教育时空 Ｉ■ 一个传球游戏的两个模式 欧阳海平 （云南省腾冲县第一中学云南腾冲６７９１００） 中图分类号：Ｇ８４３．１９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９—９１４Ｘ（２０１０）１５—０１５６—０２ 传球游戏、跳格游戏、涂色游戏是学习高中数学《排列、组合、二 项式定理》一章时的常见问题 对这类问题的求解教学，可有效训练学生思 维的灵活性与严谨性，提高学生发散思维的能力。本文通过对一个传球游戏 的探究，给出了该游戏在两种不同传球模式下的求解策略，在某种程度上实现 了“三个游戏”在特定条件下的相互转化。 下面是一道常见的传球游戏题及一般解法： 题目：篮球场上三人互相传球，由甲开始做第一次传球，经过５次传球后， 球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数有种 解析：３人相互传球可看作如下３种情况： （１）中途不再传给甲，有２种传球方法： 匣二］二二［］二工Ⅱ （２）第二次传球时将球传给甲，有４种传球方法 ｌ！ ｌ Ｉ！ ｌ Ｉ ｌ！ Ｉ （３）第三次传球时将球传给甲，有４种传球方法： ｌ甲 Ｉ ｌｌ甲 Ｉ Ｉ甲 Ｉ 由分类计数原理得：共有不同的传球方法１ ０种。 笔者认为该方法虽然使用了最基本的分类计数原理，但当传球人数和传球 次数增加时，如继续使用此方法，求解过程较繁。 笔者分别对传球游戏的两种模式进行了有效的探究，并成功地进行了转 化，同时也寻找到一类“跳格游戏”和一类“涂色游戏”的求解之路。 传球模式ｌ（跳格游戏）：篮球场上＾， ，４ ，４＇共 （， ２，ｎ ｚ）人围 成如图１所示环形进行传球游戏，每人只可将球传给相邻的两人，现由 开始 第一次传球，若经过ｓ（ｓ ２ ∈ｚ）次传球后，球在＾（１Ｅｉ ， 且传球次数足眵翻手中， 则不同传球方法共有 ＋（ ＋０ ＋…＋ 种（其中，‘，屯，ｔ ．．ｔ 为关于ｔ 的方程 一 时＋ｉ—ｌ（ｋ∈ｚ，０ １的整数解）。 证明：将 ， ， ， 按图２顺序排列到数轴上。 易知数轴上的点Ａ满足 ：础＋ｆ—ｌ（ｋ∈ｚ）。于是问题转化为：位于原点 的点Ａ每次向右或向左移动一个单位，经过 次移动后，点Ａ所在位置满足 ＝ｎｋ＋ —ｌ（｜ｉ＿∈Ｚ）。 设 次传球中逆时针方向传球ｆｆｏ ｆ ，１∈ｚ）ＺＸ，则顺时针方向的传球 次 一ｆ，相当于数轴上点Ａ从原点出发，向右移动ｔ个单位，向左移动Ｓ ｔ个 单位。 图１ 图３ ＾Ｍ＾｜＇＾ｌ＾Ｉ＾ｌ ＾ ： 蒲 一 一一一—一＿＾ ●—！ ：— ●——－● — ● －—２．一．．：一 ：●一・・ ●＿：：＿－●１ －—●—＿ ● －＿－’ － Ｉ－Ｉ ２ ｎ＾ｎ ｎ．１ ｎ＋２ ｎ １ ａＩ－２扣 ＇知孙＇ 图２ 图３一ｌ 图３—２ 图３－３ １５６ ｉ科技博览 所以，，一 ～ｔ）：２ｔ— ＝ｉｔ／ｒ＋ｉ－Ｉ，解得ｔ的所有可能取值为： ｆＩ，ｆ２，ｔ３，… ：因此，不同的传球方法共有（ ＋ｃ ＋ｃ ＋…＋ 种。 传球模式２（涂色游戏）：篮球场上 ・ ， ．－一．， 共 》 ∈ｚ）人 围成如图１所示环形进行传球游戏，每人均可将球传给除他本人外的任何一 人，现由Ａ开始第一次传球，经过 ≯２ ｓ．三Ｚ）次传球后。 （１）若球在 手中，则不同传球方法共有Ａｍ ， ：—（ｎ１）１１－ｉ（１－—一ｎ）￣＇－ｔ１种：（２） 若球在 （１ ｃｊ《 手中，则不同传球方法共有 种：（３）若球在＾手中 且每人至少传球１次（ ”），则不同传球方法共有种∑（＿ Ｍ —ｉ， 。 ，＝０ 证明：（１）将每一次的传球者画成图３的形式。 由于传球游戏中，传球者不能将球传给自己，因此，问题转化为使用ｎ种不 同的颜色中的至少两种为图３中的 块区域涂上颜色，第一块必须涂颜色Ａ （下同）且相邻区域不能涂同一种颜色。 定义两个记法：使用ｎ种不同颜色为形如图３的由ｍ块区域组成的环形涂 色，第一块必须涂颜色Ａ，记每相邻两块不能使用同一颜色的不同涂色方法有 Ⅲ）种，第 块可以使用颜色 、其他相邻区域均不能使用同一颜色的 不同涂色方法有种，则第块使用颜色、其他相邻区域均不能使用同一颜色的 不同涂色方法有 １）种。 所以：为图３的 块区域涂色的不同方法数有ＭＯＬ ；州Ｍ ）一Ｍ（ｎ，ｓ一１）， 显然，Ｎ（ｎ．ｓ）＝（ｎ－１） ：当图３中第 块使用颜色Ａ时，将第 块合并到第ｌ块， 如图３—１， 则为其中 —ｌ 块区域涂色的不同方法有 Ｍ（ｎ．ｓ一１］ Ｎ（ｎ，ｓ—１）一Ｍ（ｎ ～２）种，显然，Ⅳ —１）： 一１） ：当图３中第 、 一１块使用颜色Ａ时，将第 、 —ｌ块合并到第１块，如图３－２，则为其中 一２ 块区域涂色的不同方法有 武 一２）＝Ｎ（ｎ，ｓ一２）一ＭＯ￣．ｓ一３）种， 显然， ，（豫 —２）＝伽１） ；当图３中第ｓ、 —ｌ、 一２…．、５，４块使用颜色Ａ时，将 第 、 —ｌ、 一２… 、６，５、４块合并到第１块，如图３～３，则为其中３块区域 涂色的不同方法有＾ ” ∞＝Ｍ ３）一Ａｆ 种，显然，Ⅳ（砖３）；枷一１） ：当图３ 中第 、 一１、 一２… 、５．４、３块使用颜色 时，将第ｓ、 ～１ 一２…． 、３ 块合并到第１块，如图３～４，显然，为其中２块区域涂色的不同方法有 州 ２）＝枷一１）种。 所以，为图３中的 个区域的不同涂色方法数有 ＭＯ￣ｓ）＝Ⅳ ， ）一Ｍ（ｎ， －１） Ｖ 』 ，‘ —１）＋ ＾ Ｏ ，Ｊ一２） ＝ⅣＯ‘ 一Ｎ（ｎ，ｓ－１）＋ＮＯｔ，￥－２）一 ＾ Ｏｌ， 一２） ＝Ⅳ（，‘ ）一Ｎ（ｎ，ｓ一１）＋Ⅳ（ 一２）一 ．＋（一１） ’３ ｌ，３）＋（＿１） ＾ｒ（Ｊｌ，２） Ｏｌ一１） 一一Ｏｌ—１） 。＋（＂一１） ｑ一．．．＋（＿１） －３（”一１）。＋ １） （”一１） 一（＿ｌ！： （ＪＪ—１）｛ｌ一【一（”一１）】 ） １一卜（Ｈ １）】 （ 一１）４一（１一订） ｝ ：＝＋ｕ－－—－－－－－．．． ．－－．．－－．．－－．—— ．．． 儿 图３—４ 图４ 图５ 教育时空 ●Ｉ 不断学习与时俱进 朱瑞芬中图分类号：Ｇ７２ 文献标识码：Ａ 丁建荣 江苏张家港２１５６００） （张家港市文化广电新闻出版局有线传输中心文章编号：１００９—９１４Ｘ（２０１０）１５—０１５７一Ｏｌ “人不学习要落后”——这是一句永远不老的老话：“人不能终身工作， 却要终身学习”一一这是学习型社会倡导的新理念。“知识”是一种神圣 的“怪物”，怪就怪在它与其它资源不一样，任凭权力再大、财富再多、武 户和５２９０户宽带用户。虽然我们从事广电工作十几年，但科学技术的日新月 异，感到知识的贫乏，我们总是以请教的姿态和各位专家、行家商量工作，对 单向的有线电视网，改为多功能业务的双向网，有了更深刻的了解，并制订出了 力再强、手段再狠，也掠夺和俘虏不到“知识”。获取知识的途径只能是 实施客户经理制的运行模式。事实上，我们维护安装部要有继承、有创新、 学习。 有业绩、有收获，除了积极思考，真抓实干，没有知识的储备是做不到的。近 结合我们的具体情况，谈三点体会： 年来，我们在为用户服务上取得了一些成绩，２００９年我们被评为江苏省广播电 １学习的态度 视技术维护先进集体。但是在个体和局部细节上，还存在许多不足，稍有松 年龄越大越要学习。古人说，少而好学，如日出之阳：壮而好学，如日中之 懈，就有可能退出第一方阵。因此，我们必须率先垂范，以只争朝夕、时不我 光：老而好学，如秉烛之明。这说明学习在我们一生中的每一个阶段都是至关 待的紧迫感，以争做表率、争创一流的责任感，大力营造“以学为本、以学 重要的。对于一个有自知力的人来说，越学习就会越感到自己知识的不足甚 为荣”的良好氛围，持续提高做好新形势下广电工作的能力和水平。 至无知。虽然生命的规律不可逆转，年纪越大接受能力会相对越小，但是，只 ３学习的目的 要你还在工作，我们的岗位就不会因此而降低对我们的要求。一只蜜蜂在生 学以致用。一是体现在学思相长上。知识是一种原料，能把原料变成产 命的最后时期还在学习采蜜的最佳时间和最短途径，可见，生存的挑战使动物 品的人，是学习成功的人。学习后放进脑袋的知识，就像农民打来的粮食，放 都具备了终身学习的本能，何况一个处在快速发展的社会环境中有思想的人 进锅里的米，而思考则像火，没有火，米就不能成为饭。知识也一样，不经过思 呢？此外，不学习，一个人求新求异的勇气就会慢慢消失，对新生事物的感知能 考它还是原来的知识。当然，只思考不学习也不行，这就像用火在烧一个没有 力就会慢慢退化，就容易沉湎过去，自我封闭，即使在已经离岗的老年人身上， 加入米的空锅，也是空耗时间。学习是需要思考地学，用心地学，才能更好地吸 这样的状态也是只有百害而无一利的。 收，更好地理解，也才能使知识转化成能量，转化成生产力。如果把思考比做汽 ２学习的内容 车，那我们给汽车加１００升燃料，汽车行驶了一段距离，再走还需要再加燃料。 科学理论和业务知识是任何一个岗位对从业者的要求。中国党历来 学习和思考也一样，当我们把知识用完时，必须补充新的知识，思考（思考就是 的一系列思想成果是当今时代最有影响力的理论。一名干部如果不下功 产生智慧的过程）才有效。学，思考：思考，再学。它们不断交替地发展，人，才 夫把这些理论学好、学深、学透，就无法在工作中坚持原则，坚定信念，坚决行 能从中得到切实的进步。二是体现在指导工作上。今年我们在本系统率先推 动，就没有强烈的责任心和事业心，凭借正直之气、正义之气、正派之气、公 行客户经理制，我们部门不仅要拿出切实可行的实施方案，而且要取得成效，才 平公正之气和真善美之气，去实践好自身的工作职能。只有讲学习，政治上才 能保持领先地位。在这其中，我们必然会面临许多新问题，如果我们自身不加 可能成熟，才可能自觉改造自己的主观世界，才谈得上讲正气，去引导部门以奋 强学习，如果维护安排部没有不断积累的新知识，这个方案是很难实施的，我们 发向上、昂扬进取的精神状态，切实克服工作中可能存在的精神不振、作风疲 的职责、维护安装部的职能也就很难履行好。 沓、不思进取、不求上进、无所用心、无所作为的现象，而只有讲正气，才可 周恩来同志曾经号召广大干部要“活到老、学到老、改造到老”。我 能堂堂正正做人，光明磊落办事，去力行克勤克俭，拒腐防变，坚持正确，改正错 们这个年龄的人，对这句话有很深的感触。我们将更加重视学习，更要善于学 误，带动部门风气的根本好转，使集体越来越富有凝聚力和执行力。 习，在岗一天，就干好一天，哪一天退了，也无怨无悔。 我们维护安装部是传输中心最大的部门，管理着市区７８９００户数字电视用 （２）如（１）所述，可将此问题转化为：用 种不同的颜色中的至少两种为图 ４所示 ＋１的块区域涂色，且相邻区域不得使用同一颜色，现已知第ｌ块和第 ｃａｍＩＭＯ１）ＮＭ（６）ｎ ）ｎ．．．ＡＭ（ｉ￣．４）ｎ＾ （ｊ ＿３）】＝Ｍ（３， ＋ｌ块已涂好颜色。 若第 ＋ｌ块尚未涂色，由（ｔ）可知，其余 块区域共有不同的涂色方法种数 （２ ‘＜ｊ２＜ ＜…＜ｌ 《‘一３ 哪，这样的集合共有 个： 为 ＋ｌ＝）。由概率相关知识知，第ｓ＋ｌ块涂成任何一种颜色（不可能为 ｃ州Ｍ嫡）ＮＭ（ｉ￣）Ｎ 如）ｎ…ｎ 一４）ｎＭ（Ｉ ＿３）ＮＭ（／￣ ）］＝ 五 Ａ）的可能性相同。因此当第 ＋１块区域已涂好颜色时，所剩下的 块区域 （２ １《 《‘《 《ｉ ４《厶＿３（１ 砷，这样的集合共有ｃ 个。 不同的涂色方法的种数有 ＾，（，Ｊ， ＋１）ｊＩ一（１一 ） Ｉ 所以，由容斥原理理：每种颜色至少使用一次的涂色方法种数有 ＩＩ一１ Ｈ ｒｄ（ ）一ｃａｒｄ（Ｍ’） （３）此问题可转化为：使用ｎ种不同颜色为图３中的Ｓ（ｓ ）块区域涂上 ＝ ， 颜色，且第１块已涂成颜色Ａ，每相邻两块不得使用同一颜色，每种颜色至少 ）一 一Ｉ， ）＋ ｌ 一２，印＿－－＋卜１）“０富Ｍ（３． ）＋（一１） ｃ （２ 使用一次。 Ｈ一２ 记集合ｕ为“所给ｎ种颜色的集合“， ＝∑（＿ｌｙＣ￣，ＭＯ，－｛ ；０ 记集合Ｍ为“使用 中至少两种颜色为图３中的 个区域涂色的方法 变式应用ｌ：Ａ、Ｂ、ｃ、Ｄ四人玩传球游戏，每人均可将球传给其它三 的集合”，ｃｃｇｄ（Ｍ）＝Ｍ（ｎ， ）， 人，现由Ａ开始传球，共传１Ｏ次，则第６次传球后和第ｌ０次传球后球都在Ｄ手 记集合Ａｆ・为“使用Ｕ中至多，ｌ＿１种颜色为图３中的 个区域涂色的方 中的不同传球方法共有～＿＿＿…一种。 法的集合”， 解：此问题可分成两部分，其中前 次传球为传球模式２（２），后４次传球 记集合 Ｏ）为“使用 ｛４）（２－＜ｉ 中的”一１种颜色中的至少两种为 为传球模式２（１），于是，不同的传球方法有 图３中的 个区域涂色的方法的集合”。 由集合和组合相关知识可得： ： ．型： ４ ４ ３８２２种 Ｍ＇＝ＭＯ）ＵＭ（３）ＵＭ（４）Ｕ．ＵＭ（ｎ－１）Ｕ （，』）： 变式应用２：Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四人玩传球游戏，每人均可将球传给其它三 ｃａｒｄ［Ｍｑ）】＝ 一１． ）（２ ｆ 三？ ，这样的集合共有（ ＝ｃ ＝”一１个； 人，现由Ａ开始传球，共传１０次，且每人至少传球１次，则第６次传球后球仍在 Ａ手中的不同传球方法有 种。 ｃａｒｇ［Ｍ（ｉ￣）ＮＭｑ２）］ Ｍ（ｎ ２ ）（２≤ｆＩ＜ｉ２≤，Ｊ），这样的集合共（ 有 解：此问题为传球模式２（３），于是，不同的传球方法有 个： ｆ州 瓴）ｒｉ￣ｌ（ｉ２１ ｒｌ＾嘶３）】＝ ｍ一３ ）（２ 《 ｆ３ ，０，这样的集合共 ：Ｉ二（二苎：Ｉ＿ ：Ｉ：（二 ！＋ ： 二 ！ ：１２饼冲 有 －】个： 说明：本文所有公式使用ＭａｔｈＴｙｐｅ ５．Ｏａ编辑。 科技博览ｌ １５７
