2011届苏教版中考数学图形的旋转专题提高训练[1]

2011届苏教版中考数学图形的旋转专题提高训练

前 言

动态几何题已成为中考试题的一大热点题型。动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等。 在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。

解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动” 的一般规律。通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。

1、动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．

2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．

3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．

本专题集四边形、三角形相似、三角形全等和图形的平移、旋转于一体，考查的知识点较多，综合性较强，需要学生有扎实的基础和熟练运用各类知识的能力。

图形的旋转专题提高训练

1、如图，△ACB≌△ACB，BCB=30°，则ACA的度数为（ ） A．20°

C

2、如图，已知△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图（1）中的△ACB绕点C顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为 cm（保留根 号）。

D

CB A

B．30° A

C．35° D．40°

B C (F)

图（2）

3、如图3，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P′AC，则∠PAP的度数为________．

A图 7P′PB4、如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （ ）

A D E M F

B

C

A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4

5、如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E＝30°，D为AB的中点，AC＝1，若△DEC绕点D顺时针旋转，使ED、CD分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M、N，则当△DMN为等边三角形时，AM的值为

A．3

B．

233 C．33 D．1

6、如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ． D A B D C E B C

7、将直角边长为5cm的等腰直角ΔABC绕点A逆时针旋转15°后,得到ΔAB’C’,则图中阴影部分的面积是 cm2

8、在矩形ABCD中，AD2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转．当三角板的两直角边与AB，BC分别交于点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．

A M B F N C E D （8题图）

9、在矩形ABCD中，AB=2，AD=3．

（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（3分） ．

（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．

①求证：点B平分线段AF；（3分）

②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．（4分）

10、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(8，0)，直线BC经过点

B(8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形OABC，

此时直线OA、直线BC分别与直线BC相交于点P、Q． （1）四边形OABC的形状是 ， 当90°时，

BPBQ的值是 ；

（2）①如图2，当四边形OABC的顶点B落在y轴正半轴时，求

BPBQ的值；

②如图3，当四边形OABC的顶点B落在直线BC上时，求△OPB的面积．

（3）在四边形OABC旋转过程中，当0≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使

BP12BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

B B A P C y y Q C y A  Q） B（B P B C A

O （图2）

x A O （图3）

C x A O （备用图）

x

（第26题）

11、已知Rt△ABC中，ACBC，∠C90，D为AB边的中点，EDF90°， EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证S△DEFS△CEF12 S△ABC．当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

12、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

E A D

A G G E

C B 图②

F E F D

A D A A

D

A

E C

D

E C

D

C

F 图2

B

E

图3

B

B F

F 图1

B 图①

F C B 图③

C

0，将△ABC绕点B顺时针旋转角13、在△ABC中，ABBC2，ABC12°(0°90°)得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；

C

D A1 C C1

A1 F B D E F B

C1

E A A

（2）如图2，当30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求ED的长．

14、含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角（90），再沿A的对边翻折得到△ABC，AB与BC交于点M，AB与BC交于点N，AB与AB相交于点E． （1）求证：△ACM≌△ACN．

（2）当30时，找出ME与MB的数量关系，并加以说明．

B

A

M E C

N

B

A

15、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．

16、如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE，DG． （1）求证：BEDG．

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．

AQAQPB图①

PCB图②

CE A B

D F

C

G

17、已知：正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N． 当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图1），易证BMDNMN．

（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

A D A D A D

N

N

B

M 图1

C

B

M 图2

图3

C

M B

C

N

18、已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．

（1）求证：△BCG≌△DCE； （2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由．

19、如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，

△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）

（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）

图9 图10 图11

20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点

0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB

交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.

(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

21、在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线

yx上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线yx于点M，BC边交x轴于点N（如

图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数；

（3）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC 的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

O C

N x

y yx A M B

图形的旋转部分习题答案： 3、【答案】60°；4：C 5、 B【解析】本题考查了三角形相似、三角形旋转。由于Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E＝30°所以∠B=30°, AC＝1,所以AB=2,BC=3，又△DMN为等边

D

E A B

C

三角形时，AM的值为233。

7、【答案】

2536

8、【答案】：BM=CN。过点E作EF⊥BC，可得四边形ABFE是正方形，所以AE=EF，∠A=∠EFN.又因为∠AEF=MEN=90°，所以△AEM≌△FEN，所以AM=FN，又因为AB=FC，所以BM=CN. 点评：证明全等三角形是证明线段和角相等的方法之一，本题需要添加辅助线构建全等三角形.

9、【答案】（1）当E为CD中点时，EB平分∠AEC。

由∠D=90°，DE=1，AD=3，推得∠DEA=60°，同理，∠CEB=60°， 从而∠AEB=∠CEB=60°，即EB平分∠AEC。 （2）①∵CE∥BF，∴

CEBF=

CPBP=

12 ∴BF=2CE。

∵AB=2CE，∴点B平分线段AF

②能。 证明：∵CP=

13233，CE=1，∠C=90°，∴EP=3。

在Rt△ADE中，AE= 又∵PB=

23321 =2，∴AE=BF，

23，∴PB=PE

∵∠AEP=∠BP=90°，∴△PAS≌△PFB。

∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。

旋转度数为120°。

【解析】本题综合考查学生三角形相似及全等、矩形性质、勾股定理、旋转等等几何知识的应用。（1）发散思维的考查，让学生自己找满足条件的点，并说明理由。题目中给出AB=2，AD=3，发现满足条件的点为AB的中点；利用三角函数的知识，及平角为180度，很容易得到结论。（2）①应用相似三角形的知识得BF=2CE，且AB=2CE，所以点B平分线段AF。（3）问：△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，即证明：△PAE和△PFB是否全等。

14、答案：（1） 证明：∵∠A=∠A′ AC＝A′C ∠ACM＝∠A′CN＝900－∠MCN ∴△ACM≌△ACN （2）在Rt△ABC中

∵B30，∴∠A＝900－300＝600 又∵30，∴∠MCN＝300，

∴∠ACM＝900－∠MCN＝600



∴∠EMB′＝∠AMC＝∠A＝∠MCA＝60 ∵∠B′＝∠B＝30

∴△MEB′是Rt△MEB′且∠B′＝300 ∴MB′＝2ME 15、【证明】QAPBAC，

QAPPABPABBAC．

0

0

QA即QABPAC． 在△ABQ和△ACP中， AQAP， QABPAC，ABAC.△ABQ≌△ACP．

PBCA

D

N

E B

M

C

17、【解】（1）BMDNMN成立．

如图，把△AND绕点A顺时针90，得到△ABE， 则可证得E，B，M三点共线（图形画正确） 证明过程中，

证得：EAMNAM

证得：△AEM≌△ANM MEMNMEBEBMDNBM DNBMMN （2）DNBMMN 18、【解】（1）证明：∵四边形为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°. ∵CG＝CE，∴△BCG≌△DCE.

（2）答：四边形E′BGD是平行四边形

理由：∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′

∴CE＝AE′，∵CG＝CE，∴CG＝AE′，∵AB＝CD，AB∥CD， ∴BE′＝DG，BE′∥DG，

∴四边形E′BGD是平行四边形.

评注：本题综合考查正方形性质、全等三角形的判定、旋转的性质以及平行四边形的判定等知识，综合性，基础性较强.此类型问题是中考常考的内容，大家应当关注.