浙江省丽水市2021-2022学年高二下学期(2月)返校考试数学试题(含答案)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。
选择题部分（共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求）
=1．已知直线l的一个方向向量为aA．45° C．120° 2．已知向量a=A．−2
→(1,−1)，则直线l的倾斜角为（ ）
B．90° D．135°
(3,0,1，b=(k,2,0)，若a与b夹角为
)→→→2π，则k的值为（ ） 3B．2 C．－1 D．1
16的公切线共有（ ） 1，C2:(x−3)2+(y−4)2=3．两圆C1:x2+y2=A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
)3x+sin2x，则（ ） 4．若函数f(x=′(x)3xln3+2cos2x A．f=)3x+2cos2x B．f′(x=3xC．f′(=x)+cos2x
ln33xD．f′(=x)−2cos2x
ln35．已知点P在圆M：(x−4)+(y−2)=4上，点A(2,0)，B(0,2)，则∠PBA最小和最大时
22分别为（ ）
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A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135°
ex+e−x6．函数f(x)=的图象大致为（ ）
|x|A． B．
C． D．
x2y27．已知双曲线C：2−2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1、F2、A为双曲线的
ab2π，则该双左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P、Q两点，且∠PAQ=3曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．21 3D．13 1*a=fa+n∈N1,2()1()8．已知函数f(=x)4x2−2x，数列{an}满足a=，数列的前n项n+1n1an和为Sn，若∃M∈Z，使得Sn 第 2 页 共 15 页 D．5 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9．已知等差数列an的前n项和为Sn，若S11=A．S11=0 C．S6=S5 a5+a7，则（ ） 2B．a6=0 D．S7=S6 10．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在C上，则下列说法正确的是（ ） A．若点P(2,1)，则△PAF的周长的最小值为3+2 B．若点P(m,2)是C上的一点，且AF+BF=FP，则AF，FP，BF成等差数列 C．若A，F，B三点共线，则y1y2=−2 D．若AB=8，则AB的中点到y轴距离的最小值为3 11．已知f(x)=lnx，下列说法正确的是（ ） xA．f(x)在x=1处的切线方程为y=x+1 B．f(x)的单调递减区间为(e,+∞) 1C．f(x)的极大值为 e D．方程f(x)=−1有两个不同的解 12．在如图所示的棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（ ） 第 3 页 共 15 页 A．若点P总满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹是一条直线 B．若点P到点A的距离为2，则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆 C．若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆 D．若点P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线 非选择题部分（共90分） 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） x2y2x2y213．椭圆+2=1与双曲线−1有相同的焦点，则a的值是 ▲ . =4aa214．曲线y2sinx+cosx在点(π,−1)处的切线方程为 ▲ . 15．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝ ▲ . 16．在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若AG=xAB+yAD+zAC，则 x+y+z= ▲ . 第 4 页 共 15 页 17．天干地支纪年法源于中国，可对历史时间上推下推、顺推逆推，以致无穷．中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年…，为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为 ▲ . )18．已知函数f(x=13121ax−ax−ex(x−2)+1(a∈R)在区间,2上有3个不同的极值点，322则实数a的取值范围是 ▲ . 四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．已知圆C:x2+y2+2x−4y+3=0. （1）若不过原点的直线L与圆C相切，且直线L在两坐标轴上的截距相等，求直线L的方程； 0都相切,求圆F半径最小时所对应的圆方程. （2）若圆F与圆C和直线x−y−5= 20．如图，四棱锥S−ABCD的底面是矩形，平面SAB⊥平面ABCD，点E在线段SB上， ∠ASB=∠ABS=30°，AB=2AD． 第 5 页 共 15 页 （1）当E为线段SB的中点时，求证：平面DAE⊥平面SBC； （2）当SB=4SE时，求锐二面角C−AE−D的余弦值． 2Sn+1． 21．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1,S=n+1（1）求数列{an}的通项公式； =（2）设bn(2log2an+1)an，求{bn}前n项和Tn． 第 6 页 共 15 页 )ax+xlnx的图象在x=e（e为自然对数的底数）处取得极值. =22．已知函数f(x（1）求实数a的值； （2）若不等式f(x)>k(x+1)恒成立，求k的取值范围. 2x2y223．已知椭圆C：2+2=1(a>b>0)的长轴长为6，离心率为，长轴的左，右顶点分别 3ab为A，B． （1）求椭圆C的方程； （2）已知过点D(0,−3)的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点，直线AM，AN分别交y轴 第 7 页 共 15 页 于点S、T，记DS=λDO，DT=µDO（O为坐标原点），当直线l的倾斜角θ为锐角时， 求λ+µ的取值范围． 第 8 页 共 15 页 2022年2月高中发展共同体高二数学科目答案 一．选择题 题号 1 选项 D 二．填空题 13. 1 14.2x+y−2π+1=0 15. -63 16. 1 17. 已巳 18. (e,2e) 三．解答题 19． 0或x+y−3=0； （1）x+y+1=2 A 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A 9 10 11 12 ABD ABC ABD BC 319. （2）x−+y+=22222m， （1）因为直线L不过原点，设直线L的方程为x+y=2， 0的标准方程为(x+1)+(y−2)=圆C:x2+y2+2x−4y+3=22若直线L与圆C相切，则d−1+2−m=22，解得m=−1或者3， 2，即1−m=0或者x+y−3=0； 所以直线L的方程为x+y+1=（2）因为 d=−1−2−5=42>220与圆C相离， ，所以直线x−y−5=0的垂线段上， 所以所求最小圆的圆心一定在圆C的圆心(−1,2)到直线x−y−5=−x+1上，且最小圆的半径为即最小圆的圆心在直线y=32， 2 第 9 页 共 15 页 0的距离为设最小圆的圆心为(a,1−a)，则圆心(a,1−a)到直线x−y−5=32， 2所以da−1+a−5=22a−6323， =，即2a−6=22解得a=39(舍)或a=， 2222319. 所以最小的圆的方程为x−+y+=22220．（1）证明见解析；（2）【详解】 （1）�四棱锥S−ABCD的底面是矩形，�AD⊥AB， 又�平面SAB⊥平面ABCD，平面ABCD平面SAB=AB，AD⊂平面ABCD， �AD⊥平面SAB，又BS⊂平面SAB，�AD⊥BS， ∠ABS，�AS=AB，又E为线段SB的中点，�AE⊥BS， �∠ASB=238. 34又AD∩AE=A，�BS⊥平面DAE， �BS⊂平面SBC，�平面DAE⊥平面SBC． （2）如图，连接CA,CE，在平面ABS内作AB的垂线，建立空间直角坐标系A−xyz 1AB2=AD4a，SE=SB， 设=4�A(0,0,0)，B(0,4a,0)，C(0,4a,2a)，D(0,0,2a)，S23a,−2a,0，SB=()(−23a,6a,0 )33aEa,−,0=AE2，则AC=(0,4a,2a)，233aa,−,02，AD=(0,0,2a) 2设平面CAE的法向量为n=(x,y,z)， 第 10 页 共 15 页 0,4ay+2az=n⋅AC=0,�即33令x=1，则y=33，z=−63， an⋅AE=0,ax−y=0,22�n(1,33,−63是平面CAE的一个法向量， )设平面DAE的法向量为n′=(x′,y′,z′)， 2az=0,′n′⋅AD=0,�′即33得n=1,33,0 a⋅=0,nAEax−y=0,22()′n,n�cos=n⋅n′=n⋅n′28=2813623834， �锐二面角C−AE−D的余弦值为238 34 21 n-1（1）an=2； n（2）Tn=3+(2n−3)×2． 2Sn+1�，当n≥2时，=Sn2Sn−1+1� ，�减去�得an+1=2an，（1）a1=1,S=n+1 第 11 页 共 15 页 2a1.可得数列{an}是首项为1，公比为S2=2S1+1∴a1+a2=2a1+1⇒a2=a1+1=2，∴a2=2n-1. 2的等比数列.\\an=n−1n−1n−1（2）bn=(2log2an+1)an,∴bn=(2log22+1)2=(2n−1)2， Tn=1×1+3×2+5×22++(2n−1)2n−1�， 2Tn=1×2+3×22+5×23++(2n−1)2n� �减去�得 2(1−2n−1)−Tn=1+2×(2+2++2)−(2n−1)×2=1+2×−(2n−1)×2n. 1−22n−1n ∴Tn=3+(2n−3)×2n． 22． （1）a=−2 （2）k<−1 =)ax+xlnx，所以f′(x)=+alnx+1， （1）因为f(x=)ax+xlnx的图像在点x=e处取得极值， 因为函数f(x−2， 所以f′(e)=a+2=0，∴a=经检验，符合题意，所以a=−2； −2x+xlnx， （2）由（1）知，f(x)=所以k 设h(x)=lnx+x−1(x>0)，易得h(x)是增函数， 又因为h(1)=0， 所以在（0,1）上，g′(x)<0,g(x)单调递减； 在（1,+∞）上，g′(x)>0,g(x)单调递增。所以g(x)min=g(1)=−1，所以k<−1. 23 x2y2（1）+=1 954（2）,2 3（1） 由题意可得： 2a=6a2=922c22xy==解得：b=5，所以椭圆C的方程：+=1 ea39522c=422=+abc（2） 当直线l的倾斜角θ为锐角时，设M(x1,y1)，N(x2,y2)， kx−3,(k>0)， 设直线l:y=ykx−3=0， 由x2y2得(5+9k2)x2−54kx+36=1+=59=∆(54k)2−4×36×(5+9k2)>0，又k>0，得k>从而 54k36=,xx， 129k2+59k2+5第 13 页 共 15 页 2， 3=x1+x2所以 又直线AM的方程是：yy1(x+3)，令x=0， x1+3解得y=3y13y1，所以点S为0,； x1+3x+31y2(x+3)，同理点T为0,3y2· x2+3x2+3直线AN的方程是：y3y3y12=+=+0,3,0,3DSDT所以,DO=x1+3x2+3(0,3)， 3y13y2+33λ,=+33µ， 因为DSλDO,DTµDO，所以===x1+3x2+3µ所以λ+=2kx1x2+3(k−1)(x1+x2)−18y1ykx1−3kx2−322+2+=++=+2x1+3x2+3x1+3x2+3x1x2+3(x1+x2)+93654k+3(k−1)22k⋅2−1810k+1+9k+59k5=+2=−×2+2 369k+2k+154k+3×2+99k2+59k+510(k+1)101=−×+2=−×+2． 9(k+1)29k+1�k>24，�λ+µ∈,2， 334综上，所以λ+µ的范围是,2． 3 第 14 页 共 15 页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容