双调和Abel-Poisson算子对函数类Hω的逼近

第６卷第１期　杭州师范学院学报（自然科学版）　Ｖｏ１．６　Ｎｏ．１　２００７年１月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈａｎｇｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｊａｎ．２００７　文章编号：１ＯＯ８—９４０３（２００７）Ｏｌ—ｏｏ１３—０５　双调和Ａｂｅｌ—Ｐｏｉｓｓｏｎ算子对函数类Ｈ∞的逼近　有名辉，卢志康　（杭州师范学院数学系，浙江杭州３１００３６）　摘要：讨论双调和Ａｂｅ１一Ｐｏｉｓｓｏｎ算子对函数类Ｈ　和Ｈ７的逼近速度，给出艿（Ｈ　，ｒ）和艿（Ｈ　，ｒ）的上下　界估计．　关键词：双调和Ａｂｅｌ—Ｐｏｉｓｓｏｎ算子；函数类；逼近　中图分类号：Ｏ１７４．４２　ＭＳＣ２０００：４１Ａ３５；４７Ａ５８　文献标志码：Ａ　０　引　言　关于许多经典算子对函数类的逼近问题，文献［１］中作了较为系统的介绍，文［２］也曾研究过双调和　Ａｂｅ１一Ｐｏｉｓｓｏｎ算子对Ｈ６１ｄｅｒ函数类的逼近．在此，主要讨论这一算子对函数类Ｈ　和Ｈ　的逼近速度，推　广了文Ｅ２３的结果．　记ｃ　为周期是２丌的连续函数的全体，并且对ｆ∈Ｃｚ　定义范数　ＩＩ　ｆ　ＩＩ。。：一ｍａｘ　ｌ厂（ｚ）１．　对于Ｃ　中的可积函数ｆ，定义双调和Ａｂｅｌ—Ｐｏｉｓｓｏｎ积分Ａｚ（厂，ｒ，ｚ）：　Ａ２（厂，ｒ，ｚ）一Ｉ厂（￡＋ｘ）Ｐ２（ｒ，ｔ）ｄｔ，　（１）　其中　州　一　，。≤ｒ＜　，　为双调和Ａｂｅｌ—Ｐｏｉｓｓｏｎ核＿３　］．　设Ｋ是一函数类，定义算子Ａ　（厂，ｒ，ｚ）对Ｋ的逼近度为　８（Ｋ，ｒ）一ｓｕｐ　ｌｌ　Ａ２（厂，ｒ，ｚ）一厂（ｚ）ｌｌ。。．　ｆＥＫ　．　设　（￡）是一给定连续模，定义　］　Ｈ　：一｛厂ｌ厂∈Ｃ　，　（厂，￡）≤　（￡）｝，　（３）　Ｈ　：一｛厂ｌ厂∈ｃ　，ｌｌ厂ｌｌ≤Ｍ。，　（厂，￡）≤　（￡）｝，　（４）　其中Ｍ和Ｍ。是常数．　收稿日期：２００６—０６—２８　作者简介：有名辉（１９８２），男，浙江湖州人，基础数学硕士研究生，主要从事函数逼近论方面的研究　＊通讯作者：卢志康（１９４３一），男，浙江湖州人，教授，主要从事函数逼近论方面的研究．　维普资讯 http://www.cqvip.com

１４　杭州师范学院学报（自然科学版）　ｒ●●●Ｊ０　２００７年　当ｏＪ（ｔ）一ｔ　（０＜ａ≤１）时，Ｈ　就是著名的ＨＯｌｄｅｒ函数类，通常记为Ｈ。．文［２］得到了如下结果：　８（Ｈａ，，．）一　二　二　：　口Ｉｔ＂　ｏ　２ｃｏｓ警　＋０（（１一ｒ）　），０＜ａ＜１．　在此将证明以下结论．　ｒ●Ｊ０　１　主要结果　定理　当ｒ≥　１时ｒ●●Ｊ０　，有　－鲁．　（　）≤　（Ｈ　，ｒ）≤２１Ｍｗ（１一ｒ），　（５）　而Ｍ（１一　（　）≤８（Ｈ７，ｒ）≤２　ｏＭ１（１一ｒ）＋７０Ｍ（１一　（１一ｒ），　（６）　ｎ｛ｆ　Ｍ１　Ｍ１｝　．　≤　２　引　理　１一丌　ｆ－ｒ●Ｊ０　引理１　当ｒ≥　１时，有　＋　（１一ｒ　）　（１一ｒ）ｔ　ｒ●Ｊ　ｄ￡≤１０（１一ｒ）．　丌Ｅ（１－ｒ　ｒ（２ｓｉｎ专）　］　证明　ｄ￡．　Ｉｔ＂　［　ｒ（１－－ｒ褊（２ｓｉ　）‘］‘　当ｒ≥　１时，有　［　（（１１一ｒ　）　（７ｒ（１２一ｒｓｉｎ号））ｔ　　］　半ｄｔ≤　一　（７）　ｒ　ｒ５（Ｎ￣２ｔ≤ｓｉｎ￡０≤￡≤７ｒ，故ｒ≥　１时，，有　７ｒ　厶　（１一ｒ　）　（１一ｒ）ｔ　丌［ｃ　＋ｒ（２ｓｉｎ号）　］　ｄ￡≤矗（１＋　１＿ｒ）≤９（１－ｒ）．（８）　结合式（７）（８），引理１得证．　类似地，还可得　ｒ（１一ｒ　）　ｔｓｉｎ　引理２　丌Ｅ（１－ｒ　ｒ（２ｓｉｎ专）　］　ｄ￡≤１０（１一ｒ）．　引理３当ｒ≥丢时，有．ｆ　＿　≤２ｏ（１一ｒ）　・　ｒ●ｄ￡ｒ●Ｊ≤维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　有名辉，等：双调和Ａｂｅｌ—Ｐｏｉｓｓｏｎ算子对函数类Ｈ　的逼近　１５　引　４一　１：￣－ｆｉ。　面　卜　。３　・　．１１－　ｒ　引理５　当ｒ≥　１时，有ｊ．Ｐ　（ｒ，￡）ｄ￡≤　１．　引理６　当ｒ≥　１时，有ｊ．Ｐｚ（ｒ，￡）ｄ￡≤　７．　引理７　设　（￡）是一给定连续模，定义ｇ　（￡）：一　（１　ｔ　１），ｌ　ｔ　ｌ≤１ｌ＂，其他点以２丌为周期延拓，则　引理８　设ｃｃ，（￡）是一给定的连续模．定义［一丌，丌］上的函数：　［ｏ，号］，　一Ｊ【　ｏ一　（￣（ｉｒ－－ｔｔ）），，ｔ￡∈［∈［　一丌，１ｌ＂］ｏ）；，　　定义ｇ　（￡）：一　（０　ｚ）出，　≤　其中　一ｍｉｎ｛ｆ　菁’【　　Ｍ】厶　　Ｊ　Ｍ］　　其他点以２丌为周期延拓．则　１）ｇ２（￡）是一个偶函数；２）ｇ２（￡）∈Ｈ７．　３　定理的证明　Ａ２（厂，ｒ，ｚ）一厂（ｚ）一Ｉ｛ｆ（ｘ＋￡）一厂（ｚ））Ｐ２（ｒ，￡）ｄｔ．　（９）　（Ｈ　，ｒ）一ｓｕｐ　Ｉ　ＩＡ　（－厂，ｒ，ｚ）一厂（ｚ）ＩＩ　ｏ。≤　Ｍ　ｌ　ｃｃ，（Ｉ　￡Ｉ）Ｐ２（　）ｄ￡≤　（　）ｊ．（　＋１）Ｐ２（　）ｄｆ．　（１０）　由于　ｊ．１￡ｌＰ　（ｒ，￡）ｄ￡：＝２ｊ．￡Ｐ　ｚ（ｒ，￡）ｄ￡＝＝ｊ．　再由引理１和引理２，当ｒ≥　１时，有　Ｊ　ｆ　Ｉ￡ＩＦ　２（ｒ，￡）ｄ￡≤２０（１一ｒ）．　（１１）　联立式（１０）（１１），得　维普资讯 http://www.cqvip.com

１６　杭州师范学院学报（自然科学版）　２００７钲　（Ｈ　，ｒ）≤　＾　ｕ（艿一　）Ｌ１＋２０艿（１一ｒ）＿Ｊ．　取艿一　ｌ＿，即有　（Ｈ　，ｒ）≤２１Ｍ￣（１一ｒ）．由此得到式（５）中的上界估计式．　下面证明下界估计．由引理７以及　（Ｈ　，ｒ）的定义，可知　（Ｈ　，ｒ）≥ＩＡｚ（ｇｌ，ｒ，Ｏ）一ｇ　（。）Ｉ一２　∞（￡）Ｐ　（ｒ，￡）ｄ￡≥２Ｍｊ．∞（￡）Ｐ　（ｒ，￡）ｄ￡≥　２　ｃ　）』　一２　（　）（　一ｊ．　川　）．　（１２）　１一ｒ　０　ｌ２　由引理５，当ｒ≥　时，有　（Ｈ　，ｒ）≥＿鲁＿　（　）．　３．２　（Ｈ　。ｒ）的上下界估计　对任意的－厂∈Ｈ　，显然有　ｆ（ｘ＋￡）一厂（ｚ）＋厂（ｚ）￡＋［厂（ｚ＋￡）一厂（ｚ）一ｆ　（ｚ）￡］，　结合式（１１）和芎（Ｈ　，ｒ）的定义，可知　６￣（Ｈ７，ｒ）≤　厂（　Ｉ　Ｐ　（　）ｄ　ｊ．Ｉ厂（ｚ＋￡）一ｆ（ｘ）一厂（ｚ）￡Ｉ　Ｐ　（ｒ，￡）ｄ￡一　＋　ｚ．（１３）　由于ＩＩ厂ＩＩ≤Ｍ　，结合式（１１），当ｒ≥　１时，有　Ｐ　２（ｒ，￡）ｄ￡≤Ｍｌ　ｆ　Ｐ　２（ｒ，￡）ｄ￡≤２０Ｍｌ（１一ｒ）．　（１４）　又因为　Ｉ　ｆ（ｘ＋￡）一厂（ｚ）一厂（ｚ）￡Ｉ：Ｉ　ｔ（ｆ　（ｚ＋　）一厂（ｚ））Ｉ≤Ｉ　ｔ　Ｉ∞（厂，Ｉ　ｔ　Ｉ），　其中０＜　＜ｔ，因此Ｖ艿＞０，　≤　￡Ｉ∞（厂，Ｉ￡Ｉ）Ｐ２（　）ｄ￡≤　（　）ｊ．（　＋　）Ｐ２（川）　（１５）　由于　‘　Ｊｒ　一　ｊ　一ｄ　以及引理３和引理４，当ｒ≥　１时，有　Ｉ　ｔ　Ｐ２（ｒ，￡）ｄｔ≤５０（１一ｒ）　．　（１６）　Ｊ　结合式（１１）（１５）（１６），可得　２≤　ｕ（　）Ｅ２ｏ（１一ｒ）＋５０艿（１一ｒ）　］．　１　１　取艿一　，则当ｒ≥　１时，有　．　上——７　厶　２≤７０Ｍ（１一ｒ）（ｃＪ（１一ｒ）．　（１７）　结合式（１３）（１４）（１７），有　（Ｈ　，ｒ）≤２０Ｍ　（１一ｒ）＋７０Ｍ（１一ｒ）∞（１一ｒ）．由此获得　（Ｈ　，ｒ）的上界．　下面证明下界．由引理８和　（ＨＴ，ｒ）的定义，可知　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　有名辉，等：双调和Ａｂｅｌ—Ｐｏｉｓｓｏｎ算子对函数类Ｈ　的逼近　１７　’　（Ｈ　，ｒ）≥｛Ａ　（ｇ　，ｒ，０）一ｇ　（ｏ）ｉ一２　（ｚ）Ｐ２（ｒ，ｆ）ｄｘｄｔ≥　号　２Ｍ～　ｊ．　（　）　２　（　）｛ｊＰ２（ｒ，ｔ）ｄｔ－－ｏｉ　Ｐ２（ｒ，ｔ）ｄｔ－ｌＰ２（ｒ，ｔ）ｄｔ）．　（１８）　由引理５和引理６，结合式（２Ｏ）（２１）知，当ｒ≥　１时，有　≥　（１－ｒ）ｗ（　）．　定理证毕．　可。ｒ●●●Ｊ０　　‘１］Ｄｅ　ｖ０ｒｅ　Ｒ　Ａ．Ｔｈｅ　ａｐｐｒ　０ｘｉｍａｔ１０ｎ　０ｆｃ０ｎｔ｜ｎｕ０ｕｓ　ｆｕｎｃｔ｜０ｎｓｂｙ　ｐ０ＳＩｔｉｖｅ　ｌｉｎｅａｒ。ｐｅｒａｔｏｒ［Ｍ＇］．Ｎｅｗ　Ｙ０ｒｋ：　ｒｉｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９７２．　２　卢志康，有名辉．０ｎ　ｔｈｅ　ａｐｐｒ。ｘｉｍａｔｉ。ｎ。ｆ　ｆｕｎｃｔｉ。ｎｓ。ｆ　ｔｈｅ　Ｈ６ｌｄｅｒ　ｃｌａｓｓ　ｂｙ　ｂｉｈａｒｍ。ｎｉｃ　Ｐ０。ｓｓ０ｎ’ｎ　ｇｒａｌｓ［Ｊ］・Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｙ　。　ｎ　ａＤＤｌｉｃａｔｉｏｎ（待发表）．　ｒ３］　Ｉｋ－ｈ。ｎ。ｖ　Ａ　Ｎ，ｓａｍａｒｓｋｉｉ　Ａ　Ａ．Ｅｑｕａｔｉ。ｎｓ。ｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｐｈｙｓｉｃｓ［Ｍ］（ｉｎ　Ｒｕｓｓｉａｎ）・ＭＯＳＣＯＷ：Ｎａｕｋ　ａ’　９７７・　ｒ４］ｐｅｔｒｏｖ　Ｖ　Ａ．Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ　ｐ０ｉｓｓｏｎ　ｉｎｔｅｇｒａｌ［Ｊ］．Ｌｉｔ．Ｍａｔ．Ｓｂ．，１９６７，７（１）：１３７—１　２’　Ｏｎ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｈ∞Ｃｌａｓｓ　Ｂｙ　Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ａｂｅｌ－Ｐｏｉｓｓｏｎ　Ｏｐｅｒａｔｏｒ　ＹＯＵ　Ｍｉｎｇ—ｈｕｉ，ＬＵ　Ｚｈｉ—ｋａｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ。ｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈａｎｇｚｈ。ｕ　Ｎｏｒｍａ１　ＵｎｉＶｅ　ｙ，Ｈａｎｇｚｈ。ｕ　３１ＯＯ３６，ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｗｅ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉ。ｎ　ｒａｔｅ。ｆ｛ｕｎｃｔｉ。ｎｓ。ｆ　ｔｈｅ　Ｈ　ｃｌａｓｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｈ７　ｃ１ａｓｓ　ｂｙ　ｂｉｈａｒｍ。ｎｉｃ　Ａｂｅ卜Ｐ。ｉ　。ｎ。ｐ　ｅｒａｔ。ｒ，ａｎｄ　ｇｉｖｅ　ｔｈｅ　ｕｐｐｅｒ　ａｎｄ　ｌｏｗｅｒ　ｂｏｕｎｄ　ｅｓｔｉｍａｔｅ。ｆ　（　，ｒ）ａｎｄ　（晰，　）‘　Ｋｅｙ　ｗＯｒｄＳ：ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ　Ａｂｅ１一Ｐ。ｉｓｓ。ｎ。ｐｅｒａｔ。ｒ；ｃｌａｓｓｅｓ。ｆ　ｆ““。ｔｉ。“　ｐｐ　。　ｍ　ｔ　。“