考研数学二(解答题)高频考点模拟试卷31(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷31 (题后含答案及解析)

题型有：1.

1．

正确答案： 根据迫敛定理， 涉及知识点：函数、极限、连续

2． 设a＞1，f(t)=at一at在(一∞，+∞)内的驻点为t(a)。问a为何值时，t(a)最小?并求出最小值。

正确答案：令f’(t)=atlna—a=0，解得f(t)的驻点为t(a)=1—。对t(a)关于a求导，可得t’(a)=，令t’(a)＞0，解得a＞ee。则当a＞ee时，t(a)单调递增；当1＜a＜ee时，t(a)单调递减。所以当a=ee时，t(a)最小，且最小值为t(ee)=1一。 涉及知识点：一元函数微分学

3． 求微分方程y”+5y’+6y=2e一x的通解．

正确答案：所给微分方程的特征方程为 r2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为r1=一2，r2=一3．于是，对应齐次微分方程的通解为 (x)=C1e一2x+C2e一3x．设所给非齐次方程的特解为y*=Ae一x．将y*代入原方程，可得A=1．由此得所给非齐次方程的特解y*=e一x．从而，所给微分方程的通解为 y(x)=C1e一2x+C2e一3x+e一x，其中C1，C2为任意常数． 涉及知识点：微分方程

4． 设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关．

正确答案：设有x1，x2，…，xn，使x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0，即(x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn-1+xn)αn=0，因为α1，α2，…，αn线性无关，所以有，该方程组系数行列式Dn=1+(-1)n+1，n为奇数α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关． 涉及知识点：向量

5． 为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，设井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／S的速度从抓斗中漏掉，现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?

正确答案：设拉力对空斗所做的功为W1，则W1=400×30=12000J．设拉力对绳所做的功为W2，任取[x，x+dx][0，30]，dW2=50(30-x)dx，则W2=∫030dW2=22500J．设拉力对污泥做功为W3，任取[t，t+dt][0，10]，dW3=(2000-20t)×3dt，则W3=∫010dW3=57000J，拉力克服重力所做的功为

W=W1+W2+W3=91500J． 涉及知识点：高等数学部分

6． 位于上半平面的上凹曲线y＝y(χ)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(χ，y)处的曲率与及1＋y′2之积成反比，比例系数为k＝，求y＝y(χ)．

正确答案： 因为p(2)＝0，所以C1＝0，故y′＝P＝±， 进一步解得， 因为y(0)＝2，所以C2＝0，故曲线方程为y＝＋2． 涉及知识点：常微分方程

7． 讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．

正确答案：D＝＝－(a＋1)(b＋2)． (1)当a≠－1，b≠－2时，因为D≠0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得 (2)当a＝－1，b≠－2时， 当b≠－1时，方程组无解 当b＝－1时， 方程组的通解为X＝(k为任意常数)． (3)当a≠一1，b＝－2时， 方程组的通解为X＝(k为任意常数)． 当a≠1时，显然r(A)＝2≠r()＝3，方程组无解． 涉及知识点：线性方程组

8． 设且A～

B． (1)求a； (2)求可逆矩阵P，使得P-1AP＝ B．

正确答案：(1)因为A～B，所以tr(A)＝tr(B)，即2＋a＋0＝1＋(－1)＋2，于是a＝0． (2)由｜λE－A｜＝＝(λ＋1)(λ－1)(λ－2)＝0得A，B的特征值为 λ1＝－1，λ2＝－1，λ3＝2． 当λ＝－1时，由(－E－A)X＝0即(E＋A)X＝0得ξ1＝(0，－1，1)T； 当λ＝1时，由(E－A)X＝0得ξ2＝(0，1，1)T； 当λ＝2时，(2E－A)X＝0得毒ξ3＝(1，0，0)T，取P1＝，则 P1-1AP1＝ 当λ＝－1时，由(－E－B)X＝0即(E＋B)X＝0得η1＝(0，1，2)T； 当λ＝1时，由(E－B)X＝0得η2(1，0，0)T； 当λ＝2时，由(2E－B)X＝0得η3＝(0，0，1)T，取P2＝，则 P1-1BP2＝ 由P1-1AP1＝P2-1BP2得(P1P2-1)-1A(P1P2-1)＝B， 取P＝P1P2-1＝， 则P-1AP＝

B． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

设线性方程组

9． 求线性方程组(Ⅰ)的通解；

正确答案：令A=由A=方程组(Ⅰ)的通解为X=

10． m，n取何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有公共非零解；

正确答案：当m=-2或n=3时，两个方程组有公共的非零解．

11． m，n取何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．

正确答案：当m=-2，n=3时，两个方程组同解．

12． 设a是整数，若矩阵A=的伴随矩阵A*的特征值是4，-14，-14．求正交矩阵Q，使QTAQ为对角形．

正确答案：｜A*｜=4×(-14)×(-14)=282，由｜A*｜=｜A｜2得｜A｜=28或｜A｜=-28．=-6a-40．若-6a-40=28，则a=，不合题意，舍去；若-6a-40=-28，则a=-2，从而A=A的特征值为λ1=-7代入(λE-A)X=0，由-7E-A=得λ1=-7对应的线性无关的特征向量为α1=

13． 设(1)验证它是某个二元函数u(x，y)的全微分；(2)求出u(x，y)；(3)计算

正确答案：(1)故当x2+y2≠0时,为某个二元函数的全微分．(2)不定积分法，设则φ’(y)=0，即φ(y)=

C．(3)=u(0，4)一u(一3，0)=4-3=1． 涉及知识点：多元函数微积分学

14． 判断下列函数的奇偶性(其中a为常数)：

正确答案：

15．

正确答案：按第一列展开，得： 涉及知识点：综合