11.估算与比较.通分与裂项

求近似值或整数部分等需要进行估算的计算题，估算的关键在于确定已知数据具有恰当精度的近似值．与分数和小数比较有关的问题．用通分后再约分，或者裂项后再相消的方法解的长分式计算题．

1.除式123456710111213÷312111019876321计算结果的小数点后前三位数字是多少?

【分析与解】对于除法算式，我们将被除数和除数同时扩大或缩小若干倍，所得的商不变，所以可以将被除数和除数的小数点同时向左移动若干位，所得的商不变．

因为要求计算小数点后前三位数字，所以只用保留小数点后前四位数字即可．

123456710111213÷31211101987632l =1234．567101l1213÷3121．1101987632l ≈1235÷3121 ≈0.3957

所以，原除式所得结果的小数点后前三位数字是395．

2．计算下式的值，其中小数部分四舍五入，答案仅保留整数： 33．3332-3.1415926÷0.618

100001001111.1 【分析与解】33.33393223．1415926÷0.618≈3.14÷0.62≈5.1．

所以33.3332-3.1415926÷0.618≈1111．1-5.1=1106．

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学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ www.aoshu.cn www.zhongkao.cn 联系电话：621116 即原式的运算结果的整数部分为1106．

3．在1,11111中选出若干个数使它们的和大于3，最少要选多少个数? ,,,,,23499100 【分析与解】 为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数．

11111依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择． ,,,,,23499100111111111 有12.925

234567101111111111 而13.015

2345671011 有1,所以最少选择11个即可使它们的和大于3.

4.数

1的整数部分是几? 11111011121911011119

【分析与解】 我们可以先算出连10个分数的值得的结果去除l，所得的商的整数部分即为所求． 现在问题在于如何在我们所需的精度内简单的求出

因为

1112，然后用所

110111121119的值．

11011112111191＜

111＝1 1010101010个分数1 即

1101111121119＞

11110＝ 191919191910个分数1 即

110111219的值在

1019～l，那么它的倒数在l～

1910之间，显然所求的数的整数部分

为1．

评注：本题中的放(扩大)缩(缩小)幅度不易确定，可多次尝试修正使得放缩的结果满足要求．

5．8.01×1.24+8.02 ×1.23+8.03×1.22的整数部分是多少?

【分析与解】8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22≈3×8.0×1.2=28.8，与29很接近，所以我们需要进一步的提高近似计算的精度．

(8.01，1.24)，(8.02，1.23)，(8.03，1.22)这三组数的和相等，当每组内的两个数越接近它们的积越大，所以8.01×1.24在三组数中乘积最大，8.03×1.22在三组数中乘积最小．

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学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ www.aoshu.cn www.zhongkao.cn 联系电话：621116 所以8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22<3×8.01×1.24<3×8.00×1.25=30； 8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22>3×8.03×1.22=29.38． 显然8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22的整数部分是29．

6．(1)如果A=1111111102222222218888888876565226798 (2)请把,,,这4个数从大到小排列。

6575326809111111111100.5 【分析与解】 （1）－A＝， ＝22222222221222222221114444444430.50.50.5 B=,有, =>2288888888788888888722222222188888888711 －A>B,所以AB

22 即A与B中较大的数是B． (2)将1与这四个分数依次做差，得

，B=444444443,那么A与B中较大的数是哪一个?

1657532679656528同,差小的数反而大,所以>>>.

2680657539

、

1、

12680、

19,显然有

12680<1657<153<19,被减数相

7．

2431<80口<79

在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少? 【分析与解】 将不等式中的三个数同时除以80，不等号的方向不改变，有

3310口720<1<7，而

3310、

7720的倒数分别为

3103、

7207，而□应该在

31037207之间，即在103.33～102.86之间(在

计算循环小数时，将其小数点后保留2位数字)，其中的整数只有103，所以□内所填的整数为103．

， 8．有8个数，0.512539,

,,0.512413是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个,4725，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数? 数是0.51 【分析与解】

2,5=0.5,240.5106,13=0.52 =0.6394725学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 3 of 9

学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ www.aoshu.cn www.zhongkao.cn 联系电话：621116 13<5<2，8个数从小到大排列<051<0.51<472593，所以有口<口<24<0.51<0.51<13<5<2．(“口’’表示未知的那2个数). 第4个是0.51472593即 显然有0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.624． 所以，这8个数从大到小排列第4个数是0.51

9.在下面9个算式中: ①

35520313，②

36620,③

37720,④

38820,⑤

39920，⑥

3101020，⑦

3111120，⑧

3121220,⑨1320,

第几个算式的答数最小，这个答数是多少? 【分析与解】方法一： ①-②=313536-0,即①>②； 5206205620 ②-③=3136370，即②>③； 6207206720 ③-④=3137380，即③>④； 7208207820 ④-⑤=3138390，即④<⑤； 8209208920 ⑤-⑥，⑥-⑦，⑦-⑧，⑧-⑨所得的差依次为

31011120，

311121201112,

3120均小于0,

所以⑤<⑥，⑥<⑦，⑦<⑧，⑧<⑨，那么这些算式中最小的为④，有④为

388203140.

方法二：注意到每组内两个分数的乘积相等，均为

320．

因为当两个数的乘积相等时，这两个数越接近，和越小．其中第4个算式中以第4个算式最小·

38、

820最接近，所

10.下面的4个算式中，哪个式子的得数最大?

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学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ www.aoshu.cn www.zhongkao.cn 联系电话：621116 ①

11111111，③；④20②304050．

1719242931374147【分析与解】

于是只用比较,, 13111719429①, 20=2+939317191719,的大小. 311137414711131931②， 30=2① =4291719515724291193② =19314293687③, 40=2939331373137③ =3137313719393931④． 50=2④ =4147414741474147 因为

319315137573137515799339393因为>，,所以,即③>②， >>313637873137368799339393因为>,,所以,即③>④． >>3141374731374147所以4个算式中，③最大．

11．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数．

【分析与解】 方法一：我们将分母为1～9的分数中最接近0.618的分数列出为：

>93>3,所以

93>93,即③>①，

112334456,,,,,,,,,将它们化成小数与0.618做差，依次为0.382，0.118，0.049，0.132，12345670.018，0.049，0.047，0.007，0.049．在计算其中的循环小数时小数点后保留三位数字． 又0.007最小，也就是说

58最接近0.618．

即在所有分母小于10的真分数中，

58最接近0.618．

方法二：我们将0.618化为分数有：

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学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ www.aoshu.cn www.zhongkao.cn 联系电话：621116 0.618=30911111====11111915001111111118130911111731191111145118112873145==1111111111117128

从前到后，依次舍弃

191309、

118191、

73118、

6573、

865、

135、

58、

813．其中，分母小于10的最接近0.618的分数为

85,而得到近似分数依次为、

1112、

23、

8．

评注：方法一的思维过程很清晰，但是如果对分母限定的范围比较大，如分母在50以内分数，这样方法一就不适用了．

方法二的计算比较繁琐，但是有很好的适用性．这种方法的过程是先将给出的小数或分数化为繁分数，并使繁分数中所有分子为1，然后再依次将最后部分舍去，最后将其还原为普通分数，在题中给定的分母范围内挑出最紧接的那个分数即可．

12．计算：

111111111111

22339999【分析与解】

111111111111

22339999111111=111111

2399239910034=99239812

9923=1002199

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学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ www.aoshu.cn www.zhongkao.cn 联系电话：621116 =

5090

13．计算：13【分析与解】 1316512011271301209142130111561421317215615190172

17190

165112791113151711111111=(1357911131517)

612203042567290=(117)9211111111 233445566778899101111111111111111=81

23344556677891011=81

2102=81

5

14．计算：

【分析与解】 1111111 82448801201682241111111 8244880120168224 =1111111 1838681081582182881813161101151211 28 =1学而思奥数网 www.aoshu.cn Page 7 of 9

学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ www.aoshu.cn www.zhongkao.cn 联系电话：621116 =82222222 261220304256 =82222222 122334455667781111111 122334455667781111111111111 2233445566778 =82 =161 =161

18=14

15．计算:

1

21(12)(12)(123)(123)(1234)-3-4--10(129)(12910)【分析与解】方法一:121(12)=13

121(12)(12)(123)21(12)3-3=161(12)(123)4(123)(1234)110



发现1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，…，也就是说当作为最后一个减数分母的最后一个乘数为多少，作为最终结果的单位分数的分母就是多少．

所以，原题中最后一个减数分母的最后一个乘数为1+2+3+4+…+9+10=55，所以最终计算结果为

155．

方法二：

21(12)1112

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学而思奥数网，助你考入优秀的重点中学！ www.aoshu.cn www.zhongkao.cn 联系电话：621116 3(12)(123)4(12)(123)11211231

11231234,

  

10(1239)(123910)1239=1112310

原式=111121121123112311234

11123912310=112310

=155

方法三：先找出通项的规律为

n12(n1)12n

有

n12(n1)12nn(n1)nn(n1)

22 4(n1)n(n1)

而

4(n1)n(n1)21(n1)n1n(n1),



以下省略．

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