数列教案

第二章数列

2.1数列的概念与简单表示法

课题 2.1数列的概念与简单表示法 课型 新授课 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项教学 目标 公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 重点 难点 教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用 教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 教学过程与教学内容 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式：a1,a2,a3,,an,，或简记为an，其中an是数列的第n项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 1”是这个数列的第“3”项，等等 3下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一精心整理

关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项11213141 5↓↓↓↓↓ 序号12345 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：an1来表示其对应关系 n即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系 ⒋数列的通项公式：如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项1(1)n1n1公式可以是an，也可以是an|cos|. 22⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数*anf(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)…，f(n)，… 6．数列的分类： 1）根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2）根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。 精心整理

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？ [范例讲解] 课本P29-31例 Ⅲ.课堂练习 课本P31[练习]3、4、5 [补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)3,5,9,17,33,……；(2)246810,,,,,……； 315356399(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,……； (5)2,－6,12,－20,30,－42,……. 1(1)n2n解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝； (2n1)(2n1)2(4)将数列变形为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,……, 1(1)n∴an＝n＋； 2(5)将数列变形为1×2,－2×3,3×4,－4×5,5×6,……， ∴an＝(－1)Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。 Ⅴ.课后作业 课本P33习题2.1A组的第1题 n1n(n＋1) 2.2.1等差数列的概念与通项公式

目标 （1）通过实例，理解等差数列的概念，能根据定义判断一个数列是等差数列; （2）探索并掌握等差数列的通项公式，及通项公式的简单应用。 （3）了解等差数列的函数特征。 重点 理解等差数列的概念，探索并掌握等差难点 等差数列通项公式推导。 精心整理

数列的通项公式。 导入 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。 高斯10岁时计算的数列：1，2，3，4，…，100 姚明一周每天罚球个数的数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000 运动鞋尺码的数列： 思考1：请同学们仔细观察一下，看看以上三个数列有什么共同特征？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（注：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 新课 二．探究新知 学做思一:等差数列的定义导学:请总结等差数列的概念： 等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。 练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出公差d,如果不是，说明理由。 （1）1,1,1,1，…d=0 （2）4,7,10,13,16，…d=3 导思： 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断每一项（从第2项起）与它的前一项的差是不是同一个常数,而且公差可以是正数，负数，也可以为0。 学做思二:等差数列的通项公式 导学:请同学们观察数列：-1，1，3，5，7,… 并思考：在数列中a100=？我们该如何求解呢？如何求一般等差数列的通项公式？ 导做;等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得： 不完全归纳法：a2a1d即：a2a1d a3a2d即：a3a2da12d a4a3d即：a4a3da13d …… 精心整理

由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1(n1)d 迭加法：｛an｝是等差数列，所以： …… 两边分别相加得：ana1(n1)d所以：ana1(n1)d由上述关系还可得：ama1(m1)d 即：a1am(m1)d 则：ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)d 即等差数列的第二通项公式anam(nm)d∴d= 导思：等差数列的通项公式：ana1(n1)danam(nm)d 三、例题分析 例1：⑴求等差数列8，5，2，…的第20项. ⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 例2：在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36,求通项公式an. 导思：求等差数列通项公式的关键步骤： 求基本量a1和d：根据已知条件列方程，由此解出a1和d，再代入通项公式。 像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。 例3已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 导学：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n≥2）是不是一个与n无关的常数。 导思：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，… ②若p≠0,则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q. ③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式。 ④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。 精心整理

1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( ) A．15 B．30C．31D． 2．已知等差数列{an}中各项都不相等，a1＝2，且a4＋a8＝a，则公差d＝( ) A．0B.C．2D．0或 3．等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝4，如果an＝2019，则序号n等于( ) A．502B．503C．504D．505 4已知等差数列{an}中，d＝－，a7＝8，则a1＝________. 5等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则它的第5项为________． 反思总结 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an1=d，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：anam(nm)d和an=pn+q(p、q是常数)的理解与应用. 的性质 目标 知识与技能：1.明确等差中项的概念 2.熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题 重点目标 等差数列的定义及性质的理解与应难点目标 灵活应用等差数列的定义及性质解决用 一些相关问题 导入 上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？ 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an-an-1=d(n≥2，n∈N*)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用“d”表示 生1等差数列{an}的通项公式应是an=a1+(n-1)d 生2等差数列{an}还有两种通项公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常数 下面几种计算公差d的公式：①d=an-an-1；②；③. 生3公式②与③记忆规律是项的值的差比上项数之间的差 新课 二、新课学习： 学做思一:等差中项 导学：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？ 由定义得A-a=b-A，即：反之，若，则A-a=b-A 由此可得：a，A，b成等差数列我们来给出等差中项的概念：若 a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 导做：根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的2.2.2等差

数

列

精心整理

末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项［导思］ 等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列2A=a+b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列探究1. 等差数列的常用性质 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有下列性质： (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N)，则am＋an＝ap＋aq. (2)若m＋n＝2k(m，n，k∈N)，则am＋an＝2ak.请你给出证明． 3、运用性质，解决问题。 例1.在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值． 例2.在等差数列{an}中，若a1+a6=9,a4=7,求a3,a9. 导做：已知数列{** an}是等差数列 （1）2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？ （2）2anan1an1(n1)是否成立？据此你能得到什么结论？ （3）2anankank(nk0)是否成立？？你又能得到什么结论？ 探究：已知等差数列{an}、{bn}分别是公差为d和d′，则由{an}及{bn}生成的“新数列”具有以下性质，请你补充完整． 导思：①{an}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列(首项不一定选a1)，公差为； ②下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为的等差数列； ③数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为的等差数列； ④数列{an＋bn}仍是等差数列，公差为； ⑤数列{λan＋μbn}(λ,μ是常数)仍是等差数列,公差为. 课堂练习 1.在等差数列{an}中，(1)若a5=a,a10=b,求a15若a3+a8=m,求a5+a6.(3)若a5=6,a8=15,求a14. (4)已知a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80，求a11+a12+…+a15的值 1.在等差数列 an中，已知a510，a1231，求首项a1与公差d 2.在等差数列an中,若a56a815求a14 精心整理

3.正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋. (1)数列{}是否为等差数列？说明理由．(2)求an. 反思总结 1．成等差数列 2.3.1 等

2．在等差数列中，m+n=p+qamanapaq(m,n,p,q∈N) 差数列的前n项和

课题名称 目标

2.3.1 等差数列的前n项和 知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题 灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题. 重点目标 导入 等差数列的前n项和公式的理解、难点目标 推导及应用. 有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图) 生只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数目标 师对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事. 高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目： 过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： 教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5050. 导学：这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？ 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以 对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了 精心整理

导做问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？ 生这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和. 推进新课 导学：这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了 生有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是 写成式子就是：1+2+3+…+21，21+20+19+…+1，对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序 导思：这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法现在我将求和问题一般化： (1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决 (2)如何求等差数列{an}的前n项的和Sn因为Sn=a1+a2+a3+…+an，Sn=an+an-1+…+a2+a1，再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 所以 因为Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+［a1+(n-1)×d］，所以Sn=na1+［1+2+3+…+(n-1)］d=na1+即Sn=na1+d d 导学：引导学生总结：这些公式中出现了几个量？ 已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二 导思：当公差d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn可表示为n的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差［知识应用］ 【例1】(直接代公式)计算： (1)1+2+3+…+n； (2)1+3+5+…+(2n-1)；精心整理

(3)2+4+6+…+2n； (4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n导学：(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回答 ；(2)1+3+5+…+(2n-1)= =n；(3)2+4+6+…+2n=2生(1)1+2+3+…+n==n(n+1).导思：很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解【例2】（课本第49页例 【例3】(课本第50页例2)已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？ 当r=0时，这个数列是等差数列，当r≠0时，这个数列不是等差数列 这里的p≠0也是必要的，若p=0，则当n≥2时，an=Sn-Sn-1=q+r，则变为常数列了，r≠0也还是等差数列 1:根据题中条件，求相应的等差数列的前n项和表达式 2：已知数列an的前n项和为3：求集合，求这个数列的通项公式. 的元素个数，并求这些元素的和. 反思 同学们，本节课我们学习了哪些数学内容生①等差数列的前n项和公式1：②等差数列的前n项和公式2： 师通过等差数列的前n项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法生①通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法 ②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量 精心整理

师本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容 2.4等比数

生如果一个数列的前n项和公式中的常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，否则这个数列就不是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列. 列

教学目标 知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 重点 难点 教学重点：等比数列的定义及通项公式 教学难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 教学过程与教学内容 Ⅰ.课题导入 复习：等差数列的定义：an－an1=d，（n≥2，n∈N） 等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 4个例子： ① 1，2，4，8，16，…②1， 1111，，，，…③1，20，202，203，204，… 24816，100001.01983，100001.01984，④100001.0198，100001.01982100001.01985，…… 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即： an=q（q≠0） an11“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛an｝成等比数列an1=q（nN,q≠0） an2隐含：任一项an0且q0 “an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件． 精心整理

3q=1时，{an}为常数。 n12.等比数列的通项公式1:ana1q(a1q0) 由等比数列的定义，有： a2a1q； a3a2q(a1q)qa1q2； a4a3q(a1q2)qa1q3； ………………… m13.等比数列的通项公式2:anamq(a1q0) 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系： n1等比数列｛an｝的通项公式ana1q(a1q0),它的图象是分布在曲线ya1xqq（q>0）上的一些孤立的点。 当a10，q>1时，等比数列｛an｝是递增数列； 当a10，0q1，等比数列｛an｝是递增数列； 当a10，0q1时，等比数列｛an｝是递减数列； 当a10，q>1时，等比数列｛an｝是递减数列； 当q0时，等比数列｛an｝是摆动数列；当q1时，等比数列｛an｝是常数列。 [范例讲解] 课本P50例1、例2、P51例3解略。 Ⅲ.课堂练习 课本P52练习1、2 [补充练习] 2.（1）一个等比数列的第9项是41，公比是－，求它的第1项（答案：a1=2916） 93（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：a1=a2=5,qa4=a3q=40） Ⅳ.课时小结 本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式． Ⅴ.课后作业 课本P53习题A组1、2题 精心整理

2.5等比数列的前n项和

教学 目标 知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的Sn,an,a1,n,q中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力 教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 教学难点：灵活使用公式解决问题 重点 难点 教学过程与教学内容 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前n项和公式： a1(1qn)aanq当q1时，Sn①或Sn1② 1q1q当q=1时，Snna1 当已知a1,q,n时用公式①；当已知a1,q,an时，用公式② Ⅱ.讲授新课 1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n， 求证：SS2n22n Sn(S2nS3n) 23n2、设a为常数，求数列a，2a，3a，…，na，…的前n项和； （1）a=0时，Sn=0 （2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=n-1n1n(n1) 2若a≠1，Sn-aSn=a（1+a+…+a-na），Sn=Ⅲ.课堂练习 Ⅳ.课时小结 Ⅴ.课后作业 a[1(n1)annan1] 2(1a)