐵𝐶的周长为𝑎+𝑏+𝑐=4√3+2√6+6√2； 若选②：△𝐴𝐵𝐶的面积为12√3=𝑏𝑐sin𝐴=

21

√3𝑏𝑐，解得𝑏𝑐4

=48，

又由余弦定理可得48=𝑏2+𝑐2−𝑏𝑐=(𝑏+𝑐)2−3𝑏𝑐=(𝑏+𝑐)2−3×48，解得𝑏+𝑐=8√3，

解得△𝐴𝐵𝐶的周长为𝑎+𝑏+𝑐=4√3+8√3=12√3； 若选③：𝐵𝐴⋅𝐵𝐶=𝑎𝑐−𝑏𝑐sin𝐴，

可得𝑎𝑐cos𝐵=𝑎𝑐−𝑏𝑐sin𝐴，即𝑎cos𝐵=𝑎−𝑏sin𝐴， 由正弦定理可得sin𝐴cos𝐵=sin𝐴−sin𝐵sin𝐴，由于𝐴=3， 可得sin𝐵+cos𝐵=√2sin(𝐵+4)=1，可得sin(𝐵+4)=因为𝐵+∈(, )，可得𝐵+=

4

4

4

4

𝜋

𝜋5𝜋

𝜋

3𝜋4

𝜋2

𝜋

𝜋

√2， 2

𝜋6

𝜋

→

→

，解得𝐵=，𝐶=𝜋−𝐴−𝐵=，

由正弦定理可得𝑏=8sin𝐵=8，𝑐=8sin𝐶=4， 解得△𝐴𝐵𝐶的周长为𝑎+𝑏+𝑐=12+4√3． 【考点】

余弦定理 正弦定理 【解析】

由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sin𝐵≠0，可得sin(𝐴+)=

3𝜋

√3，2

结合范围𝐴+∈(, )，可求𝐴的值，进而利用正弦定理可求𝑎的值，

3

3

3

𝜋𝜋4𝜋

若选①：利用三角形内角和定理可求𝐵，由正弦定理可求𝑏，𝑐的值，即可解得△𝐴𝐵𝐶的周长；

若选②：利用三角形的面积公式可得𝑏𝑐=48，由余弦定理可解得𝑏+𝑐=8√3，即可得解△𝐴𝐵𝐶的周长；

若选③：利用平面向量数量积的运算，正弦定理，两角和的正弦公式可求sin(𝐵+4)=

√2，结合范围𝐵2

𝜋

+4∈(4, 4)，可求得𝐵=2，利用三角形内角和定理可求𝐶，由正弦定

𝜋𝜋5𝜋𝜋

理可得𝑏，𝑐的值，即可得解△𝐴𝐵𝐶的周长． 【解答】

因为𝑎sin𝐵+√3𝑏cos𝐴=√3𝑏，

由正弦定理可得sin𝐴sin𝐵+√3sin𝐵cos𝐴=√3sin𝐵， 因为sin𝐵≠0，

所以sin𝐴+√3cos𝐴=√3，可得sin(𝐴+)=

3𝜋

√3， 2

因为𝐴∈(0, 𝜋)，𝐴+3∈(3, 3)， 所以𝐴+3=

𝜋

2𝜋

𝜋𝜋4𝜋

，可得𝐴=3， 3

𝑎2

𝜋

由于△𝐴𝐵𝐶的外接圆的半径𝑅=4， 由正弦定理可得√3=8，解得𝑎=4√3，

试卷第11页，总17页

若选①：𝐶=，可得𝐵=𝜋−𝐴−𝐶=

4𝜋

5𝜋12

，由正弦定理可得√2+√6=

4

𝑏𝑐√22

=8，解得△

𝐴𝐵𝐶的周长为𝑎+𝑏+𝑐=4√3+2√6+6√2； 若选②：△𝐴𝐵𝐶的面积为12√3=𝑏𝑐sin𝐴=

21

√3𝑏𝑐，解得𝑏𝑐4

=48，

又由余弦定理可得48=𝑏2+𝑐2−𝑏𝑐=(𝑏+𝑐)2−3𝑏𝑐=(𝑏+𝑐)2−3×48，解得𝑏+𝑐=8√3，

解得△𝐴𝐵𝐶的周长为𝑎+𝑏+𝑐=4√3+8√3=12√3； 若选③：𝐵𝐴⋅𝐵𝐶=𝑎𝑐−𝑏𝑐sin𝐴，

可得𝑎𝑐cos𝐵=𝑎𝑐−𝑏𝑐sin𝐴，即𝑎cos𝐵=𝑎−𝑏sin𝐴， 由正弦定理可得sin𝐴cos𝐵=sin𝐴−sin𝐵sin𝐴，由于𝐴=3， 可得sin𝐵+cos𝐵=√2sin(𝐵+4)=1，可得sin(𝐵+4)=因为𝐵+4∈(4, 4)，可得𝐵+4=

𝜋

𝜋5𝜋

𝜋

3𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

√2， 2

𝜋

𝜋

→

→

，解得𝐵=2，𝐶=𝜋−𝐴−𝐵=6， 4

由正弦定理可得𝑏=8sin𝐵=8，𝑐=8sin𝐶=4， 解得△𝐴𝐵𝐶的周长为𝑎+𝑏+𝑐=12+4√3． 【答案】

易知乙班人数共有50人，即甲班共有50人．

甲班在[0, 2)中的人数有50×(0.04+0.08)×1＝6（人），在[0, 1)中的人数有50×0.04＝2（人）．

令𝐴＝事件“3人中恰有1人学习数学“，故𝑃(𝐴)＝．

即3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0, 1)范围内的概率为0.6．

甲班中每天学习数学时间不小5小时的人数为50×0.08＝4（人），乙班有3人． 故甲乙两班每天学习数学不小于5小时的人数共有4+3＝7人．

从这7人中任取4人，设4人中乙班学生的人数为𝜉，𝜉的可能取值为0，1，2，3．

；；

；

故𝜉的分布列为：

．

𝑃 0 1 2 3 试卷第12页，总17页

故期望𝐸𝜉＝

【考点】

离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】

＝．

（1）先利用组合数公式求出从全部人数、[0, 1)中求出任选3人的取法数，然后再利用概率公式计算概率；

（2）先求出两个班中每天学习数学平均时间不小于5个小时的人数，然后再求出𝜉取值的所有情况，且求出对应的概率，最后列出分布列、求出期望值． 【解答】

易知乙班人数共有50人，即甲班共有50人．

甲班在[0, 2)中的人数有50×(0.04+0.08)×1＝6（人），在[0, 1)中的人数有50×0.04＝2（人）．

令𝐴＝事件“3人中恰有1人学习数学“，故𝑃(𝐴)＝．

即3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0, 1)范围内的概率为0.6．

甲班中每天学习数学时间不小5小时的人数为50×0.08＝4（人），乙班有3人． 故甲乙两班每天学习数学不小于5小时的人数共有4+3＝7人．

从这7人中任取4人，设4人中乙班学生的人数为𝜉，𝜉的可能取值为0，1，2，3．

；；

；

故𝜉的分布列为：

．

𝑃 0 1 2 3

故期望𝐸𝜉＝【答案】

1→→

𝑓(𝑥)＝𝑎⋅𝑏＝√3cos𝑥sin𝑥+(cos𝑥+sin𝑥)(cos𝑥−sin𝑥)

2＝．

试卷第13页，总17页

=

√3sin2𝑥2𝜋

+2cos2𝑥＝sin(2𝑥+6)，

𝜋

𝜋

1𝜋

令−2+2𝑘𝜋≤2𝑥+6≤2+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍， 得−3+𝑘𝜋≤𝑥≤6+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，

所以函数𝑓(𝑥)的单调递增区间为[−3+𝑘𝜋，6+𝑘𝜋](𝑘∈𝑍)． 因为𝛼为锐角，所以2𝛼+∈(,

6

6𝜋𝜋

𝜋7𝜋

61

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

)，

1

又因为0<𝑓(𝛼)＝sin(2𝛼+6)＝3<2， 所以2𝛼+∈(,𝜋)，

6

2𝜋

𝜋

所以cos(2𝛼+6)＝−

𝜋2√23𝜋6

，

𝜋6

所以cos2𝛼＝cos[(2𝛼+)−]

=cos(2𝛼+)cos+sin(2𝛼+)sin＝6

6

6

6

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

1−2√6． 6

【考点】

平面向量数量积的性质及其运算 两角和与差的三角函数 【解析】

（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可． （2）利用函数的解析式求解cos(2𝛼+6)＝−【解答】

1→→

𝑓(𝑥)＝𝑎⋅𝑏＝√3cos𝑥sin𝑥+(cos𝑥+sin𝑥)(cos𝑥−sin𝑥)

2=

√3sin2𝑥2𝜋

𝜋

2√2，然后利用二倍角公式求解即可． 3

+2cos2𝑥＝sin(2𝑥+6)，

𝜋

𝜋

1𝜋

令−2+2𝑘𝜋≤2𝑥+6≤2+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍， 得−3+𝑘𝜋≤𝑥≤6+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，

所以函数𝑓(𝑥)的单调递增区间为[−+𝑘𝜋，+𝑘𝜋](𝑘∈𝑍)．

3

6

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

因为𝛼为锐角，所以2𝛼+6∈(6,

𝜋

𝜋𝜋7𝜋

61

)，

1

又因为0<𝑓(𝛼)＝sin(2𝛼+6)＝3<2， 所以2𝛼+6∈(2,𝜋)， 所以cos(2𝛼+6)＝−

𝜋

2√23

𝜋

𝜋

，

试卷第14页，总17页

所以cos2𝛼＝cos[(2𝛼+)−]

6

6𝜋

𝜋

=cos(2𝛼+)cos+sin(2𝛼+)sin＝6

6

6

6

𝜋𝜋𝜋𝜋

1−2√6． 6

【答案】

因为𝑏+𝑎(sin𝐶−cos𝐶)＝0，

所以sin𝐵+sin𝐴(sin𝐶−cos𝐶)＝0，

所以sin𝐴cos𝐶+cos𝐴sin𝐶+sin𝐴sin𝐶−sin𝐴cos𝐶＝5，即cos𝐴sin𝐶+sin𝐴sin𝐶＝0， 因为0<𝐶<𝜋，所以sin𝐶≠2，则tan𝐴＝−1，

因为0<𝐴<𝜋，所以𝐴＝因为𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，

．

所以𝑆△𝐴𝐵𝐶＝因为𝐵𝐶＝(2

𝑏𝑐sin𝐴＝+2)𝐴𝐷，

，即𝑏𝑐＝𝑎⋅𝐴𝐷，

所以𝐴𝐷＝

，所以𝑎2＝(4+

）𝑏𝑐，

2

由余弦定理可得𝑎2＝𝑏7+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴，则(6++𝑐8+𝑏𝑐2＝5，即𝑏＝𝑐，

因为𝐴＝【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】

，所以𝐵＝＝．

可令𝑡＝log2𝑥，则𝑦＝𝑡2−2𝑡+𝑎2，由𝑥>0，可得𝑡∈𝑅， 对任意𝑥∈(2, +∞)，等价为𝑡∈𝑅2−2𝑡+𝑎7>0恒成立， 则△＝4−5𝑎2<0，解得𝑎>5或𝑎<−1；

令𝑡＝log2𝑥，因为𝑥≥5，

因为𝑦＝𝑡2−2𝑡+𝑎7的对称轴为𝑡＝1，所以𝑦＝𝑡2−3𝑡+𝑎2在[1, +∞)递增，+∞)递增，

因为𝑥≥8，所以2𝑥−2−𝑥≥>2，4𝑥+2−𝑥−1>2，

因为𝑚>8，所以𝑚(2𝑥−2−𝑥)>8，

因为𝑓（𝑚(2𝑥−2−𝑥)）<𝑓(4𝑥+4−𝑥−1)，所以𝑚(5𝑥−2−𝑥)<4𝑥+3−𝑥−1，即𝑚<

试卷第15页，总17页

，

因为4𝑥+4−𝑥−2＝(2𝑥−2−𝑥)4+1，所以𝑚<2𝑥−8−𝑥+，

因为2𝑥−2−𝑥≥，所以2𝑥−2−𝑥+≥+＝，故𝑚<

，

因为𝑚>1，所以𝑚的取值范围是(4，【考点】

函数恒成立问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】

）．

当𝑎=1时，𝑓(𝑥)=(𝑒𝑥−1)ln𝑥，可得𝑓(1)=0， 𝑓(𝑥)的导数𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥ln𝑥+

𝑒𝑥−1ln𝑥

，

所以切线的斜率为𝑘=𝑓′(1)=𝑒−1， 则切线的方程为𝑦=(𝑒−1)(𝑥−1)，

该切线与𝑥轴的交点为(1, 0)，与𝑦轴的交点为(0, 1−𝑒)， 所以所求三角形的面积为×1×(𝑒−1)=

21

𝑒−12

；

显然𝑥=1为方程𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑎𝑥的根， 当𝑥>0且𝑥≠1时，原方程等价于设𝑔(𝑥)=

𝑒𝑥−1𝑥

𝑒𝑎𝑥−1𝑎𝑥

=

𝑥−1ln𝑥

=

𝑒ln𝑥−1ln𝑥

，

(𝑥>0)，𝑔′(𝑥)=

(𝑥−1)𝑒𝑥+1

𝑥2

，

设ℎ(𝑥)=1+(𝑥−1)𝑒𝑥(𝑥>0)，ℎ′(𝑥)=𝑥𝑒𝑥>0，可得ℎ(𝑥)在(0, +∞)递增， 则ℎ(𝑥)>ℎ((0)=0，即𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥)在(0, +∞)递增， 原方程等价于𝑔(𝑎𝑥)=𝑔(ln𝑥)，

只需𝑎𝑥=ln𝑥在(1, +∞)上有两个不等实根． 故只需𝑎𝑥=ln𝑥在(1, +∞)上有两个不等的实根． 则𝑎=

ln𝑥𝑥

(𝑥>1)，

ln𝑥𝑥

设𝑘(𝑥)=

(𝑥>1)，𝑘′(𝑥)=

1−ln𝑥𝑥2

，

可得𝑘(𝑥)在(1, 𝑒)递增，在(𝑒, +∞)递减，

试卷第16页，总17页

则𝑘(𝑥)的最大值为𝑘(𝑒)=，又𝑘(1)=0，

𝑒1

所以𝑎的范围是(0, 𝑒)．

【考点】

利用导数研究曲线上某点切线方程 函数的零点与方程根的关系 【解析】

（1）求得𝑎=1时，𝑓(𝑥)的导数，可得切线的斜率和方程，可得切线与𝑥，𝑦轴的交点，由三角形的面积公式，可得所求值；

（2）显然𝑥=1为方程𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑎𝑥的根，当𝑥>0且𝑥≠1时，原方程等价于

𝑒𝑎𝑥−1𝑎𝑥

1

=

𝑥−1ln𝑥

=

𝑒ln𝑥−1ln𝑥

，构造函数𝑔(𝑥)=

𝑒𝑥−1𝑥

(𝑥>0)，求得导数，判断单调性，可得原

方程即为𝑎𝑥=ln𝑥，由参数分离和构造新函数，求得导数和最值，即可得到所求范围． 【解答】

当𝑎=1时，𝑓(𝑥)=(𝑒𝑥−1)ln𝑥，可得𝑓(1)=0， 𝑓(𝑥)的导数𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥ln𝑥+

𝑒𝑥−1ln𝑥

，

所以切线的斜率为𝑘=𝑓′(1)=𝑒−1， 则切线的方程为𝑦=(𝑒−1)(𝑥−1)，

该切线与𝑥轴的交点为(1, 0)，与𝑦轴的交点为(0, 1−𝑒)， 所以所求三角形的面积为2×1×(𝑒−1)=显然𝑥=1为方程𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑎𝑥的根， 当𝑥>0且𝑥≠1时，原方程等价于设𝑔(𝑥)=

𝑒𝑥−1𝑥

𝑒𝑎𝑥−1𝑎𝑥

1

𝑒−12

；

=

𝑥−1ln𝑥

=

𝑒ln𝑥−1ln𝑥

，

(𝑥>0)，𝑔′(𝑥)=

(𝑥−1)𝑒𝑥+1

𝑥2，

设ℎ(𝑥)=1+(𝑥−1)𝑒𝑥(𝑥>0)，ℎ′(𝑥)=𝑥𝑒𝑥>0，可得ℎ(𝑥)在(0, +∞)递增， 则ℎ(𝑥)>ℎ((0)=0，即𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥)在(0, +∞)递增， 原方程等价于𝑔(𝑎𝑥)=𝑔(ln𝑥)，

只需𝑎𝑥=ln𝑥在(1, +∞)上有两个不等实根． 故只需𝑎𝑥=ln𝑥在(1, +∞)上有两个不等的实根． 则𝑎=

ln𝑥𝑥

(𝑥>1)，

ln𝑥𝑥

设𝑘(𝑥)=

(𝑥>1)，𝑘′(𝑥)=

1−ln𝑥𝑥2，

可得𝑘(𝑥)在(1, 𝑒)递增，在(𝑒, +∞)递减， 则𝑘(𝑥)的最大值为𝑘(𝑒)=𝑒，又𝑘(1)=0， 所以𝑎的范围是(0, 𝑒)．

1

1

试卷第17页，总17页