1. 在半径为1的⊙O中,弦AB、AC的长分别为3和2,求∠BAC的度数。 分析:根据题意,需要自己画出图形进行解答,在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。
解:由题意画图,分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论,
当AB、AC在圆心O的异侧时,如下图所示,
过O作OD⊥AB于D,过O作OE⊥AC于E, ∵AB3,AC2,∴AD32 ,AE22 ∵OA1,∴cos∠OADAD3, OA2 cos∠OAEAE2 OA2 ∴∠OAD=30°,∠OAE=45°,故∠BAC=75°,
当AB、AC在圆心O同侧时,如下图所示,
同理可知∠OAD=30°,∠OAE=45°, ∴∠BAC=15°
点拨:本题易出现只画出一种情况,而出现漏解的错误。
例2. 如图:△ABC的顶点A、B在⊙O上,⊙O的半径为R,⊙O与AC交于D,
如果点D既是AB的中点,又是AC边的中点,
(1)求证:△ABC是直角三角形;
AD2 (2)求的值
BC 分
析
:
(1)由D为AB的中点,联想到垂径定理的推论,连结OD交AB于F,
则AF=FB,OD⊥AB,可证DF是△ABC的中位线;
(2)延长DO交⊙O于E,连接AE,由于∠DAE=90°,DE⊥AB,∴△ADF
1AD2∽△DAE,可得ADDF·DE,而DFBC,DE2R,故可求
2BC2 解:(1)证明,作直径DE交AB于F,交圆于E
∵D为AB的中点,∴AB⊥DE,AFFB
又∵AD=DC
∴DF∥BC,DF1BC 2 ∴AB⊥BC,∴△ABC是直角三角形。 (2)解:连结AE ∵DE是⊙O的直径 ∴∠DAE=90°
而AB⊥DE,∴△ADF∽△EDA
ADDF,即AD2DE·DF DEAD1 ∵DE2R,DFBC
2 ∴AD2 ∴ADBC·R,故R
BC2
例3. 如图,在⊙O中,AB=2CD,那么( ) A.AB2CD
B.AB2CD
D.AB与2CD的大小关系不确定C.AB2CD
分析:要比较AB与2CD的大小,可以用下面两种思路进行:
1 (1)把AB的一半作出来,然后比较AB与CD的大小。
2 (2)把2CD作出来,变成一段弧,然后比较2CD与AB的大小。
解:解法(一),如图,过圆心O作半径OF⊥AB,垂足为E,
则AFFB AEEB1AB 21AB 21AB 2 ∵AB2CD,∴AECD ∵AFFB,∴AFFB
在△AFB中,有AF+FB>AB ∴2AFAB,∴AF ∴AB2CD
∴选A。
解法(二),如图,作弦DE=CD,连结CE
则DECDAB,∴AFCD,∴2AF2CD 21CE 2 在△CDE中,有CD+DE>CE ∴2CD>CE
∵AB=2CD,∴AB>CE
∴ABCE,∴AB2CD
∴选A。 例
4.
如图,四边形ABCD内接于半径为2的⊙O,已知ABBC求CD的长。
1AD1,4
分析:连结BD,由AB=BC,可得DB平分∠ADC,延长AB、DC交于E,易得△EBC∽△EDA,又可判定AD是⊙O的直径,
得∠ABD=90°,可证得△ABD≌△EBD,得DE=AD,利用△EBC∽△EDA,可先求出CE的长。 解:延长AB、DC交于E点,连结BD ∵ABBC1AD1 4 ∴ABBC,AD4,∴∠ADB∠EDB ∵⊙O的半径为2,∴AD是⊙O的直径
∴∠ABD=∠EBD=90°,又∵BD=BD
∴△ABD≌△EBD,∴AB=BE=1,AD=DE=4 ∵四边形ABCD内接于⊙O, ∴∠EBC=∠EDA,∠ECB=∠EAD ∴△EBC∽△EDA,∴BCCE ADAE ∴CEBC·AEBC(ABBE)111
ADAD4217 22 ∴CDDECE4
例5. 如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,D为劣弧AC上一点,DE⊥AB
于H,交⊙O于点E,交AC于点F,P为ED的延长线上一点。
(1)当△PCF满足什么条件时,PC与⊙O相切,为什么?
(2)当点D在劣弧AC的什么位置时,才能使AD2DE·DF,为什么?
分析:由题意容易想到作辅助线OC, (1)要使PC与⊙O相切,只要使∠PCO=90°,问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就可以了。
(2)要使AD2DE·DF,即使ADDF,也就是使△DAF∽△DEA DEAD 解:(1)当PC=PF,(或∠PCF=∠PFC)时,PC与⊙O相切, 下面对满足条件PC=PF进行证明, 连结OC,则∠OCA=∠FAH,
∵PC=PF,∴∠PCF=∠PFC=∠AFH,
∵DE⊥AB于H,∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90° 即OC⊥PC,∴PC与⊙O相切。
(2)当点D是劣弧AC的中点时,AD2DE·DF,理由如下:
连结AE,∵ADCD,∴∠DAF∠DEA
又∵∠ADF∠EDA, ∴△DAF∽△DEA,∴2
ADDF DEAD 即AD=DE·DF
点拨:本题是一道条件探索问题,第(1)问是要探求△PCF满足什么条件时,PC与⊙O相切,可以反过来,把PC与⊙O相切作为条件,探索△PCF的形状,显然有多个答案;第
2
(2)问也可将AD=DE·DF作为条件,寻找两个三角形相似,探索出点D的位置。
例6. 如图,四边形ABCD是矩形(AB1BC),以BC为直径作半圆O,过点 2D作半圆的切线交AB于E,切点为F,若AE:BE=2:1,求tan∠ADE的值。
分析:要求tan∠ADE,在Rt△AED中,若能求出AE、AD,根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD,而EF=EB,FD=CD,结合矩形的性质,可以得到ED和AE的关系,进一步可求出AE:AD。
解:∵四边形ABCD为矩形,∴BC⊥AB,BC⊥DC ∴AB、DC切⊙O于点B和点C,
∵DE切⊙O于F,∴DF=DC,EF=EB,即DE=DC+EB, 又∵AE:EB=2:1,设BE=x,则AE=2x,DC=AB=3x, DE=DC+EB=4x,
在Rt△AED中,AE=2x,DE=4x, ∴AD23x
则tan∠ADEAE2x3 AD23x3 点拨:本题中,通过观察图形,两条切线有公共点,根据切线长定理,得到相等线段。
例7. 已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,且点O2在⊙O1上,
(1)如下图,AD是⊙O2的直径,连结DB并延长交⊙O1于C,求证CO2⊥AD;
(2)如下图,如果AD是⊙O2的一条弦,连结DB并延长交⊙O1于C,那么CO2所在直线是否与AD垂直?证明你的结论。
分析:(1)要证CO2⊥AD,只需证∠CO2D=90°,即需证∠D+∠C=90°,考虑到AD是⊙O2的直径,连结公共弦AB,则∠A=∠C,∠DBA=90°,问题就可以得证。
(2)问题②是一道探索性的问题,好像难以下手,不妨连结AC,直观上看,AC等于CD,到底AC与CD是否相等呢?考虑到O2在⊙O1上,连结AO2、DO2、BO2,可得∠1=∠2,且有△AO2C≌△DO2C,故CA=CD,可得结论CO2⊥AD。
解:(1)证明,连结AB,AD为直径,则∠ABD=90° ∴∠D+∠BAD=90°
又∵∠BAD=∠C,∴∠D+∠C=90° ∴∠CO2D=90°,∴CO2⊥AD (2)CO2所在直线与AD垂直, 证明:连结O2A、O2B、O2D、AC 在△AO2C与△DO2C中
∵O2AO2B,∴AO2BO2,∴∠1∠2
∵∠O2BD=∠O2AC,又∠O2BD=∠O2DB,∴∠O2AC=∠O2DB ∵O2C=O2C,∴△AO2C≌△DO2C,∴CA=CD, ∴△CAD为等腰三角形,
∵CO2为顶角平分线,∴CO2⊥AD。
例8. 如下图,已知正三角形ABC的边长为a,分别为A、B、C为圆心,
a以为半径的圆相切于点O1、O2、O3,求O1O2、O2O3、O3O1围成的图形面 2积S。(图中阴影部分)
分析:阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。 解:S△ABC32a2a2 a,3S扇3×·()4628 ∴S阴32a2232aa 488 此题可变式为如下图所示,⊙A、⊙B、⊙C两两不相交,且它们的半径都
a为,求图中三个扇形(阴影部分)的面积之和。 2
分析:因三个扇形的半径相等,把三个扇形拼成一个扇形来求,因为∠A+∠B+∠C=180°,
因而三个扇形拼起来正好是一个半圆,故所求图形面积为8a2,
原题可在上一题基础上进一步变形:⊙A1、⊙A2、⊙A3…⊙An相外离,它们的半径都是1,顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3…An,求n个扇形的面积之和。 解题思路同上。 解:
(n2) 2
一、填空题(10×4=40分)
1. 已知:一个圆的弦切角是50°,那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。
2. 圆内接四边形ABCD中,如果∠A:∠B:∠C=2:3:4,那么∠D=___________度。 3. 若⊙O的半径为3,圆外一点P到圆心O的距离为6,则点P到⊙O的切线长为___________。
4. 如图所示CD是⊙O的直径,AB是弦,CD⊥AB于M,则可得出AM=MB,ACBC等多
个结论,请你按现有的图形再写出另外两个结论:___________。
5. ⊙O1与⊙O2的半径分别是3和4,圆心距为43,那么这两圆的公切线的条数是___________。
6. 圆柱的高是13cm,底面圆的直径是6cm,则它的侧面展开图的面积是___________。 7. 已知:如图所示,有一圆弧形桥拱,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是___________。
8. 若PA是⊙O的切线,A为切点,割线PBC交⊙O于B,若BC=20,PA=103,则PC的长为___________。
9.如图5,△ABC内接于⊙O,点P是AC上任意一点(不与A、C重合),ABC55,则POC的取值范围是 .
10.如图,量角器外沿上有A、B两点,它们的读数分别是70°、
40°,则∠1的度数为 .
(第9题图)
°
°
O
11.已知eO的半径是3,圆心O到直线l的距离是3,则直线l与eO的位置关系是 .
12.如图,已知点E是圆O上的点, B、C分别是劣弧AD的三等分点, BOC46o,则AED的度数为 .
13.如图,Rt△ABC中ACB90o,AC4,BC3.将△ABC绕AC所在的直线
f旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的侧面积 .(取3.14,结果保留两个有效
数字)
14.如图8,两个同心圆的半径分别为2和1,AOB120o,则阴影部分的面积为
f A AB120oOB C 图8 M N B O A 第14题图
15.如图,AB是eO的直径,AM为弦,MAB30o,过M点的eO的切线交AB延长线于点N.若ON12cm,则eO的半径为 cm.
16.如图,Rt△ABC是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得,且点A,B,C在同一条直线上,在Rt△ABC中,若∠C90o,BC2,AB4,则斜边AB旋转到AB所扫过的扇形面积为 .
A A
C D
O
C C P A B
(15题图)
E B
(第17题图)
17.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA切点分别是A,B,若PA8cm,,PB,(点C与A,B两点不重合),过点C作圆O的切线,分别交PAAB上的一个动点C是»,PB于点D,E,则△PED的周长是 .
18、在平面内,⊙O的半径为5cm,点P到圆心O的距离为3cm,则点P与⊙O的位置关系
是 .
19.如图8,在Rt△ABC中,C90o,AC3.将其绕B点顺时针旋转一周,则分别以BA,BC为半径的圆形成一圆环.则该圆环的面积为 .
20.如图9,点A,B是eO上两点,AB10,点P是eO上的动点(P与A,B不重合)连结AP,PB,过点O分别作OEAP于点E,则EF . OFPB于点F,
A
A O C B E B F P 图8 图9
三、解答题:
1. 已知:如图所示,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D,连结DA并延长与⊙O1相交于C点,连结BC。过A点作AE∥BC与⊙O2相交于E点,与BD相交于F点。
(1)求证:EF·BC=DE·AC; (2)若AD=3,AC=1,AF3,求EF的长。
2. 某单位搞绿化,要在一块图形的空地上种四种颜色的花,为了便于管理和美观,相同颜色的花集中种植,且每种颜色的花所占的面积相同,现征集设计方案,要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。(只画示意图,不写作法)。
3. 已知:△ABC是⊙O的内接三角形,BT为⊙O的切线,B为切点,P为直线AB上一点,过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F。
(1)如图所示,当点P在线段AB上时,求证:PA·PB=PE·PF;
(2)当点P为线段BA延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;
(3)若AB42,cos∠EBA1,求⊙O的半径。 34.如图,△ABC是eO的内接三角形,点C是优弧AB上一点(点C不与A,B重合),设OAB,C.(1)当35o时,求的度数;(2)猜想与之间的关系,并给予证明.
5、(8分)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以
A E D BC为直径的半圆O与边AB相交于点D,切线DE⊥AC,垂足为点E.
求证:(1)△ABC是等边三角形;(2)
1AECE.
3
B O C 6、已知:如图,在Rt△ABC中,C90o,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且CBDA. (1)判断直线BD与eO的位置关系,并证明你的结论; (2)若AD:AO8:5,BC2,求BD的长.
7、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,⊙O为内切圆,E为切点,
C D O E B
A
(Ⅰ)求AOD的度数;(Ⅱ)若AO8cm,DO6cm,求OE的长.
8、已知Rt△ABC中,ACB90,CACB,有一个圆心角为45,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.
(Ⅰ)当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时,如图①,求证:MN2AM2BN2; (Ⅱ)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式MN2AM2BN2是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请
9.如图,△ABC内接于eO,过点A的直线交eO于点P,交
C 说明理由. C E A E M N F 图①
B M A N F 图②
B BC的延长线于点D,AB2APgAD.(1)求证:ABAC;
(2)如果ABC60o,eO的半径为1,且P为»AC的中点,求AD的长.
10.(本题满分10分)已知:如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC.连结DE,DE=15. (1) 求证:AMMBEMMC;(2) 求EM的长;
(3)求sin∠EOB的值.
11.(本题满分10分,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分7分)
“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上,导致其中部分图形和数据看不清楚(如图7所示).已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图,它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形,A是OD与圆O的交点.
图7
(1)请你帮助小王在图8中把图形补画完整;
(2)由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚,根据上述信息(图纸中i1:0.75是坡面
O A C D E 图8
H CE的坡度),求r的值.
12.已知,如图,直线MN交eO于A,B两点,AC是直径,AD平分CAM交eO于
C D O M E A 第12题图
B N D,过D作DEMN于E.
(1)求证:DE是eO的切线;
(2)若DE6cm,AE3cm,求eO的半径.
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