概率论与数理统计化学工业出版社第二章习题答案

习 题

4． 在10件产品中有3件次品，从中任取2件，用随机变量X表示取到的次品数，试写出X的分布列及分布函数．

解 X取值0,1,2，且

211C7C7C3C32177P(X0)2,P(X1),P(X2)2， 2C1015C1015C1015X的分布列为  0 1 2．

7/15 7/15 1/15分布函数F(x)P(X≤x)， 当x0时，P(X≤x)0，

当0≤x1时，P(X≤x)P(X0)7， 1514， 15当1≤x2时，P(X≤x)P(X0)P(X1)当2≤x时，P(X≤x)P(X0)P(X1)P(X2)1，

x007150≤x1故分布函数为 F(x)．

14151≤x2x≥21,6． 甲、乙、丙三人参加志愿者服务，每人在周一至周五任选两天，记X为这三人周五参加志愿服务的人数，求X的分布列．

解 记p{一人选中周五参加志愿服务}，q{一人没有选中周五参加志愿

112C4C12C43服务}，则p2,q2．

C55C55X为这三人周五参加志愿服务的人数，则X取值为0，1，2，3．且 3270031121232P(X0)C3pq()3pqC3()()，P(X1)C3，

512555125233628330，P(X3)C3． P(X2)C32p2q1C32()2()pq()3551255125所以X的分布列为

 0 1 2 3． 27/125 /125 36/125 8/1252, ax；210． 设随机变量X的密度函数为f(x)，求常数(1x)0, x≤a.a的值，如果P(aXb)0.5，求b的值．

解 由密度函数的性质f(x)dx1，有

aa22dxarctanx2(1x)2(arctana)1， 2所以arctana0，从而a0．

由P(aXb)0.5，即P(0Xb)有arctanbb022dxarctanx2(1x)b00.5，

，从而btan1． 44ke3x, x0；11． 设随机变量X的密度函数为f(x)，求(1)常数k；(2)X0, x≤0.1的分布函数F(x)；(3)PX． 2解 （1）由密度函数的性质f(x)dx1，有

0所以k3．

01ke3xdxk()e3x3xk1， 3（2）分布函数F(x)P(X≤x)f(x)dx，

当x≤0时，F(X)P(X≤x)0， 当x0时，F(x)xf(x)dx0dx3e3xdx1e3x，

00x1e3x, x0;所以分布函数为 F(x)  0, x≤0.13113x2（3）PXP{0X}3edx1e2．

022Ae2x,x0;13． 设随机变量X的分布函数为F(x)，求（1）常数A；

x≤0.0,（2）P(1X≤2)；（3）X的密度函数．

解 （1）由F(x)的连续性，有 limF(x)A1F(0)0，所以A1． x0 （2）P(1X≤2)F(2)F(1)(1e4)01e4．

2e2x （3）f(x)F(x)0

x0． x≤0习 题

4． 盒中有5个球，其中有3白2黑，从中随机抽取2个球，求抽得白球数

X的期望．

解 X的可能取值为0，1，2．

112C3C26C323C21P(X0)2,P(X1)2,P(X2)2，

C510C510C510E(X)0163121.2． 1010106． 某射手每次射击打中目标的概率都是，现连续向同一目标射击，直到第2次击中为止． 求射击次数X的期望．

解 设X1表示第一次击中时的射击次数，X2表示第一次击中后到第二次击中时的射击次数，p0.8，则

P(Xik)(1p)k1p,k1,2,L，

且XX1X2，由题意知，X1和X2相互，E(Xi)k(1p)k1pk11， p从而 E(X)E(X1)E(X2)222.5． p0.87． 已知随机变量的分布列为2 0 1 5，

0.3　　0.1　　0.40.2　　求E()，E(23)，E(2)，E(223)．

解 E()20.200.310.150.41.7， E(23)23E()231.73.1，

E(2)(2)20.2020.3120.1520.410.9， E(223)E(2)2E()310.921.7310.5． 0≤x≤1；2x，　9． 设随机变量X的密度函数为f(x) 　0，　其它.求E(X)，E(23X)，E(X2)，E(X22X3)．

解 E(X)2xf(x)dxx2xdx，

031 E(23X)23E(X)2320， 31， 2121323． 236E(X2)x2f(x)dxx22xdx01E(X22X3)E(X2)2E(X)310． 对球的直径作近似测量，设其值在区间 [a, b]上均匀分布，求球体积的均值．

解 设X表示球的直径，则X的密度函数为

1,　a≤x≤b; f(x)ba　0,　　　　其它.球的体积 V4X33()X， 326b313E(V)E(X)xdx(ab)(a2b2)．

66aba2412． 设商店经销某种商品的每周需求量X服从区间 [10,30]上的均匀分布，而进货量为区间 [10,30]中的某一个整数，商店每售一单位商品可获利500

元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每售出一单位商品仅获利300元，求此商店经销这种商品每周进货量为多少，可使获利的期望不少于9 280元．

解 设Y为商店的周利润，a为该商品每周的进货量．

500X100(aX)600X100a,　10≤X≤a;利润函数为Y， 500a300(Xa)300X200a,　a≤X30.1　10≤x≤30;,X的密度函数为f(x)20．

 0,　其它.3011E(Y)Yf(x)dx(600x100a)dx(300x200a)dx

10a2020a7.5a2350a5250，

要使得E(Y)≥9280，即7.5a2350a5250≥9280，有

23a2140a1612≤0， 解得 20≤a≤26．

3所以该商品每周的最小进货量为21单位．

习 题

2． 已知X的分布列为P(Xk)2ak,(k1,2,L)，求常数a及E(X)． 解 由分布列的性质，有2ak1，即2k1a11，所以a． 1a32aa E(X)k2ak2(k1)akak21a1ak1k1k12a3．

(1a)226． 设X~f(x)1e|x|,x. 求E(X),D(X)．

21x解 被积函数xf(x)xe是奇函数，且积分区间(,)关于原点对称，

2故

E(X)xf(x)dx1xxedx0， 2D(X)E(X2)[E(X)]2E(X2)

1xx2edxx2exdx2． 02 0, x1;0.5x0.5x2, 1≤x0;7． 已知随机变量X~F(x)，求E(X),D(X)． 20.5x0.5x, 0≤x1; 1, x≥1. 解 随机变量X的密度函数

1x,f(x)F(x)1x,0,01101≤x0;0≤x1;其它.

E(X)x(1x)dxx(1x)dx0，

E(X)x(1x)dxx2(1x)dx1020211， 61D(X)E(X2)[E(X)]2．

63a2，　x≥a；9． 设随机变量X的密度函数为f(x)x4， 　0，　　 xa.2求E(X),D(X),D(Xa)．

3解 由密度函数的性质，有E(X)a3a2dx1，得出a1． x4a23a23223ax4dx， E(X)x4dx3a3， ax2xD(X)E(X2)[E(X)]23a93， 442441D(Xa)D(X)a1． 393310． 设随机变量X服从[0,]上的均匀分布，YcosX，求Y的期望与方差．

解 随机变量X服从[0,]上的均匀分布，密度函数为

2,　0≤x≤;f(x)2

 0,　其它.22E(Y)E(cosX)cosxf(x)dx2cosxdx，

0221cos2x12E(Y)cosxf(x)dx2cosxdx2dx，

002222D(Y)E(Y2)[E(Y)]2

142． 2习 题

4． 设某仪器有三只工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）均服从同一指数分布，其参数为1/600，求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率．

解 设A={在仪器使用的最初200小时内电子元件损坏}，而X表示电子元件的寿命，则X服从指数分布，其密度函数为

x1600e, x≥0; f(x)6000, x0.设Y表示在200小时内电子元件损坏的只数，记pP(A)，则Y~b(3,p)．而

pP(A)P{X≤200}200x11600edx1e3， 6001330所求概率为 P{Y≥1}1P{Y0}1Cp(1p)1(e)1e1．

7． 设~N(1,0.62)，求P(0)，P(0.21.8)． 解 ~N(1,0.62)，由题意有

101P(0)1P(≤0)1P≤1(1.67)

0.60.60303(1.67)0.9525，

1.810.21P(0.21.8)P(0.2≤1.8)()()

0.60.2()120.908210.81．

39． 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中，调节器定在d0C，液体的温度X(0C)服从N(d,0.52)．（1）若d90，求P(X)；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于，问d至少为多少？

解 （1）若d90，

P(X)(90)(2)1(2)10.97730.0227； 0.5（2）依题意有P(X≥80)≥0.99，从而P(X80)0.01，即

由于0.010.5，所以则

80d0.01，

0.580dd800．故≥0.99，而(2.33)0.9901，

0.50.5d800≥2.33，解得d≥81.165，从而d至少为82C． 0.511． 设测量误差X～N(0,100)，求在100次重复测量中至少有三次测

量误差的绝对值大于的概率，并用泊松分布求其近似值（精确到）．

解 设A={一次测量中误差的绝对值大于}，记pP(A)．

设Y表示100次重复测量中事件A发生的次数，则Y~b(100,p)．而

X019.6 pP(A)P(X19.6)1P(X≤19.6)1P≤10101[2(1.96)1]1[20.9751]0.05．

所求概率为P(Y≥3)1P(Y3)1P(Yk)，由泊松定理，这里

k02np1000.055，从而

P(Y≥3)1P(Yk)10.1250.875．

k02习 题

2． 已知随机变量的分布列为0　　　1　　　3　　　　71　　　，

0.05　　0.2　　0.13　　0.250.37　　（1）求＝2－的分布列； （2）求＝3＋2分布列．

解 （1）＝2－的可能取值为5,1,1,2,3，而且

P(5)P(7)0.25，P(1)P(3)0.13， P(1)P(1)0.2，P(2)P(0)0.05， P(3)P(1)0.37．

即＝2－的分布列为

1　 2　　　35　 1　　　． 0.25　　0.13　　0.2　　0.05　　0.37（2）＝3＋2的可能取值为3,4,12,52，而且

P(3)P(0)0.05，

P(4)P(324)P(1)P(1)0.370.20.57，

P(12)P(3)0.13，P(52)P(7)0.25．

即＝3＋2的分布列为

4　 12　　 　　52 3　　　． 0.05　　0.57　　0.13　　0.25　ex, x≥0；5． 设随机变量 X~fX(x)， 求YeX的密度函数fY(y)．

0, x0.解 当x≥0时，YeX的取值范围是y≥1．于是 当y1（即x0）时，fX(x)0，从而f(y)0； 当y≥1（即x≥0）时，

FY(y)P(Y≤y)P(e≤y)P(X≤lny)Xlny0fX(x)dx，

则 f(y)FY(y)111fX(lny)elny2，(y≥1) yyy故YeX的密度函数为

12,f(y)y0,y≥1;y0.

6．设随机变量X在区间[1,2]上服从均匀分布，求Ye2X的密度函数f(y)．

1,1≤x≤2;解 X的密度函数为fX(x)

0,其它.当1≤x≤2时，ye2x的取值范围是e2≤y≤e4． 当y≤0时，FY(y)0；

1当y0时， FY(y)P(Y≤y)P(e2X≤y)p(X≤lny)

20,ye2;0,ye2;112lnydx,e2≤ye4;lny1,e2≤ye4;

1244y≥e.1,1,y≥e.0,ye2;1于是Y的分布函数为 FY(y)lny1,e2≤ye4;

2y≥e4.1,上式求导得Ye2X的密度函数f(y)

1,f(y)FY(y)2y0,e2ye4;其它.