电磁场与电磁波(第三版)课后答案第5章

5.1 真空中直线长电流

I的磁场中有一等边三角形回路，如题5.1图所示，求三角形回路内的磁通。解 根据安培环路定理，得到长直导线的电流I产生的磁场

0IzBe

穿过三角形回路面积的磁通为2r

b2Ib

BdS3b20Id[xS22zdz]dxd30Iz

dx0dxdxd S由题5.1图可知，z(xd)tanxd，故得到

63题 5.1 图

d3b20Ixd[dln(13b3dxdx0Ib2)]

32d5.2 通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图所示。计算各部分的磁感应强度 B，并证明腔内的磁场是均匀的。

解将空腔中视为同时存在J和J的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内，另一个电流密度为J、均匀分布在半径为a的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。

由安培环路定律Bdl0I，可得到电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内

Crbr0的电流产生的磁场为 B2Jrbbbra Jdab o 2 0bJrbb oab 2r2rbbb 电流密度为J、均匀分布在半径为a的圆柱内的电流产生的磁场

为

题5.2图



0raaB2Jraa 20aJrar2r2aaa这里ra和rb分别是点oa和ob到场点P的位置矢量。

将Ba和Bb叠加，可得到空间各区域的磁场为

2 圆柱外：B0Jb2ra2b2ra (rrbb)

2bra 圆柱内的空腔外：B02Ja2rb2ra (rbb,raa)

ra 空腔内： B02Jrbra02Jd (raa) 式中d是点和ob到点oa的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。

5.3 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量J。

(1) Herar,B0H （圆柱坐标） (2) Hex(ay)eyax,B0H (3) Hexaxeyay,B0H

(4) Hear,B0H（球坐标系）

解 根据恒定磁场的基本性质，满足B0的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由JH求出源分布。

（1）在圆柱坐标中 B该矢量不是磁场的场矢量。 （2） Bx1rr(rBr)1rr(ar)2a0

2(ay)y(ax)0

exeyyax0ezze2a z该矢量是磁场的矢量，其源分布为 JHxay （3） Bx(ax)y(ay)0

exeyez0

该矢量是磁场的场矢量，其源分布为 JHxyzaxay0 （4） 在球坐标系中 B1Brsin1rsin(ar)0

该矢量是磁场的场矢量，其源分布为

erJH12re0J(r)Rrsinearsind证明磁感应强度的积分公式

20rsinreractage2a

5.4 由矢量位的表示式A(r)B(r)4304J(r)RRd

并证明B0

解

B(r)A(r):

04J(r)Rd04J(r)Rd04J(r)(1R)d

04J(r)(RR)d304J(r)RR3d

B[A(r)]0

5.5 有一电流分布J(r)ezrJ0(ra)，求矢量位A(r)和磁感应强度B(r)。 解 由于电流只有ez分量，且仅为r的函数，故A(r)也只有ez分量，且仅为r的函数，即A(r)ezAz(r)。在圆柱坐标系中，由A(r)满足的一维微分方程和边界条件，即可求解

z出A(r)，然后由B(r)A(r)可求出B(r)。

记ra和ra的矢量位分别为A1(r)和A2(r)。由于在ra时电流为零，所以

Az1(r)Az2(r)221rr1rr(r(rAz1rAz2r)0J0r （ra） )0 （ra）

由此可解得

Az1(r)190J0rC1lnrD1

3Az2(r)C2lnrD2

Az1(r)和Az2(r)满足的边界条件为 ① r0时，A(r)为有限值

z1② ra时，A(a)A(a)，

z1z2由条件①、②，有 C0，1193Az1rraAz2rra

0J0aC220J0aC2lnaD2，131a

111由此可解得 C20J0a3，D20J0a3(lna)

故

Az1(r)Az2(r)333191330J0rD1 （ra）

0J0alnr313310J0a(lna) （ra）

3式中常数D由参

1考点确定，若令r0时，A(r)0，

z1则有D0。

1 空间的磁感应

z P(x,y,z) r强度为

a by xI

题5.6图

B1(r)A1(r)e1320J0r （ra）

3r5.6 如题5.6图所示，边长分别为a和b、载有电流I的小矩形回路。

JaB2(r)A2(r)e00 （ra）

3（1）求远处的任一点P(x,y,z)的矢量位A(r)，并证明它可以写成 A(r)0pmr4r3 。

其中pmezIab；

（2）由A求磁感应强度B，并证明B可以写成

Iabezer场点对小电流回路所张的立体角。 B0(d) 式中d24rI1解 （1）电流回路的矢量位为 A(r)0dl 4CR式中：R[(xx)2(yy)2z2]12[r22rsin(xcosysin)x2y2]12 根据矢量积分公式dlCSdS，有

RC1dldS(S1R)

11而 ()()

RR所以 A(r)0I4dS(S1R)

对于远区场，rx,ry，所以Rr，故

0I011A(r)4dS(r)S1[IdS]()0(eIab)() z4r4rS304pm(rr)30pmr4r

psinr （2）由于 A(r)0pmez()e0m324r4r故

BAer1rsin(sinA)e1rr(rA)0pm4rr3(er2cosesin)

ezercos3又由于 er2cosesinr3()r() 22p0Ieeabezer故 B0m(zr)()(d) 224r4r45.7 半径为a磁介质球，具有磁化强度为

2Me(AzB)

zr0I其中A和B为常数，求磁化电流和等效磁荷。 解 磁介质球内的

z磁化电流体密度为

2JmMez(AzB)ezez2Az0

等效磁荷体密度为 mM磁介质球表面的磁化电流面密度为

2(AzB)2Az

zJmSMnraezer(AacosB)

22e(AacosB)sin

22

I等效磁荷面密度为

10 2xmnMraerez(AacosB)

22(AacosB)cos

22

题5.8图

5.8 如题5.8所示图，无限长直线电流I垂直于磁导率分

别为1和2的两种磁介质的分界面，试求：（1）两种磁介质中的磁感应强度B1和B2；（2）磁化电流分布。

解 （1）由安培环路定理，可得 HeI2r

I所以得到 B10He0

2rI

B2He2r （2）磁

MH1(P1)介质

在的磁化强度

1H2(P1)0B2He(0)I20r l h则磁化

1drdr电

(rM)ez流

20体密度

H1(P2) HJmMez(P2)(0)I1d1(r)0 rdr2 1 2题5.9图

在r0处，B2具有奇异性，所以在磁介质中r0处存在磁化

线电流Im。以z轴为中心、r为半径作一个圆形回路C，由安培环路定理，有 IIm1

故得到 Im(0BdlCI0

1I)

0在磁介质的表面上，磁化电流面密度为

JmS=M?ezz=0er(0)I20r

5.9 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为H0，若此平面电流回路位于磁导率分别为1和2的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介质中的磁场强度H1和

H2。

解 由于是平面电流回路，当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时，分界面上的磁场只有法向分量，根据边界条件，有B1B2B。在分界面两侧作一个小矩形回路，分别就真空和存在介质两种不同情况，应用安培环路定律即可导出H1、H2与H0的关系。

在分界面两侧，作一个尺寸为2hl的小矩形回路，如题5.9图所示。根据安培环路定律，有

HdlCH1(P1)hH2(P)1hH(P)h122H(2P) h I

（1）

因H垂直于分界面，所以积分式中Hl0。这里I为与小矩形回路交链的电流。

对平面电流回路两侧为真空的情况，则有

HC0dl2H0(P1)h2H0(P2)hI （2）

由于P和P是分界面上任意两点，由式（1）和（2）可得到 H1H22H0

12即

B1B22H0 H0

于是得到 B21212故有 H1B2121125.10 证明：在不同介质分界面上矢量位A的切向分量是连续的。

n 解由BA22H0

H2B21H0

得

A1BdSSSAdSCAdl

媒质① 媒质② lhC A2（1）

在媒质分界面上任取一点P，围绕点P任作一个跨越分界面的狭小矩形回路C，其长为l、宽为h，如题5.10图所示。将式（1）应用于回路C上，并令h趋于零，得到

AdlAlA12llim 题5.10图

Ch0SBdS

由于B为有限值，上式右端等于零，所以

A1lA2l0

A1tA2t

由于矢量l平行于分界面，故有

5.11 一根极细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场B0中，并使它们的轴与B0平行，（铁的磁导率为）。求两样品内的B和H；若已知B01T、50000，求两

样品内的磁化强度M。

解 对于极细的圆铁杆样品，根据边界条件H1tH2t，有

HH0B00 BHMB0B0 1(0H001)B049990

对于很薄的圆铁盘样品，根据边界条件B1nB2n，有

BB0

HBB0 MB114999500000H(0)B0

5．12 如题5.12图所示，一环形螺线管的平均半径r015cm，其圆形截面的半径a2cm，鉄芯的相对磁导率r1400，环上绕N1000匝线圈，通过电流I0.7A。

（1）计算螺旋管的电感；

（2）在鉄芯上开一个l00.1cm的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯的r不变）

（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。

解 （1）由于ar0，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁

场。由安培环路定律，可得螺旋管内的磁场为 Hr0NI2r0

a o 与螺线管铰链的磁链为 NSH故螺线管的电感为

aNI2r022

l0I 图 题5.12

LIaN2r022140041070.0210002220.152.346H

（2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件，有B0BB，但空气隙中的磁场强度

H0与铁芯中的磁场强度H不同。根据安培环路定律，有

H0l0H(2r0l0)NI

又由于B00H0、B0rH及B0BB，于是可得 B所以螺线管得磁链为 NSB故螺线管得电感为

L0rNIrl0(2r0l0)

0raNIrl0(2r0l0)222

I0raN2rl0(2r0l0)4102714000.0210002214000.00120.150.00120.944H

（3）空气隙中的磁场能量为 W1H2Sl

m000012鉄芯中的磁场能量为 Wm0rHS(2r0l0故

Wm0Wmrl02r0l0214000.001 )20.150.0011.487

5.13 证明：单匝线圈励磁下磁路的自感量为L01Rm，Rm为磁路的磁阻，故NI激励下，电感量为LN2Rm。磁路中单匝激励下的磁场储能Wm0Rm022，则NI激励

下的WmN2Wm0。

解 在单匝线圈励磁下，设线圈中的电流为I，有0L0I磁路的磁通为 N02IRm。则在NI激励下，

NIRm2

故电感量为 LIN2

1222RmL0INI2Rm22在单匝线圈励磁下，Wm0Wm12I22Rm2Rm220。在NI激励下，磁路的磁能为

LINRm20N2Wm0

25.14 如题5.14图所示，两个长的矩形线圈，放置在同一平面上，长度分别为l1和l，宽度分别为w和

21l1 ① w2，两线圈最近的边相距为S，两线圈中分别载有电流I和I。设l1>>l，且两线圈都只有一匝，略去端

122部效应。证明：两线圈的互感是

MI1 rSw1 w20l22ln(Sw1)(Sw2)S(Sw1w2)

② l2

解 由于l1>>l，因此可近似认为线圈①中的电

2流在线圈②的回路中产生的磁场与两根无限长的平行

题5.14图

直线电流产生的磁场相同。线圈①中的电流I在线圈②的回路中产生的磁场为

1B120I112(r1rw1)

与线圈②交链的磁通12为

120I12Sw2S(1r1rw1)l2dr0I1l222lnlnSw2SlnSw1w2 Sw10I1l212I1(Sw1)(Sw2)S(Sw1w2)

故两线圈间的互感为 M0l22ln(Sw1)(Sw2)S(Sw1w2)

5.15 长直导线附近有一矩形回路，回路与导线不共面，如题5.15图(a)所示。证明：直导线与矩形回路间的互感是

M0a2lnR[2b(RC)2212bR]A2212

0I2rABb a R1B R R Cb C P

Q PQ

题5.15图(b)

题5.15图(a)

解 设长直导线中的电流为I，则其产生的磁场为 B由题5.15图(b)可知，与矩形回路交链的磁通为

0I2R1

SBdS0aI2R1rdr0aI2lnR1R

其中 R[C2(bR2C2)2]12[R2b22bR2C2]12

1故直导线与矩形回路间的互感为

MI0a2lnR1R20a2ln[Rb2bR221222RC]2212

-m0a2plnR[2b(R-C)212

+b+R]5.16 如题匝线圈，通过电求作用在它上面

解 由安培HnI

设铁心在磁场力磁场能量为

I

x5.16图所示的长螺旋管，单位长度密绕n流I，鉄心的磁导率为、截面积为S，的磁场力。

环路定理可得螺旋管内的磁场为 的作用下有一位移dx，则螺旋管内改变的

02HSdx2 图 题5.16

dWm2HSdx21222(0)nISdx

则作用在鉄心上的磁场力为 Fx磁力有将铁心拉进螺旋管的趋势。

dWmdxIc1222(0)nIS