勾股定理的历史材料及其应用

勾股定理的历史

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾

股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。（右图为欧几里得和他的证明图）

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。

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在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代

数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

勾股定理的证明

据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。

【证法1】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1ab. 把这四个直角三角形拼成

2如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.

∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于ba2.

BAcaHEbGFCD 2

∴ 412abbac2 2∴ a2b2c2. 【证法2】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

aaaabcbbcaaabccab11a2b24abc24ab， 整理

22得 a2b2c2.

bcbbbcbaa【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1ab.

2把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于1c2.

2又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等∴

1ab22aAcbEcabBCD于

1ab221ab1c2. 222∴a2b2c2.

【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身

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子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。

【证法4】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L. ∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于1a2，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，

2GHaFaAbMBCbKcDLcE∴ 矩形ADLM的面积 =a2.同理可证，矩形MLEB的面积 =b2. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ c2a2b2 ，即 a2b2c2. 【证法5】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.

∴AD∶AC = AC ∶AB，即 ACADAB.

2CaADcbB同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB， 从而有 BC2BDAB.

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∴ AC2BC2ADDBABAB2，即 a2b2c2

【证法6】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1ab.

2把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

baDaHFccEbaBbcGaCbc2

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c. A∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于ab2. ∴ ab241abc2.

2∴ a2b2c2.

【证法7】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆， 交AB及AB的延长线分别于D、E， 则BD = BE = BC = a.

因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上， 所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

EaBaacCbDAAC2AEAD=ABBEABBD=caca= c2a2，

即b2c2a2，∴ a2b2c2. 【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）

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在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

∴ ACBCABAECEBDCDAFBF

A= CECD= r + r = 2r,即 abc2r，

∴ ab2rc. cFb∴ ab22rc2，

rOr即 a2b22ab4r2rcrEc2， BaDC∵ SABC12ab，

∴ 2ab4SABC，

又∵ S1ABCSAOBS1BOCSAOC = 2cr2ar12br = 12abcr

= 122rccr = r2rc，

∴ 4r2rc4SABC，

∴ 4r2rc2ab，

∴ a2b22ab2abc2， ∴ a2b2c2.

勾股定理的应用

一、填空题

B200mC1．在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=8，c=10，则b=___________； 520m③若c=61，b=60，则a=__________； A④若a∶b=3∶4，c=10则SD△ABC=________。

C2．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到B达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_________。

OA

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3．如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=____________.

4．已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为_______. 5．等腰△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则BC边上的高AD=_______。

6．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水

面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。

2 2 2７．在ΔABC中,若AB+ BC= AC,则∠A + ∠C＝ °。

C B ８.如图，直角三角形的两直角边长分别是6cm和8cm，

则带阴影的正方形面积是 。

９．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm。

１０．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离

树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______________米。

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D A 7cm D B

二．选择题

C A

１．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A、25

B、14

C、7

D、7或25

２．在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为8、2，则较长直角边长为（ ）

A.5 B .4 C.3 D.2

３． 如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m

处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ） A45cm B40cm C50cm D56cm

４．小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸的说法中正确的是

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北A东西南B

A. 小丰认为指的是屏幕的长度; B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度; C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度

A E D B

F

C ５．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ） A、6cm2

B、8cm2

C、10cm2

D、12cm2

北 ６．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A、25海里

７．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）

（A）直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对

８．男孩戴维是城里的飞盘冠军，戈里是城里最可恶的踩高跷的

ACA 东

B、30海里 C、35海里 D、40海里

南

B人，两人约定一比高低．戴维直立肩高1.5米，他投飞盘很有

力，但需在13米内才有威力；戈里踩高跷时鼻子离地6.5米，他的鼻子是他惟一的弱点．戴维需离戈里( )远时才能刚好击中对方的鼻子而获胜． A. 13米 B．12米 C. 8米 D．5米 三．解答题

１．在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高3米的小树，两树之间相距12米。今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答）

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２．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域。 （1） A城是否受到这次台风的影响？为什么？

（2） 若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

BA东北EPF

３．已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。

４．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

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A B

D

C

D C

A

E

B

５．.印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：

“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 请用学过的数学知识回答这个问题。

６．如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识,

说明：AB2－AP2

=PB×PC。

A B P C

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