利用图形关系进行向量线性运算-高考微专题突破含详解

一、单选题

1．已知正六边形ABCDEF，则BACDFE （ ） A．CF

B．AD

C．BE

D．0

2．如图，四边形ABCD是平行四边形，则

11ACBD（ ） 22

A．AB B．CD C．CB D．AD

3．在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点．则EB（ ） 31AC A．AB44B．ABAC

343431AC C．AB44D．ABAC

34344．已知A，B，C，D在同一平面上，其中BC的圆上，则ACABBADA（ ） A．4

B．2

1BD2，若点B，C，D均在面积为4π2C．－4

ABCD．－2 :SOBC215．已知O是ABC内一点，满足AOABBC，则S32（ ）

A．3:1 B．1:3 C．2:1 D．1:2

6．如图，在ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，BA·CA4，BF·CF1，则BE·CE的值是（ ）

A．4 B．8

7C．

83D．

47．我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若AB＝a，AD=b，AE3AF，则EF（ ） 4试卷第1页，共11页

34A．ab

77B．

34ab 2525C．

43ab 2523D．ab

778．已知非零向量a，b满足|a||b||ab|，则a与b的夹角为（ ）

πA．

6πB．

3C．

2π 3D．

5π 69．已知M(cos,sin)，Ncos,sin，P(3,3)，则|2PMPN|的最大

33值为（ ） A．23 C．23

B．33 D．23 10．若2OP3OAOB，则以下说法正确的是（ ） A．点P在线段AB上

C．点P在线段AB的反向延长线上

B．点P在线段AB的延长线上 D．点P在直线AB外

3BE，则CF（ ） 411．如图，四边形ABCD中，BC2AE2ED，BF

35A．BACB

4831B．BABC

4315C．BABC

4835D．BABC

4812．如图，在梯形ABCD中，AB2DC，E，F是DC的两个三等分点，G，H是AB的N，两个三等分点，AC分别交EG，FH于M，若MNAC，则实数的值是（ ）

试卷第2页，共11页

A．

3 101B．

32C．

5D．

1213．设O为ABC的重心，且OAOB,AB6，则ACBC的值为（ ） A．81

B．108

C．

D．72

14．在矩形ABCD中，|AD|2，设ABa,BCb,BDc，则|abc|的值为（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

15．如图，在平行四边形ABCD中，DAB60，AD2AB2，延长AB至点E，且

ABBE，则ACED的值为（ ）

A．1 B．2 C．1

2D．

316．根据图形（如图），下列结论正确的是（ ）

①PQ333313ab；①PTab；①PSab；①PRab． 222222B．①①

C．①①

D．①①

1AB，3A．①①

CD上的点，17．在四边形ABCD中，若AD，且AEF分别为AB，E，BC不共线，

1DFDC ，则EF（ ）

311A．ADBC

3321B．ADBC

3311C．ADBC

3312D．ADBC

3318．在ABC中，M，N分别为边BC，AC的中点，且向量AM与BN的夹角为120，

试卷第3页，共11页

AM2，BN3则ABAC的值为（ ） 4A．

95B．

97C．

98D．

919．如图，在平行四边形ABCD中，AE11AD，BFBC，CE与DF交于点O.设

43ABa，ADb，若AOab，则（ ）

A．

8 17B．

19 17C．

3 17D．

11 1720．已知平面向量a,b满足|b|2，b与ba的夹角为150，记mta1tbtR，则|m|的取值范围为（ ） A．[3,)

B．[2,)

C．[1,)

1D．[,)

221．如图，在ABC中，BC4，BABC4，点P为边BC上的一动点，则PAPC的最小值为（ ）

A．0 B．2

9C．

4D．3

22．已知点P为ABC内一点，PA2PB4PC0，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ） A．9:4:1

二、多选题

23．已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（ ） A．AO1ABAD 2B．1:4:9 C．3:2:1 D．4:2:1

B．ABBO0 D．2ABAD5 试卷第4页，共11页

C．AOBO

24．如图，在平行四边形ABCD中，已知F，E分别是靠近C，D的四等分点，则（ ）

A．EF1AB 23B．AFABAD

4D．BEAF9(AB)2(AD)2 16AE且

3C．BEABAD

425．已知ABC，BEEC，BF21BABC，点M满足AM33BMBF,R，则（ ） A．

1

2

B．2 311C．CMCACB

2411D．MAMBCACB

4426．等边三角形ABC中，BDDC,EC2AE，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（ ）

1A．ADABAC

2B．BEBCBA 11D．BFBABC

2323131C．AFAD

227．E，F分别是BC,CD的中点.则下列结论正确的为如图，在正方形ABCD中，（ ）

A．AEAF0 C．AEBCAEFC

B．

|ABAD|2

|CECF|3D．AC(AEAF)

228．在ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若ABAC2，ADAE4，则下列结论中正确的有（ ）

试卷第5页，共11页

12A．AD=AB+AC

33C．AB+AC13

2211B．DE=-AB+AC

33D．BC的长度为3

29．已知ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论一定正确的是（ ） A．OABA21AB 2B．OAOBOAOCOBOC C．AG11ABAC 33ABAC共线

|AB|cosB|AC|cosCD．AH与

30．如图，在同一平面内，两个斜边相等的直角三角形放置在一起，其中AB1，

ACB6，D4，则下列结论正确的是（ ）

A．AEDCACDE C．ADAB6

B．AEABAC D．ADBC3

1323第II卷（非选择题）

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三、双空题

31．N分别是ABC的边BC，如图，已知M，且BMAB上的点，

11BC，ANAB，42AM交CN于点P.

（1）若AMxAByAC，则yx的值为______.

试卷第6页，共11页

（2）若AB4，AC3，BAC60，则APCB的值为______.

32．D，E分别是直线AB，AC上的点，AE2BE，如图，在ABC中，AB2，AC1，

CD4AC，且BDCE2，则BAC_____．若P是线段DE上的一个动点，则BPCP的最小值为_______．

四、填空题

33．在边长为1的正方形ABCD中，ABBC______．

34．已知在ABC中，AB3，AC5，其外接圆的圆心为O，则AOBC的值为________. 35．M，N分别是BC，CD的中点，在正方形ABCD中，若ACAMAN，则______．

36．已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若PAPBPCPDPG，则实数______.

37．若O为ABC内一点，则OABCOBCAOCAB__________． 138．已知O为ABC的外心，且OAOBOC，则cosBOC________.

239．如图，O是ABC的重心，ABa，ACb，D是边BC上一点，且BD3DC，ODab，则________．

试卷第7页，共11页

40．设O为ABC内一点，且满足关系式OA2OB3OC3AB2BCCA，则

SBOC:SAOB:SCOA__．

41．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2同的两点Ai,Aj(ij,i,j{1,2,3,象限的概率是_____________.

A8的中心，A1(1,0).任取不

,8})，点P满足OPOAiOAj0，则点P落在第一

42．在ABC中，有命题： ①ABACBC； ①ABBCCA0；

①若ABACABAC0，则ABC为等腰三角形； ①若ACAB0，则ABC为锐角三角形； 上述命题正确的序号是__________.

43．如图所示，O为ABC的外心，AB4，AC2，BAC为钝角，M为BC边的中点，则AMAO的值为___________.

试卷第8页，共11页

344．已知向量a，b满足a1，b3，且ab，若向量ac与bc的夹角为

230°，则|c|的最大值是___________.

45．已知向量a,b,c满足ab0,|c|1，|ac||bc|5,则|ab|的最大值是_________

46．如图，在平面四边形ABCD中，ABBC,ADCD,BAD120,ABAD1．若点E为边CD上的动点，则EAEB的最小值为_________．



47．已知正ABC的边长为2，PQ为ABC内切圆O的一条直径，M为ABC边上的动点，则MPMQ的取值范围为______________.

五、解答题

48．如图，已知OAa，OBb，OCc，ODd，OFf，试用a，b，c，d，f表示以下向量：

试卷第9页，共11页

（1）AC； （2）AD； （3）ADAB； （4）ABCF； （5）BFBD．

49．如图，矩形ABCD与矩形DEFG全等，且CGGD.

（1）用向量AD与AB表示DF； （2）用向量BG与DF表示AC.

50．在①ABC中，已知AB2，AC11，cosBACAB边上的一个动点，AD与CE交于点O.设AExAB.

511，D为BC的中点，E为22

（1）若x1CO，求的值；

OE4（2）求AOCE的最小值.

51．如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点F，设ABa，ADb.

试卷第10页，共11页

（1）若DFxayb，求x，y的值： （2）若|AB|2，BAD60，求AEBD的值.

52．如图，在平面四边形ABCD中，AE2ED,BF2FC，设ABa,DCb,EFc.



（1）若cxaybx,yR，求x，y的值；

1（2）若2a3c且a与c夹角的余弦值为，求a与b夹角的余弦值.

4253．如图：在ABC中，b2a2c2ac，点D在线段AC上，且AD2DC．

3

（1）用向量BA,BC表示BD； （2）若AB2，BD43求BC的长； 3（3）若AC2，求△DBC的面积最大值．

试卷第11页，共11页

参

1．C 【分析】

根据向量的线性运算法则，即可得答案. 【详解】

因为正六边形ABCDEF， 所以CDAF，

所以BACDFEBAAFFEBE. 故选：C

2．D 【分析】

由线性运算的加法法则即可求解. 【详解】

如图，设AC,BD交于点O，则

11ACBDAOODAD. 22

故选：D 3．A 【分析】

根据平面向量的线性运算即可求解. 【详解】

因为ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，

答案第1页，共37页

11131所以EBEAABADABABACABABAC，

22244故选：A．

4．A 【分析】

根据圆的面积得到圆的半径，结合BC，BD的长度求出BC，BD所成角为60°，进而利用向量的减法及数量积公式进行求解. 【详解】

依题意，圆的半径为2，设圆心为O，因为BD4，所以BD为圆的直径，，因为BC2，则BCO是等边三角形，所以BC，BD所成角为60°，所以

ACABBADABCBDBCBDcosCBD4

故选：A． 5．A 【分析】

211根据向量的加法和减法运算由条件AOABBC，可得出AOABAC，然后即

323可得到O是ABC的重心，从而可得出答案. 【详解】 AO2112112ABBCABBCABACABABAC， 3233333所以O是ABC的重心，所以S故选：A. 6．C 【分析】

ABC:SOBC3:1.

根据平面向量的线性运算将BA，CA，BF，CF，BE，CE都用向量BD和DF表示，由

答案第2页，共37页

向量数量积的运算可求出DF，BD的值，再进行数量积运算即可求出BE·CE的值. 【详解】

因为D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， 所以BFBDDF，CFCDDFBDDF，

22BABDDABD3DF，CACDDABD3DF， 所以BFCFBDDFBDDFDFBD1， BAC·ABD3DFBD3DF9DFBD4，

2222可得DF，BD258213， 8又因为BEBDDEBD2DF，CECDDEBD2DF

225137CEBD2DFBD2DF4DFBD4， 所以BE·888故选：C． 7．C 【分析】

利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可． 【详解】 ①AE3AF 41AF 4①EFAFAE333339①AFABBFABDEABAEADABADAEABADAF

4444416①

253AF＝ABAD 11612ABAD， 2525①AF＝①EF14343AFABADab 425252525故选：C 8．B 【分析】

根据平面向量减法的三角形法则和模长相等关系可知a，b，ab构成等边三角形，从而得到夹角.

答案第3页，共37页

【详解】

解：因为|a||b||ab|，

π所以a，b，ab可构成等边三角形，所以a与b的夹角为，

3故选：B. 9．B 【分析】

根据题意分析，得到OMN为等边三角形，进而利用平面向量的数量积运算可求得|2OMON|3，利用向量的线性运算可得|2PMPN||PO2OMON|，然后利用向

量模的不等式即可求得其最大值. 【详解】

由题可知，M，N为单位圆O:x2y21上的两个动点， 且满足MON60，故OMN为等边三角形， 则OMON|OM||ON|cos6021， 2所以，(2OMON)44OMON13，则|2OMON|3. 由PMPOOM，PNPOON，

得|2PMPN||PO2OMON||PO|2OMON，

又P(3,3)，则|PO|23，因此当PO与2OMON同向时，等号成立， 此时|2PMPN|的最大值为33. 故选：B. 10．C 【分析】

利用向量的减法，得到2AP=BA，画出示意图，即可得到答案. 【详解】

因为2OP3OAOB，所以2OP2OAOAOB， 即2AP=BA,

可得：A、B、P三点共线，且点P在线段AB的反向延长线上.

答案第4页，共37页

故选：C 11．A 【分析】

依据图形，结合向量的加法，减法，数乘运算的运算律利用BA，BC表示CF. 【详解】 BF3BE4313333BABCBABCCFBFBCBABCBC ，4284843535BABCBACB． 4848故选：A. 12．A 【分析】

由梯形ABCD中，AB2DC，知CEM得

AGM，可得CMAM，同理CFNABN，可

MN3CMMN1MN3，化简得，进而得，即可得解.

CMMN4CM5AC10【详解】

在梯形ABCD中，AB2DC，CEMAGM

又E，F是DC的两个三等分点，G，H是AB的两个三等分点，

2CDCMCE31，即CMAM AMAG1AB31CDCNCF31CMMN1，即， ABN，同理知CFNANAH2AB4CMMN43整理得

3MN3MN3，则，即MNAC CM510AC10所以实数的值是故选：A 【点睛】

3 10思路点睛：本题考查向量的数乘运算，解题时利用几何性质得到三角形相似，从而得到线段比例关系，从而得到向量的关系，考查学生的数形结合思想与运算求解能力，属于较难题. 13．D

答案第5页，共37页

【分析】

由向量的三角形法则运算后，将三角形的重心向量表示OCOAOB代入，再利用向量垂直的条件与勾股定理，计算即可得到所求值。 【详解】

如图所示，连接CO并延长交AB于M，由于O为重心，则M为中点，且 OC2OM=21OAOBOAOB, 2由OAOB，AB6得OAOB=0，OAOB=AB=36， ACBC=OCOAOCOB222 2OAOB2OBOA5OAOB2OAOB

22023672故选：D

【点睛】

本题考查三角形重心的向量表示，以及向量的垂直条件，向量的平方等于模的平方，考查基本的运算能力，属于中档题。 14．C 【分析】

根据题意，得abcABBCBDACBD，延长BC至E，使CEBC，连接DE，证出四边形ACED是平行四边形，从而ACBDDEBDBE，最后得出

abcBE2BC2AD，即可得出结果.

【详解】

解：abcABBCBDACBD， 延长BC至E，使CEBC，连接DE，

答案第6页，共37页



由于CEBCAD，①CE//AD,CEAD，

四边形ACED是平行四边形，

ACDE，

ACBDDEBDBE， abcBE2BC2AD4.

故选:C 15．C 【分析】

根据题意可求出ABAD的值，分别用AB、AD表示向量AC和ED，再进行数量积运算即可求解. 【详解】

如图，在平行四边形ABCD中，DAB60，AD2，AB1，BEAB1， 所以ABAD12cos601， 由图知：ACABBCABAD，

EDADAEAD2AB， 所以ACEDABADAD2AB

2AD2ABABAD22111，

22故选：C． 16．C 【分析】

根据向量的加法法则与减法法则得解. 【详解】

答案第7页，共37页

233①根据向量的加法法则，PQab可得PQab，所以是正确的；

223①根据向量的减法法则，可得PT① PSPQQS33ab，所以不正确； 223331ab2bab，所以正确的； 222213331① PRPQQSabbab，所以不正确，

22222故选C. 17．B 【分析】

根据题意可得EB2EA0，CF2DF0，再根据向量的加法运算表示

EFEF【详解】

，可得

EFEBBCCF①，EFEAADDF①，通过计算即可求

答案第8页，共37页

由题意可得：

EFEBBCCF①， EFEAADDF①，

①+①2得：3EFEB2EABC2ADCF2DF， 因为AE11AB， DFDC， 33所以EB2EA，CF2DF， 所以EB2EA0，CF2DF0， 所以3EFBC2AD，可得EF故选：B. 18．D 【分析】

根据M，N分别为边BC，AC的中点，将AB和AC用AM与BN表示，再结合模长和夹角进行数量积计算即可求解. 【详解】

21ADBC， 33

因为M，N分别为边BC，AC的中点， 所以BNANAB2AMABAC①，

1ACAB，即2BNAC2AB①， 2答案第9页，共37页

2BNAC2AB 由2AMABAC2ABAMBN3可得：，

2ACBN2AM3所以ABAC22224AMBNBN2AM2AMBNAMBN 339481422232232， 9929故选：D. 19．B 【分析】

根据D,O,F和E,O,C三点共线，可得AOxADyAF和AOmAEnAC，利用平面向量线性运算可用a,b表示出AO，由此可得方程组求得x,y，进而得到的值. 【详解】 连接AF，AC，

D,O,F三点共线，可设AOxADyAF，则xy1， 11AOxADyABBFxADyABADxybya；

44E,O,C三点共线，可设AOmAEnAC，则mn1，

mmADnADABnbna； 33xy19mn1x8118111917，解得：，AOab，即. 1m1717171717x4y3ny817ynAO故选：B.

答案第10页，共37页

【点睛】

思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据O为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果. 20．C 【分析】

根据条件mta+(1t)b(tR)，t +(1-t)=1，可知：若m,a,b起点相同，则其终点共线，采取数形结合法进行解决. 【详解】

如图，bOB，aOA，则baAB，则OBA150，因为mta+(1t)b(tR)，其中t +(1-t)=1，于是m与a,b共起点，且终点共线，即在直线AB上，于是mAB时（即OC）|m|最小，最小值为1，无最大值.



故选：C. 21．C 【分析】

作辅助线AOBC，利用向量数量积公式，可求得BO1，CO3，再利用向量的三角形法则，将求PAPC的最小值，转化为求POPC得最小值，然后分类讨论P与O的位置关系，可知P在O右侧时，PAPC最小，再利用基本不等式求最值. 【详解】

如图所示，作AOBC

答案第11页，共37页

BABC4，BC4，BABCcosB4，

可得BAcosB1，即BO1，CO3 利用向量的三角形法则，可知 PAPCPOOAPCPOPC

若P与O重合，则PAPC0

若P在O左侧，即P在OB上时, PAPCPOPC

若P在O右侧，即P在OC上时，PAPCPOPC，显然此时PAPC最小，利用基本POPC9（当且仅当POPC，不等式POPC即P为OC中点时取等号）

242故选：C. 【点睛】

本题考查向量的三角形法则，向量的数量积公式，及利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力，数形结合思想，属于中档题. 22．D 【分析】

先将已知向量化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量的数乘运算的几何意义、三角形面积公式确定面积比. 【详解】

如图所示，延长PC至点E使得PE2PC，连接BE，取BE的中点为F，连接PF交BC于点G，

延长PB至点H使得PH2PB，连接AH，取AH的中点为I，连接PI交AB于点J，

答案第12页，共37页

因为PA2PB4PC0，所以PA2PB2PC4PF， 则A、P、F三点共线，且PA4PF，

因为FC为△EPB的中位线，所以PB2CF，PB//CF， 则CFG所以

BPG，所以

PGPB22，即PG2GF，PGPF， GFFC3AGPA7，设PBC、ABC的高分别为h1、h2， 6,PGPGSSPBCABC1BCh1hPG121，即S1hAG72BCh22PABPBC1S7ABC.

同理由PA2PB4PC可推出S则SPAC4S7ABC，

SABCS:SPBCSPAB2S7ABC，

所以SPAB:SPACPBC4:2:1.

故选：D 【点睛】

本题考查向量的运算法则、向量加法的平行四边形法则、向量数乘的集合意义等知识点的综合应用，作出图形数形结合、充分利用共线是解答本题的关键，属于较难题. 23．AD 【分析】

通过向量加法的平行四边形法则、向量减法的三角形法与向量的数量积公式即可判断各选项正确与否. 【详解】

通过向量加法的平行四边形法则可知ABADAC2AO，AO正确；

ABBOABBOcosAB,BO0，选项B错误；

1ABAD，选项A2答案第13页，共37页

AO与BO方向不同，选项C错误；

延长AB到E,使AE2AB,通过向量减法的三角形法则可知2ABADED,在Rt△AED中，

DEAEAD22415，2ABADED5，选项D正确.

故选：AD.

24．AC 【分析】

利用平面向量的线性运算和数量积运算即可求解．对于A，F，E分别是靠近C，D的四等分点，可得结果正确；对于B，AFADDF3ABAD故选项错误；对于C，42239BEBCCEABAD，故选项正确；对于D，BEAFADAB故选项错误.

416【详解】

对于A：F，E分别是靠近C，D的四等分点，EF1AB，①A正确， 233对于B：F是靠近C的四等分点，AFADDFADDCABAD，

44①B错误，

33BEBCCEADCDABAD，①C正确， 对于C：E是靠近D的四等分点，

4422933对于D：BEAFABADABADADAB①D错误，

1644故选：AC． 25．AC 【分析】

利用BEEC，BF21BABC将AM用AB,AC表示，利用AM33AE也将AM用AB,AC表示，再通过平面向量基本定理可得,；根据向量的线性运算可判断CD. 【详解】

答案第14页，共37页

BEEC，B,E,C三点共线且E为BC中点， BFAF2121BABC，AFABBABC，

333321111BABCBABCBAAC， 33333A,F,C三点共线且F为AC上靠近A的三等分点，

BMBF，AMAB(AFAB)，

1AM1ABAF1ABAC，

3AMAE11ABAC， 2211122，，A正确，B错误；

113243CMCAAMCA111111AECACECACACECACB， 222224C正确；

111MAMBEMMBEBCBCACB，D不正确.

244故选：AC. 26．AC 【分析】

可画出图形，根据条件可得出D为边BC的中点，从而得出选项A正确；

121由EC2AE可得出AEAC，进而可得出BEBCBA，从而得出选择B错误；

333

可设AF

答案第15页，共37页

311

AE，从而得出，进而得出选项C正确； AD，进而得出AFAB2222111由AFAD即可得出BFBABC，从而得出选项D错误．

242【详解】 如图，

1BDDC，∴D为BC的中点，ADABAC，A正确； 211EC2AE，AE3AC3(BCBA)，

BEBAAEBA(BCBA)1312BCBA， B错误； 333AE，且B，F，E三点共线， 2设AFAD2AB2AC2AB231

1，解得，

221AFAD，C正确；

2BFBAAFBA111111ADBA(BDBA)BABCBABABC，D错误. 224224故选：AC 27．BC 【分析】

A.根据数量积计算公式进行判断；B.先化简计算ABAD和CECF，根据对应线段长度即可判断；C.用AB,AD表示各个向量，然后进行数量积运算并判断；D.将AEAF表示为AB,AD的线性运算，由此可进行判断.

【详解】

A. 因为AEAFAEAFcosEAF，EAF为锐角，所以AEAF0，故错误； B.因为CECFFE，ABADAC，又E,F为BC,CD，所以FE答案第16页，共37页

11BDAC，所以22|ABAD|2，故正确；

|CECF|2111C.因为AEBCABBCBCABADADAD，

22221111AEFCABBCFCABADABAB，

22222211ADAB且，所以AEBCAEFC，故正确； 22D.因为

33113339AEAFABBCADABABADABAD， 22222224又ABADAC，所以AC故选：BC. 28．BCD 【分析】

3AEAF不成立，故错误； 221利用向量的线性运算可判断A、B；由向量的线性运算可得AD=AB+AC，

33AE221222AB+AC，根已知条件求出AB+AC可判断C；将BCACAB展开可得BC，33即可判断D，进而可得正确选项. 【详解】

1121对于A：AD=ABBDABBCABACABAB+AC，故选项A不正确；

33331111对于B：DE=BCACABAB+AC，故选项B正确；

333321对于C：由选项A知：AD=AB+AC，

332212AE=ABBEABBCABACABAB+AC

3333221225212ADAEAB+ACAB+ACABACABAC

33993392225ABAC24，所以AB2+AC213，故选项C正确； 992对于D：BCACAB2AB+AC2ABAC13229，所以BC3，

22即BC的长度为3，故选项D正确； 故选：BCD. 29．ACD 【分析】

答案第17页，共37页

根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量数量积的定义即可判断选项A，利用向量数量积的运算法则将OAOBOAOC变形，得到OABC，利用三角形的外心的定义即可判断选项B，利用三角形中线的定义，线性运算即可判断选项C，利用向量数量积的运算和向量垂直的条件可判断【详解】

解：如图，设AB中点为M，则OMAB，

ABAC与BC垂直，从而可判断选项D．

|AB|cosB|AC|cosC

所以|AO|cosOAM|AM|，

所以AOABAOABcosOABABAOcosOAB

|AB||AB|1|AB|2，故选项A正确； 22因为OAOBOAOC，所以OA(OBOC)0， 则OACB0，故OABC，

对于一般三角形而言，O是外心，OA不一定与BC垂直， 比如直角三角形ABC中，若B为直角顶点，

则O为斜边AC的中点，OA与BC不垂直，故选项B错误；

1设BC的中点为D，则AD(ABAC)

2答案第18页，共37页

则AGAD(ABAC)ABAC，故C正确； 因为(ABAC)BC

|AB|cosB|AC|cosC23131313ABBCACBC

|AB|cosB|AC|cosC|AB||BC|cos(B)|AC||BC|cosC

|AB|cosB|AC|cosC|BC||BC|0，

所以

ABAC与BC垂直，

|AB|cosB|AC|cosC又因为AHBC， 所以

ABAC与AH共线，故选项D正确．

|AB|cosB|AC|cosC故选：ACD． 30．AD 【分析】

根据向量的线性运算法则，结合图形，可判断A、B的正误，根据线性运算及数量积公式，可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】

对于A：AEACCE，DEDCCE，

所以AEACDEDC，即AEDCACDE，故A正确； 对于B：由题意可得AC3,BCDE2,CECD2， 所以CE2CB， 2所以AEACCEAC2222CBAC(ABAC)AB1 AC，故B错误；2222对于C：ADABACCDACCBAC2ACCBCDACCDCB

316332230，故C错误； 222对于D：ADBCACCDACABAC2ACABCDACCDAB

答案第19页，共37页

13=3023213，故D正确；

22故选：AD

27131．； .

27【分析】

（1）利用平面向量的三角形法则可求出x、y的值，进而可计算出yx的值；

31（2）设APAMABAC，设NPkNC，根据平面向量的基本定理建立出关于

44、k的方程组，从而可得出AP关于AB、AC的表达式，进而可解得APCB.

【详解】

111313（1）AMABBMABBCABACABABAC，x，y，因

444444

此，yx131； 44231（2）设APAMABAC，再设NPkNC，则APANkACAN，即

44AP1kANkAC1kABkAC， 241k343172所以，，解得，所以APABAC，

771kk147因此，APCB22113ABACABAC3AB2ABACAC77112734224332. 727127故答案为：①；①.

7232．

37

73【分析】

由题可知AE2AB，AD5AC，由BDCE2，可得11ABAC5AC2AB2，代入相应数据即可求得cosBAC的值，从而求得BAC；设EPED，[0,1]，根据平面向量的混合运算可推出BPCP212127，再利用配方法即可得解． 【详解】

①AE2BE，CD4AC，①AE2AB，AD5AC， ①BDCE2，

答案第20页，共37页

22①ADAB·AEAC5ACAB?2ABAC

11ABAC5AC2AB1121cosBAC5124

2222cosBAC132，

解得cosBAC1， 23①BAC(0,)，①BAC设EPED，[0,1]，

．

CDDP ①BPCPBEEP·14AEADAE·AD1AEAD 2522111172 (1)AEAD2ADAE

5102101171116(1)252254cos

5101032212127

63721，

2172637时，BPCP有最小值，为．

72137故答案为：；．

73①当【点睛】

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 33．2 【分析】

直接利用向量的减法计算，然后求模即可. 【详解】

ABBCABADDB2.

故答案为：2.

答案第21页，共37页

34．8 【分析】

如图，作OD①AB于D，OE①AC于E，根据向量数量积的几何意义即可得到答案． 【详解】

如图，过O作OD①AB于D，OE①AC于E， 可得D，E为AB，AC的中点，

则AOBCAO(ACAB)AOACAOAB ＝(AEEO)AC(ADDO)AB AEACEOACADABDOAB 2211AC0AB0 22＝2×（25﹣9） ＝8． 故答案为：8

1

答案第22页，共37页

435．

3【分析】

由题意结合平面向量线性运算法则可得ACABADABAD，由平面向

2212量基本定理可得，即可得解.

12【详解】

由题意画出图形，如图所示：

由题意可得ACAMANABBMADDN 1111ABBCADDCABADADAB

2222ABAD，

2212又ACABAD，所以，

1243从而()2，即.

234故答案为：.

336．4 【分析】

先由G为正方形ABCD的中心，可知G为AC、BD的中点，再利用向量的加法，进而可求出结果. 【详解】

因为G为正方形ABCD的中心，所以G为正方形AC、BD的中点， 又点P为正方形ABCD所在平面外一点，

答案第23页，共37页

利用向量的加法法则知PAPC2PG，PBPD2PG， 因此PAPBPCPD4PG，即4. 故答案为：4

37．0 【分析】

首先设OAx，OBy，OCz，BCa，CAb，ABc，得到abc0，xzb，yxczbc，再根据数量积运算律求解即可.

【详解】 如图所示：

设OAx，OBy，OCz，BCa，CAb，ABc， 则abc0，xzb，yxczbc， 所以OABCOBCAOCABxaybzc

zbazbcbzcabczabbbc

2aabbcbcbc0

故答案为：0 138．##

4答案第24页，共37页

【分析】

根据向量共线以及余弦定理、诱导公式求得正确答案. 【详解】

设圆O为三角形ABC的外接圆，半径为2， 1由于OAOBOC，

2111所以OAOCOB,CAOB,CA//OB，CAOB1.

222设BOC，则OCA，

122222111在三角形OAC中，由余弦定理得cos,cos,cos.

2124441故答案为：.

4

139．

3【分析】

延长AO交BC于E，由已知得点E为BC的中点，且AO2OE，AE(ABAC)，D是BC的四等分点，由向量的线性运算可得答案． 【详解】

解：如图，延长AO交BC于E，由已知O为ABC的重心，则点E为BC的中点，且AO2OE，

1AE(ABAC)，由BD3DC得D是BC的四等分点，则

212ODOEED1111115AEBC(ABAC)(ACAB)ab， 343241212答案第25页，共37页

又ODab，则1故答案为：．

315151，，所以+， 121212123

40．3:2:1 【分析】

由题意将已知中的向量都用O为起点来表示，从而得到3OAOB2OC=0，分别取AB、AC的中点为D、E，可得OD2EO，利用平面知识可得S①AOB与S①AOC及S①BOC 与S①ABC的关系，可得所求. 【详解】

①OA2OB3OC3AB2BCCA3(OBOA)2(OCOB)(OAOC)， ①3OAOB2OC=0，

①OAOB2OC+2OA=0，分别取AB、AC的中点为D、E， ①OD2EO， ①SSSAOB1S2ABF12S23ABC1S3ABC；

AOC1S21S2:SACF11S23ABC1S6ABC；

BOCABC.

COA①SBOCAOB:S1S2ABC1:S3ABC1:S6ABC3:2:1

故答案为：3:2:1．

答案第26页，共37页

41．

5 28【分析】

根据给定条件求出确定点P的试验的基本事件总数，再求出点P落在第一象限的事件所含的基本事件数即可计算作答. 【详解】

因Ai,Aj是正八边形A1A2A8的任意两个顶点，又OPOAiOAj0，即OP(OAiOAj)，

则点P由Ai,Aj唯一确定， 从正八边形A1A2A8的8个顶点中任取两点Ai,Aj的试验有C82个基本事件，它们等可能，

点P落在第一象限的事件M，是取的两点分别为A5与A6，A5与A7，A6与A7，A4与A7，A5与A8确定的点P对应的事件，共5个， 于是得P(M)55， C82285. 28所以点P落在第一象限的概率是故答案为：42．①①． 【分析】

5 28根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，判断各个选项是否正确．，即可得出答案. 【详解】

解：在三角形ABC中，由于ABACCB，故①不正确． 由于ABBCCAACCA0，故①正确．

答案第27页，共37页

由于(ABAC)(ABAC)ABAC0，故有ABAC，所有三角形ABC为等腰三角形，故①正确．

由于ABAC|AB||AC|cosA0，故A为锐角，但B和C的范围不确定，故不能推出三角形

22ABC为锐角三角形，故①不正确．

故答案为：①①． 43．5 【分析】

取AB､AC的中点D､E，结合平面向量得线性运算以及数量积的运算律可得

AMAOADAOAEAO，进而结合图形以及平面向量数量积的定义即可求出结果.

【详解】

取AB､AC的中点D､E，可知ODAB，OEAC， ①M是边BC的中点，①AM①AMAO1ABAC， 2111ABACAOABAOACAO 222ADAOAEAO，

由数量积的定义可得ADAOADAOcosAD,AO， 而AOcosAD,AOAD，故ADAOAD4； 同理可得AEAOAE1， 故ADAOAEAO5， 故答案为：5. 44．27 答案第28页，共37页

22【分析】

设OAa,OBb,OCc,证明O,A,B,C四点共圆.设外接圆半径为R,要使|c|最大，所以

OC必须过圆心，利用正弦、余弦定理求出2R即得解.

【详解】

设OAa,OBb,OCc,

所以acCA,bcCB, 所以ACB30,

所以cosa,bab|a||b|323，

23因为a,b[0，180]， 所以a,b150,AOB150.

所以O,A,B,C四点共圆.设外接圆半径为R, 要使|c|最大，所以OC必须过圆心，

此时，在OAB中，由余弦定理得AB21323cos1507,AB7. 由正弦定理得OC2R故答案为：27 45．8 【分析】

设OAa,OBb,OCc,以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立直角坐标系， 作矩形OADB,根据矩形的性质CA2CB2OC2CD2，转化为|ab||ab|OD，利用向

AB27.

sinAOB答案第29页，共37页

量共线取得最大值. 【详解】

OA为x轴，OB为y轴，平面向量a,b,c满足ab0,设OAa,OBb,OCc,以O为原点，建立直角坐标系，

作矩形OADB,根据矩形的性质CA2CB2OC2CD2， 而CA=ac5,CB=bc5，|c|1 所以, 25+25=1+CD2，所以CD=7.

由|ab||ab|ODOCCD178, 当O,C,D共线的时候成立. 故答案为:8. 【点睛】

向量的基本运算处理的常用方法：

(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理； (2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理． 46．

21 16【分析】

设DEDC01，根据条件找出DCBC3，DE3，且DE与AB的夹角为

，DA与AB的夹角为，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出63EAEBDADEEDDAAB，然后表示为关于的二次函数，通过求二次函数的最

小值即可解决问题. 【详解】

延长CD,BA交于点H，因为ABBC,ADCD,BAD120，所以BCD60，

答案第30页，共37页

DHA30，

在RtADH中，DHA30，AD1，所以AH2,DH3， 在Rt△BCH中，CHB30，BH3，所以CH23,BC3，

所以DCBC3，不妨设DEDC01，则DE3，且DE与AB的夹角为，

6DA与AB的夹角为

， 3则EAEBDADEEDDAAB

DAEDDADADAABDEEDDEDADEAB

0DADAABcos123320DEABcos6

1333320332， 222221131321所以时，EAEB取最小值3.

4424216

故答案为：47．0,1 【分析】

21. 16先由正ABC的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到MP=MOOP，1MQ=MOOQ，再结合OQ=OP，可得到MPMQMOOPMO，再根据图

3222像利用临界值法，求出MPMQ的取值范围. 【详解】

答案第31页，共37页

O为正ABC内切圆圆心，OD为内切圆半径，如图所示，在△BDO中，BD=1，OBD=30，可求得内切圆半径OD=3. 3又PQ为圆O的直径, OQ=OP，

利用向量的线性表示可得，MP=MOOP，MQ=MOOQMOOP， 1MPMQ(MOOP)(MOOP)MOOPMO，

32223又M为ABC边上的动点，由图可知，当M为ABC边的中点时，MO最小为，即323，即MPMQmax1. MPMQmin0；当M为ABC的顶点时，MO最大为3MPMQ的取值范围为0,1.

故答案为：0,1. 【点睛】

本题主要考查向量知识在几何中的应用，一般在求解此类问题时，常用三角形法则或平行四边形法则把问题转化，结合数形结合思想解决问题. 48． （1）ca （2）da （3）db （4）bafc （5）fd 【分析】

由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果. （1）

ACOCOAca.

答案第32页，共37页

（2）

ADODOAda.

（3）

ADABBDODOBdb.

（4）

ABCFOBOAOFOCbafc.

（5）

BFBDDFOFODfd.

49．

（1）DF2AD

（2）ACBGDF 【分析】

（1）平面向量基本定理，利用向量的加减与数乘运算法则进行求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算进行解答. （1）

DFDEEF2ADDG2AD1AB. 21AB 2（2）

以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系xAy，

设AD1，因为矩形ABCD与矩形DEFG全等，且CGGD， 所以AB2，则C1,2，B0,2，G1,1，D1,0，F3,1， 所以AC1,2，BG1,1，DF2,1，故ACBGDF.

答案第33页，共37页

50． （1）

CO4 OE（2）4 【分析】

（1）首先根据向量的线性运算得到AO(1)ACAB和AOyAD(ABAC)，从而得到

4y2，y452CO4. ，即可得到OE5y2（2）首先根据题意得到AOCE11114x25x(12)，根据1，x，得到

19x216x，从而得到AOCE，再求解最小值即可. 1x1xy2（1）

因为C，O，E三点共线，所以有COCE，

即CAAO(CAAE)，得AO(1)ACxAB(1)ACAB，

4同理可设AOyAD(ABAC)， 所以得1，4y242y，解得,y.

552y24CO4. 所以COCE，即OE5（2） 解：

AOCE1ACxABACxAB

11114x25x(12)，

答案第34页，共37页

由（1）可知1，x，所以9x216x所以AOCE，

1xy2y21， 1x令1xt[1,2]，则AOCE9t等号当且仅当t51．

11（1）x，y

3325342925344， t25，即x时，AOCE的最小值为4. 33（2）1 【分析】

1DFDB，再利用线性运算得解； 1（）利用相似得到

31BDADAB，即得解. （2）求出AEADAB，2（1）

解：在菱形ABCD中，DE∥AB，所以DEF1DFDE1DFDB， 则，可得BFAB23BAF，

DF111ABADABAD, 33311所以x，y.

33（2） 解：AEAD1AB，BDADAB 221121AEBD(ADAB)(ADAB)ADABABAD422cos601

22211252．（1）x,y；（2）.

433【分析】

（1）先求得EDCFcb，从而ca2EDCFa2cb，进而解得c即可求得

x,y；

92（2）令2a3c6r，结合条件可解得abr，b3r，进而可求得结果.

4【详解】

（1）因为cEFEDDCCFEDbCF，所以EDCFcb，

答案第35页，共37页

又cEFEAABBF2EDa2CFa2EDCFa2cb， 2112解得cab，所以x，y.

3333（2）令2a3c6r，则a3r，c2r（r0），所以ac3r2r132r， 42321212122922由（1）cab，则acaab，即r9rab，解得abr，

233433333192123913322222又bca，则bcaac4r9rr9r，所以b3r，

2244244229r2故cosa,bab41.

4ab3r3r53．（1）BD【分析】

（1）根据向量的运算法则即可求出；

1（2）由余弦定理可求出cosB，再根据向量的模的计算公式解方程即可求出；

3212BCBA；. （2）3；（3）333（3）根据SBDC1S3ABC，当ABC面积最大时，△DBC的面积最大，所以根据余弦定理以

及基本不等式可得ac3，即可求出ABC面积的最大值，从而解出． 【详解】

1121（1）设BAb,BCa，BDBCCDaCAabaab

3333即BD21BCBA． 332222a2c2b2143，BD（2）因为bacaccosB,b2

32ac33112412BDabaa2cosB4，

33999322解得aBC3．

122 （3）①cosB,B0,①sinB1cos2B33222422222由bacac4acac2acacac，

3333①ac3（当且仅当ac取等号）． 由AD2DC，可得SBDC1S3ABC1111222． acsinB3323233答案第36页，共37页

①△DBC的面积最大值为

2． 3答案第37页，共37页