高中物理竞赛复赛模拟试题(有答案)

一、某一构件由两个菱形组成,AB和DE是两根硬杆,各焦点都用铰链连接,大菱形的边长是2l,小菱形的边长是l,现设法使顶点F以加速度a水平向右运动,求： （1）C点的加速度多大？

（2）当两个菱形都是正方形,F点的速度为ν时,A点的加速度的大小和方向。

A E C F O D B

二、长为L的杆AO用铰链固定在O点,以角速度ω围绕O点转动,在O点的正上方有一个定滑

轮B,一轻绳绕过B滑轮的一端固定在杆的A端,另一端悬挂一质量为M的重物C,O、B之间的距离为h,求：

（1）当AB绳与竖直方向成θ角时,重物的运动速度； （2）此时绳上的张力为多少？

B θ C M A

O L ω

三、一对半径为r的轻轮安装在一根细轴上它们共同以某一速度ν沿图示的平面向右滚动。斜面与平面接触的顶角A处足够粗糙（即轮不会产生滑动）,斜面与水平面成α角,要求轮从平面滚动到斜面时不要离开顶角,问ν的最大值为多少？

r A α 四、一架大型民航飞机在降落到机场前撞上一只正在飞行的天鹅,试估算,天鹅转击飞机的力为多少（只要数量级正确即可）？

五、有一汽缸,除底部外都是绝热的。上面是一个不计重量的活塞,中间是固定的导热隔板,把汽缸分成相等的两部分A和B,上下各有1mol氮气,现从底部将350J的热量传送给气体,求： （1）A、B内的气体温度各改变了多少？ （2）它们各吸收了多少热量？

若是将中间的隔板变成一个导热的活塞其他条件不变,则A、B的温度又是多少？（不计一切摩擦）

- 1 -

B A 六、两个绝缘的相距较远的球形导体,半径分别为r1、r2,带电后电势分别为ν1和ν2,若用细导线将两个球连接起来,求在导线上放出的电量。 七、一个正方形的导线框ABCD,边长为l,每边的电阻为R,在它中点处内接一个小一些的正方形线框EFGH,然后在各边中点在内接一个更小的正方形导线框 一直下去,直至无穷。如果所有正方形导线框用的导线都是相同的,所有接触点接触良好。求： （1）A、C两点之间的电阻 （2）A、B两点之间的电阻

F B A E

G

D

H

C

八、字一焦距为f的薄透镜的一侧放置一个球心位于主光轴的球面,试证明当球心与透镜光心

的距离u以及球面半径R满足一定条件时,此球面通过透镜所成的像也是一球面。

- 2 -

参

一、（1）因为OC：CF=2：1,所以C点的加速度ac是F点的加速度的2/3,即 3ac=2a

（2）A点的加速度由它的切向加速度aA||和法向加速度aA⊥构成

由于AC杆的长度不会变化,因此A点的切向加速度应该和C点的加速度的沿AC杆的分量相同,即

aA||=aCcos45° aA||=

2a 3B θ 为了求出aA⊥,先要设出A点的速度νA νC=2ν/3 νA=

2 3h

β α O

L A δ ωL

因此

vA2v2 aA⊥=

2l9laAaA||aA

二、如图,A点的速度 νA=ωL 由△OAB可知

sinsin Lhhsin sinL因为β=

22

所以cossin

vMvAcosLhsinL

（2）因为OA杆作匀角速度转动,所以A点相对O点只有向心的速度

(L)2an2L

L将此加速度分解成沿BA方向和垂直于BA方向两个分量,沿BA方向的分量

- 3 -

anancos()(L)2(cos) L2L2h2sin2这就是M上升的加速度,因此绳上的的张力

TMgMaMMgMLhsin222 三、由于没有滑动,所以滚过平面与拐角时,轮对的轴绕O点转动,如图。若能脱离拐角,轮对拐角的压力以及摩擦力匀等于零。设在角β下发生脱离,此时轮对速度记为ν1,那么应满足下式

mv2mgcos

r由机械能守恒定律

O β mg α mv2mv12mgr(1cos) 22由以上方程所确定的角β只要不小于α,则轮对实际上就不会脱离拐角,因此

coscos

由以上可得,不脱离拐角条件为

vgr(3cos2) 如果arccos2,则ν为任意值都要脱离拐角。 3四、此类估算的题目往往要我们学生做两个工作：（1）将实际情况近似成一个物理模型。（2）对一些题目中未给出而我们不必需的物理量做出合理的假设。

（1）因为天鹅的飞行的速度比飞机的速度小得多,因此可近似认为天鹅静止。撞击后天鹅被迫获得了和飞机相同的速度（好似一肉饼贴在飞机上）

（2）设天鹅长L=0.5m,重mg=5kg,飞机降落前速度为ν=180km/h（即50m/s） 撞击时间t=L/ν=0.01s

mv550()N撞击力F=t 0.012.5104N这是一个十分巨大的里,对飞机是很危险的。

五、A、B中间的隔板导热,因而A、B两部分的气体温度相等,B中温度升高后将等压膨胀. 设末态时A、B温度为T′,对B部分气体有

VV TTB部分气体对外做功为

- 4 -

WPVVPVTRT TA、B两部分气体的内能增量为

5E2RT5RT

2根据热力学定律得

EQW

即TQ7.02K 6R对A部分气体有

QA5RT145.8J 2对B部分气体有

QBQQA204.2J

若将A、B之间位置固定的导热板换成可自由滑动的绝热板,则B部分的气体温度将不会发生变化.因为A、B部分气体的压强相等,故A部分气体对B部分气体做功总是等于B部分气体对大气做功,即B对外做的净功为零.而A部分气体则作等压膨胀,其对外做功可表示为

WPVRTA

这一过程A部分气体内能的增量可表示为

5E1RTA 2根据热力学第一定律得

QWE7RTA 2代入数据得TA11.5K

注:本题在求第二问时,还可直接用公式QrCpT,这样比较简单.

六、两球形导体相距较远,意即不计一个球上的电荷在另一个球上产生的电势.两导体球用导线相连后电势必定不变,这样这两个导体球电荷重新分布后所带的电量可求. □解:设两个孤立导体球的带电量分别为Q1和Q2,则

U1KQ1Q,U2K2 r1r2两孤立导体球储存的总电量可表示为

U12r1U22r211WQUQ2U2 11222K2K两导体求用细线相连后带电量分别为Q1′、Q2′,则有

- 5 -

Q1Q2Q1Q2Q1Q2KKr1r2易得Q1

r1r(Q1Q2),Q22(Q1Q2) r1r2r1r2两导体球在细线相连后贮有的总电量可表示为

11QW(Q1Q2)U(Q1Q2)K22r1K(Q1Q2)(UrU2r2)112(r1r2)2K(r1r2）22

所以,在导线上放出的能量为

2r1r（UU）2 WWW212K（r1r2）注:在用导线相连后的两孤立导体球贮能时也可认为是两电容器并联,C总C1C2,直接用

2（Q1Q2）求,其中C1、C2为孤立导体球的电容. W（2C1C2）七、(1)将A接电源的正极,C接电源的负极,由于内外层的对称性,J、L两处的内外是可以断开的,由于IJ=AB/2,所以RAB=2RIK(均含内部无数多个内接正方形),图1可等效成如图2.图2中E和F、H和G的电势肯定相等,可以互联,因此图2可等效成图3,图3中所有的电阻根据导线的长度都可以算出,这样解一个有关RAC的方程,即可求出RAC

(2)求出RAC之后求RAB并不困难.因为AB=2EF,所以剥去最外层框之后的REGRAC.当A、B2分别接电源的正负极时,由于都处于电路中的中点,因此F、H两处内外是可以断开的.图1可以等效为土4,即可求出RAB.

- 6 -

A

I E

F J

A

F

B

G

E

R2x G

K D

H

B F L C G C

H

D B

A

A

E 1/2RAC C D 1RAC 2H D

C

八、由于球心在主光轴的球面物与透镜相对主光轴所具有的旋转对称性,球面物成球面像的问题可简化为圆环物成圆环像的问题.

如图所示,在透镜左侧的物光空间建立O—xy坐标系,O取在光心,x轴放置在主光轴上且指向左方,y轴在图中垂直向上.圆环物的圆心坐标为（u,0）,半径为R,所有物点满足圆方程 （x-u）2+y2=R2

在透镜右侧的像光空间建立O′—x′y′坐标系,该坐标面其实与O—xy坐标面重合,O′仍取光心,x′轴也放置在主光轴上但指向右方,y′轴与y轴平行.

物点（x,y）对应的像点记为（x′,y′）,根据透镜成像公式几横向放大率公式,有

1xf111xxfxxf xxfyyyxf由此可得

(xf)22yy

f22y R u y′ 利用(1)式,

(xf)22yR(xu)22f

122(xf)2R2x(fu)uff2x O O′ x′ 展开、整理后,即为

y2122222R(fu)uR(fu)xx f2fR2u2- 7 -

为使像点满足的此方程为圆方程,要求项系数为,即

R2(fu)2f2

因此圆环物能成圆环像的条件是

Ru(u2f) u2f回到(2)式,可得

y2x2即为

2(fu)x2uf0 f(xu)2y2u(u2f)R2

可见所成圆环像的圆心与光心之间的距离也为μ,圆半径也为R,或者说物圆与像圆是两个完全相同的圆,它们对称的居于透镜两侧.

全部物点构成一个整圆环,这是已给的条件.圆环物成圆环像,要求全部像点必须也构成一个整圆环。上述的讨论严格来说,知识证明了所有像点可以满足圆方程（4）式,但全部像带内是否能构成一整圆,需要进一步讨论。

可以这样分析：设像为部分圆,记为A,可将A作为物,根据光路可逆性,其像必为一整圆记为B,再将A扩张为一整圆记为A*,且将A*作为本题中的物圆,它所成像必落在B上,

这样A*中至少有两个点（一个在A中,另一个在A外）它们的像落在B中同一点上。这与物点与物点之间的一一对应的关系相矛盾,所以不可能。由此知像必为整圆,如图中虚线所示。 综上所述,只要μ,R满足（3）式,则圆环物必成圆环像,球面物必成球面像。

- 8 -