高中数学必修一第一章 集合与常用逻辑用语 练习题 (8)200808(含答案解析)

一、选择题（本大题共17小题，共85.0分）

1. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥−2<0}，𝐵={1,2,3}，则𝐴∩𝐵=( )

A. {1,2,3} B. {1} C. {3} D. ⌀

2. 已知𝑥,𝑦∈𝑅，若p：2𝑥+2𝑦>4，q：𝑥+𝑦>2，则p是q的( )。

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若集合𝐴={𝑥|−1<𝑥<2}，𝐵={−2,0，1，2}，则𝐴∩𝐵=( )

A. ⌀ B. {0,1} C. {0,1，2} D. {−2,0，1，2} 4. 已知四个命题：

⃗ 共线，则𝑎⃗ 或𝑎⃗ ； ⃗ 与𝑏①如果向量𝑎⃗ =𝑏⃗ =−𝑏②𝑥≤3是|𝑥|≤3的必要不充分条件；

2

−2𝑥0−3<0的否定¬𝑝：∀𝑥∈(0,2)，𝑥2−2𝑥−3≥0； ③命题p：∃𝑥0∈(0,2)，𝑥0

1𝑥

1𝑥

④“指数函数𝑦=𝑎𝑥是增函数，而𝑦=()是指数函数，所以𝑦=()是增函数”此三段论大

22前提错误，但推理形式是正确的． 以上命题正确的个数为( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5. 已知集合𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑥+𝑦=3}，𝐵={(𝑥,𝑦)|𝑥−𝑦=1}，则𝐴∩𝐵=( )

A. {2,1} B. {𝑥=2,𝑦=1} C. {(2,1)} D. (2,1) 6. 设m，n为直线，𝛼，𝛽为平面，则𝑚⊥𝛼的一个充分条件可以是( )

A. 𝛼⊥𝛽，𝛼∩𝛽=𝑛，𝑚⊥𝑛 B. 𝛼//𝛽，𝑚⊥𝛽 C. 𝛼⊥𝛽，𝑚//𝛽 D. 𝑛⊂𝛼，𝑚⊥𝑛

7. 已知集合𝐴={𝑥|2𝑥>𝑥+1}，𝐵={𝑥||𝑥−2|<3}，则𝐴∩𝐵=( )

A. {𝑥|−1<𝑥<5} B. {𝑥|1<𝑥<5} C. {𝑥|𝑥>−1} D. {𝑥|𝑥>1} 8. 下列叙述中正确的是( )

A. 若a，b，𝑐∈𝑅，则“𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐≥0”的充分条件是“𝑏2−4𝑎𝑐≤0” B. 若a，b，𝑐∈𝑅，则“𝑎𝑏2>𝑐𝑏2”的充要条件是“𝑎>𝑐”

C. 命题“对任意𝑥∈𝑅，有𝑥2≥0”的否定是“存在𝑥∈𝑅，有𝑥2≥0”

D. 钱大姐常说“好货不便宜”，她的意思是：“好货”是“不便宜”的充分条件 9. 若𝑝:“直线𝑦=𝑥+𝑏与圆𝑥2+𝑦2=1相交”，𝑞:“0<𝑏<1”；则p是𝑞( )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 使命题p：∃𝑥∈[−1,2),𝑓(𝑥)=−𝑥2+𝑎𝑥+4≤0为假命题的一个充分不必要条件为( )

A. 0≤𝑎<3 B. 0<𝑎<3 C. 𝑎<3 D. 𝑎>0 11. 设集合𝐴={1,2，4}，𝐵={3,4}，则𝐴∩𝐵= ( )

A. {4} B. {1,4} C. {2,3} D. {1,2，3，4}

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2

=𝑎𝑛−1⋅𝑎𝑛+1(𝑛∈𝐍∗,𝑛≥2)”是“{𝑎𝑛}为等比数列”的 ( ) 12. 在数列{𝑎𝑛}中，“𝑎𝑛

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

13. 已知集合𝐴=(−1,3],𝐵={𝑥|𝑥−1≤0}，则𝐴⋂𝐵=( )

A. [−2,1)

B. (−1,1]

1

1

𝑥+2

C. (−1,1) D. [−2,3]

14. 已知a，b为实数，则𝑎>0>𝑏是𝑎>𝑏的 ( )

B. 充分不必要条件

D. 既不充分也不必要条件

15. 设集合𝐴={0,1,2}，𝐵={𝑥|𝑥2−3𝑥+2≤0}，则𝐴⋂𝐵=( )

A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1,2}

16. 已知𝑆𝑛是等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，则“𝑆𝑛>𝑛𝑎𝑛对𝑛≥2恒成立”是“𝑎3>𝑎4”的( )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 17. 命题“∀𝑥>0，𝑥2−𝑥≤0”的否定是( )

22

A. ∃𝑥0>0，𝑥0−𝑥0≤0 B. ∃𝑥0>0，𝑥0−𝑥0>0 C. ∀𝑥>0，𝑥2−𝑥>0 D. ∀𝑥≤0，𝑥2−𝑥>0 二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

18. “x不小于3”是“x不小于5”的 条件．

19. “若a和b都是偶数，则𝑎+𝑏是偶数”的否命题是 ;否定是 ．

20. 若𝐴={𝑥|𝑥2+(𝑚+2)𝑥+1=0,𝑥∈𝑅}，且𝐴∩𝑅+=⌀，则m的取值范围是 ．

21. A、B、C、D、E五人并排站成一排，若A，B必须相邻，且B在A的左边，那么不同的排法共

有__________种。

22. 已知集合𝐴={−1,3，2𝑚−1}，集合𝐵={3,𝑚2}.若𝐵⊆𝐴，则实数𝑚= ．

23. 已知条件𝑝:2𝑘−1≤𝑥≤−3𝑘，条件𝑞:−1<𝑥≤3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范

围是 ．

24. 满足{𝑥|𝑥2+1=0,𝑥∈𝑅}⫋𝐴⊆{𝑥|𝑥2−1=0,𝑥∈𝑅}的集合A的所有可能情况是 ． 25. 下列说法中正确的有______个．

①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面； ②一个平行四边形确定一个平面；

③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；

④已知两个不同的平面𝛼和𝛽，若𝐴∈𝛼，𝐴∈𝛽，且𝛼∩𝛽=𝑙，则点A在直线l上． 三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）

26. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥2+2𝑥+𝑝=0}，若𝐴⫋{𝑥∈𝑅|𝑥<0}，求实数p的取值范围．

A. 必要不充分条件 C. 充要条件

27. 已知集合𝐴={𝑥|𝑎𝑥2−3𝑥+2=0,𝑥∈𝑅,𝑎∈𝑅}．

(1)若A是空集，求a的取值范围;

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(2)若A中只有一个元素，求a的值，并求集合𝐴; (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．

28. 设𝐴=[−1,1],𝐵=[−2,2]，函数𝑓(𝑥)=2𝑥2+𝑚𝑥−1．

(1)设不等式𝑓(𝑥)≤0的解集为C，当𝐶⊆(𝐴∩𝐵)时，求实数m的取值范围；

(2)若对任意𝑥∈𝑅，都有𝑓(1−𝑥)=𝑓(1+𝑥)成立，试求𝑥∈𝐵时，函数𝑓(𝑥)的值域； (3)设𝑔(𝑥)=2|𝑥−𝑎|−𝑥2−𝑚𝑥(𝑎∈𝑅)，求𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)的最小值．

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-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析： 【分析】

本题考查了交集交集运算，属于基础题．

根据一元一次不等式的解法，求出集合A，再根据交集的定义求出𝐴∩𝐵． 【解答】

解：∵集合𝐴={𝑥|𝑥−2<0}={𝑥|𝑥<2}，𝐵={1,2，3}， ∴𝐴∩𝐵={1}， 故选B． 2.答案：A

解析： 【分析】

本题考查充分必要条件的判断，考查学生推理能力，属于基础题． 结合基本不等式，根据充分必要条件定义判断即可． 【解答】

解：p不能推出q，当𝑥=2、𝑦=−3时，满足p：2𝑥+2𝑦>4，但不满足q：𝑥+𝑦>2； q能推出p，当𝑥+𝑦>2时，2𝑥+2𝑦≥2√2𝑥⋅2𝑦=2√2𝑥+𝑦>2√22=4， ∴𝑝是q的必要不充分条件， 故选A． 3.答案：B

解析： 【分析】

本题考查了集合交集的运算，属于基础题． 根据集合交集的运算法则进行求解即可． 【解答】

解：因为集合𝐴={𝑥|−1<𝑥<2}，𝐵={−2,0，1，2}， 所以𝐴∩𝐵={0,1}． 故选B． 4.答案：D

解析： 【分析】

本题考查了命题真假的判定，涉及平面向量共线的充要条件，充分条件，必要条件的判断，命题否定的表示，演绎推理，属于基础题．

利用共线向量的充要条件对①进行判断，再利用必要条件、充分条件与充要条件的判断对②进行判断，再利用特称命题的否定对③进行判断，最后利用演绎推理对④进行判断，从而得结论． 【解答】

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解：对于①，因为向量，共线，不妨设一定取±1，因此①不正确； 对于②，由

得

，所以𝑥⩽3是，

，则存在唯一实数𝜆，使得成立，因为𝜆不

的必要不充分条件，因此②正确； 的否定

：

，

，因此③正

对于③，因为命题p：确；

对于④，“指数函数

是增函数，而是指数函数，所以是增函数”此三段论大

前提错误，但推理形式是正确的，因此④正确． 所以以上命题正确的个数为3． 故选D．

5.答案：C

解析： 【分析】

本题考查集合的交集运算，属于基础题．

𝑥+𝑦=3

根据题意可得{，解方程组即可求得结果．

𝑥−𝑦=1【解答】

𝑥+𝑦=3

解：根据题意得{，

𝑥−𝑦=1𝑥=2解得{，

𝑦=1因此𝐴∩𝐵={(2,1)}． 故选C．

6.答案：B

解析：

【分析】本题主要考察空间中线面位置关系的判定、充分条件的判断，考查考生的空间想象能力和推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理和直观想象.属基础题． 根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项． 【解答】解：选项A，缺少𝑚⊂𝛽这一条件，故不一定推出𝑚⊥𝛼; 选项B，显然能够推出𝑚⊥𝛼;

选项C，若m平行于平面𝛼和平面𝛽的交线，则𝑚//𝛼或𝑚⊂𝛼，故不一定推出𝑚⊥𝛼; 选项D，若𝑚⊂𝛼，则直线m不垂直于平面𝛼． 故选B． 7.答案：B

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解析： 【分析】

本题主要考查不等式的解法与集合的交运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数算．

解不等式分别计算出集合A、B，再利用交集的运算求解即可．

【解答】

解：解不等式2𝑥>𝑥+1，得𝑥>1，所以𝐴={𝑥|𝑥>1}．

解不等式|𝑥−2|<3，得−1<𝑥<5，所以𝐵={𝑥|−1<𝑥<5}． 所以𝐴∩𝐵={𝑥|1<𝑥<5}． 故选B．

8.答案：D

解析：

【分析】

本题考查简易逻辑的应用，命题的否定的应用，充分条件、必要条件、充要条件的判断，属于基础题．

逐个判断即可． 【解答】

解：对于选项A：若a，b，𝑐∈𝑅，则一元二次不等式“𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐≥0”当𝑎>0时，不等式成立的充分条件是“𝑏2−4𝑎𝑐≤0”故A错误．

对于选项B：若a，b，𝑐∈𝑅，则“𝑎𝑏2>𝑐𝑏2”是“𝑎>𝑐”的充分不必要条件条件，故B错误． 对于选项C：命题“对任意𝑥∈𝑅.有𝑥2≥0”的否定是“存在𝑥∈𝑅，有𝑥2<0”故C错误． 对于选项D：“好货”是“不便宜”的充分条件，故D正确． 故选D． 9.答案：B

解析： 【分析】

本题考查了充分必要条件，直线与圆的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

直线𝑦=𝑥+𝑏与圆𝑥2+𝑦2=1相交⇔【解答】

解：直线𝑦=𝑥+𝑏与圆𝑥2+𝑦2=1相交⇔

1，解得

．

1，解得b的范围．即可判断出结论．

∴“直线𝑦=𝑥+𝑏与圆𝑥2+𝑦2=1相交”是“0<𝑏<1”的必要不充分条件． 故选：B．

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10.答案：B

解析：

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用命题真假之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．

根据命题为真命题，求出a的范围，以及充分必要条件的定义即可得到结论． 【解答】

解：由题知非𝑝:∀𝑥∈[−1,2)，𝑓(𝑥)=−𝑥2+𝑎𝑥+4>0为真命题， 𝑓(−1)=−12−𝑎+4>0

其为真命题的充要条件为{．

𝑓(2)=−22+2𝑎+4≥0解得0≤𝑎<3

故0<𝑎<3命题p为假命题的一个充分不必要条件; 故选B． 11.答案：A

解析： 【分析】

本题主要考查集合交集的运算，属于基础题．

解题时根据集合交集的概念把所有两个已知集合的共同元素放在一起组成集合即可． 【解答】

解：因为𝐴={1,2，4}，𝐵={3,4}，则𝐴∩𝐵={4}． 故选A． 12.答案：B

解析： 【分析】

本题主要考查充分必要条件的判断，属于基础题． 由等比数列的性质可判断． 【解答】

2

解：当𝑛∈𝑁∗，𝑛≥2时，若{𝑎𝑛}为等比数列时，满足𝑎𝑛=𝑎𝑛−1⋅𝑎𝑛+1，

2若𝑎𝑛=𝑎𝑛−1⋅𝑎𝑛+1时，设𝑎𝑛=0，则{𝑎𝑛}不是等比数列，

2故𝑎𝑛=𝑎𝑛−1⋅𝑎𝑛+1(𝑛⩾2)是{𝑎𝑛}为等比数列的必要不充分条件． 故选B． 13.答案：C

解析： 【分析】

本题主要考查了交集的运算，属于基础题． 将集合B化简，再求集合A、B的交集即可． 【解答】

解：𝐵={𝑥|𝑥−1⩽0}，解𝑥−1⩽0，得−2⩽𝑥<1， 所以𝐵=[−2,1)，因为𝐴=(−1,3]，所以𝐴∩𝐵=(−1,1)．

𝑥+2

𝑥+2

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故选C．

14.答案：B

解析：

【分析】

本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题． 根据定义，结合举反例判定即可． 【解答】

解：由𝑎>0>𝑏⇒𝑎>𝑏，满足充分性；

当𝑎=1,𝑏=2时，满足𝑎>𝑏，不能推出𝑎>0>𝑏，不满足必要性， 所以𝑎>0>𝑏是𝑎>𝑏的充分不必要条件． 故选B． 15.答案：D

1

1

1

1

1

1

解析： 【分析】

本题主要考查了交集的运算及一元二次不等式的解法，属于基础题． 先对集合B化简，再求交集． 【解答】

解：由题得𝐵={𝑥|1⩽𝑥⩽2}， 所以𝐴∩𝐵={1,2}． 故选D． 16.答案：C

解析：解：设等差数列的公差为d， 当𝑛≥2时，因为𝑆𝑛>𝑛𝑎𝑛等价于

𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)

2

>𝑛𝑎𝑛，

等价于𝑎1>𝑎𝑛，等价于(𝑛−1)𝑑<0，等价于𝑑<0，𝑎3>𝑎4， 等价于𝑎4−𝑎3<0，等价于𝑑<0， 所以𝑆𝑛>𝑛𝑎𝑛(𝑛≥2)等价于𝑎3>𝑎4，

所以“𝑆𝑛>𝑛𝑎𝑛(𝑛≥2)”是“𝑎3>𝑎4”的充分必要条件．

故选：C．

根据等差数列的通项公式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列通项公式以及前n项和公式进行化简是解决本题的关键． 17.答案：B

解析： 【分析】

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本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【解答】

解：因为全称命题的否定是特称命题，

2

所以命题“∀𝑥>0，𝑥2−𝑥≤0”的否定为：∃𝑥0>0，𝑥0−𝑥0>0. 故选B.

18.答案：必要不充分

解析：

【分析】

本题考查必要不充分条件的判定，属于基础题．

首先可得x不小于3即𝑥⩾3，x不小于5即𝑥⩾5，然后根据必要不充分条件定义来判断即可． 【解答】

解：x不小于3即𝑥⩾3， x不小于5即𝑥⩾5，

由𝑥⩾5⇒𝑥⩾3，反之不成立，

故“x不小于3”是“x不小于5”的必要不充分条件， 故答案为必要不充分．

19.答案：若a和b不都是偶数，则𝑎+𝑏不是偶数;若a和b都是偶数，则𝑎+𝑏不是偶数

解析： 【分析】

本题考查命题的否定与否命题，属于基础题．

否命题即否条件也否定结论；命题的否定只否定结论． 【解答】

解：若a和b都是偶数，则𝑎+𝑏是偶数”的条件是a和b都是偶数，结论是𝑎+𝑏是偶数， 所以命题的否命题是：若a和b不都是偶数，则𝑎+𝑏不是偶数； 命题的否定是：若a和b都是偶数，则𝑎+𝑏不是偶数．

故答案为若a和b不都是偶数，则𝑎+𝑏是不是偶数;若a和b都是偶数，则𝑎+𝑏不是偶数． 20.答案：𝑚>−4

解析： 【分析】

本题考查一元二次方程的根的情况，集合的交集运算，属于简单题．

注意讨论𝐴=⌀，即𝛥=(𝑚+2)2−4<0；若𝐴≠⌀，则𝛥≥0，且方程两根𝑥1，𝑥2满足𝑥+𝑥2=−(𝑚+2)≤0{1，解得即可． 𝑥1𝑥2=1≥0

【解答】

解：因为𝐴∩𝑅+=⌀，

若𝐴=⌀，则𝛥=(𝑚+2)2−4<0，−4<𝑚<0; 若𝐴≠⌀，则𝛥≥0，即𝑚≥0或𝑚≤−4， 𝑥+𝑥2=−(𝑚+2)⩽0

, 且方程两根𝑥1，𝑥2满足{1

𝑥1𝑥2=1>0

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𝑚≥−2，故此时𝑚≥0. 综合两种情况，𝑚>−4． 故答案为𝑚>−4． 21.答案：24

解析：解：根据题意，A、B必须相邻且B在A的左边，视A、B为一个元素，且只有一种排法； 将A、B与其他3个元素，共4个元素排列， 即𝐴44=24，

则符合条件的排法有1×24=24种； 故答案为：24

根据题意，A、B必须相邻且B在A的左边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；将A、B与其他3个元素，共4个元素排列，由乘法计数原理可得答案． 本题考查排列的运用，注意分析相邻问题时，要用捆绑法． 22.答案：1

解析： 【分析】

本题考查集合之间的关系求参数，属于基础题．

由𝐵⊆𝐴，根据两个集合之间的包含关系得𝑚2=2𝑚−1，解方程即可得到答案． 【解答】

解：∵𝐵⊆𝐴，且集合𝐴={−1,3，2𝑚−1}，集合𝐵={3,𝑚2}， ∴𝑚2=2𝑚−1，解得𝑚=1， 当𝑚=1时，满足集合的性质， 故答案为1． 23.答案：𝑘⩽−1

解析： 【分析】

本题考查了必要条件，考查集合的包含关系，属基础题． 根据集合的包含关系得到关于k的不等式组，解出即可． 【解答】

解：因为𝑝:2𝑘−1≤𝑥≤−3𝑘，𝑞:−1<𝑥≤3，且p是q的必要条件， 所以q对应的集合是p对应集合的子集，即(−1,3]⊆[2𝑘−1,−3𝑘]， −1⩾2𝑘−1所以{，可得𝑘⩽−1．

3⩽−3𝑘故答案为𝑘⩽−1．

24.答案：{1}，{−1}或{1,−1}

解析： 【分析】

本题主要考查子集与真子集的概念，属于基础题．

作答时，先化简{𝑥|𝑥2+1=0,𝑥∈𝑅}=⌀，{𝑥|𝑥2−1=0,𝑥∈𝑅}={−1,1}，再求集合A的所有可能情况． 【解答】

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解：{𝑥|𝑥2+1=0,𝑥∈𝑅}=⌀，{𝑥|𝑥2−1=0,𝑥∈𝑅}={−1,1}． 因为{𝑥|𝑥2+1=0,𝑥∈𝑅}⫋𝐴⊆{𝑥|𝑥2−1=0,𝑥∈𝑅}， 所以，𝐴={−1}，{1}或{−1,1}． 故答案为{1}，{−1}或{1,−1}． 25.答案：2

解析：解：①例如，在正方体的某个顶点，三条棱相交于一点，但这三条棱所在的直线并不共面，即①错误；

②平行四边形的两组对边分别平行，根据两条平行线确定一个平面可知，平行四边形是平面图形，即②正确；

③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，即③错误； ④由平面的基本性质公理3可知，若𝐴∈𝛼，𝐴∈𝛽，且𝛼∩𝛽=𝑙，则𝐴∈𝑙，即④正确． 所以正确的有②④， 故答案为：2．

①举出特例，例如在正方体的某个顶点处；②根据两条平行线确定一个平面可知，平行四边形是平面图形；③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补；④由平面的基本性质公理3即可判断．

本题考查对空间中点、线、面的认识和平面的基本性质，考查学生的空间立体感和推理论证能力，属于基础题．

26.答案：解：∵𝐴⫋{𝑥∈𝑅|𝑥<0}， ①若𝐴=⌀，则𝛥=4−4𝑝<0，得𝑝>1; ②若𝐴≠⌀，则𝛥=4−4𝑝≥0，得𝑝≤1， 设方程两根为𝑥1，𝑥2，则𝑥1<0，𝑥2<0， 𝑥+𝑥2=−2<0此时{1，

𝑥1𝑥2=𝑝>0故0<𝑝≤1， 综上，𝑝>0．

解析：本题考查集合关系求参数的取值范围，属于基础题．

由题𝐴⫋{𝑥∈𝑅|𝑥<0}，则分①若𝐴=⌀，②若𝐴≠⌀，两种情况讨论，计算求解即可．

27.答案：解：(1)当𝑎=0时，𝐴={3}，不是空集，所以𝑎≠0；

9𝑎≠0

⇒𝑎>; 由题意得{8𝛥=9−8𝑎<0

2

(2)由题意𝑎=0或𝛥=0， 当𝑎=0时，𝐴={3}；

当𝛥=0时，𝑎=8时，𝐴={3}， 综上，集合A为{3}或{3}; (3)由题意取(1)、(2)的并集，

2

4

9

4

2

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即𝑎∈{𝑎|𝑎=0或𝑎≥8}时，A中至多有一个元素．

9

解析：本题考查集合由中元素的特征求参数值或求相应集合，属于简单题． 𝑎≠0

(1)由题意得{，解出a即可；

𝛥=9−8𝑎<0

(2)由题意𝑎=0或𝛥=0，解出a以及求出相应集合；

(3)由题意(1)、(2)的并集即为A中至多有一个元素得a的取值集合． 28.答案：解：(1)由𝐴=[−1,1]，𝐵=[−2,2]，知：𝐴∩𝐵=[−1,1]； 且二次函数𝑓(𝑥)的开口向上，𝑓(0)=−1， 由题意知不等式𝑓(𝑥)≤0的解集为C，

当𝐶⊆(𝐴∩𝐵)时，函数𝑓(𝑥)必有两零点，且两零点均在区间[−1,1]内， 𝑓(−1)⩾0

故只需：{，解得−1≤𝑚≤1，

𝑓(1)⩾0∴实数m的取值范围为[−1,1]；

(2)对任意𝑥∈𝑅，都有𝑓(1−𝑥)=𝑓(1+𝑥)成立， ∴函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=1对称； ∴−

𝑚4

=1，解得𝑚=−4，

∴函数𝑓(𝑥)=2(𝑥−1)2−3，𝑥∈[−2,2]，

∴𝑥=−2时，𝑓(𝑥)取最大值15，𝑥=1时，𝑓(𝑥)取最小值−3 ， ∴函数𝑓(𝑥)在区间B上的值域为[−3,15]； (3)令ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)，

𝑥2+2𝑥−2𝑎−1,𝑥⩾𝑎

, 则ℎ(𝑥)=𝑥+2|𝑥−𝑎|−1={2

𝑥−2𝑥+2𝑎−1,𝑥<𝑎

2

①当𝑎≤−1时，函数ℎ(𝑥)在区间(−∞,−1)是减函数，(−1,+∞)是增函数， 此时ℎ(𝑥)𝑚𝑖𝑛=ℎ(−1)=−2𝑎−2；

②当−1<𝑎<1时，函数ℎ(𝑥)在区间(−∞,𝑎)是减函数，(𝑎,+∞)是增函数， 此时ℎ(𝑥)𝑚𝑖𝑛=ℎ(𝑎)=𝑎2−1；

③当𝑎⩾1时，在区间(−∞,1)是减函数，(1,+∞)是增函数，此时ℎ(𝑥)𝑚𝑖𝑛=2𝑎−2；

ℎ(𝑥)𝑚𝑖𝑛=−2𝑎−2；ℎ(𝑥)𝑚𝑖𝑛=综上：当𝑎≤−1时，当−1<𝑎<1时，ℎ(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑎2−1；当𝑎⩾1时，

2𝑎−2．

解析：本题考查了函数的值域，函数的最值及其几何意义，二次函数的图象与性质，子集与真子集，属于较难题．

(1)可先求出𝐴∩𝐵=[−1,1]，并求出𝑓(0)=−1，从而根据𝑓(𝑥)≤0的解集为C，而𝐶⊆(𝐴∩𝐵)，这𝑓(−1)⩾0

样即可判断函数𝑓(𝑥)有两个零点，从而得出{，这样便可求出实数m的取值范围；

𝑓(1)⩾0(2)根据𝑓(1−𝑥)=𝑓(1+𝑥)便可得出𝑓(𝑥)的对称轴为𝑥=1，从而可求出m，进而得出𝑓(𝑥)，配方即可求出𝑓(𝑥)在[−2,2]上的最大、最小值，即得出其值域；

𝑥2+2𝑥−2𝑎−1,𝑥⩾𝑎

(3)可令ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)，并去绝对值号得出ℎ(𝑥)={2，从而可看出需讨

𝑥−2𝑥+2𝑎−1,𝑥<𝑎

论a：𝑎≤−1，−1<𝑎<1，以及𝑎≥1，对于每种情况判断ℎ(𝑥)的单调性，根据单调性即可求出每

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种情况下ℎ(𝑥)的最小值，即求出𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)的最小值．

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