初三数学圆经典例题

1. 在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，求∠BAC的度数。 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。

解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论，

当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示，

过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E， ∵AB3，AC2，∴AD32 ，AE22 ∵OA1，∴cos∠OADAD3， OA2 cos∠OAEAE2 OA2 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，

当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示，

同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15°

点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。

例2. 如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D，

如果点D既是AB的中点，又是AC边的中点，

（1）求证：△ABC是直角三角形；

AD2 (2)求的值

BC 分

析

：

(1)由D为AB的中点，联想到垂径定理的推论，连结OD交AB于F，

则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；

（2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF

1AD2∽△DAE，可得ADDF·DE，而DFBC，DE2R，故可求

2BC2 解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E

 ∵D为AB的中点，∴AB⊥DE，AFFB

又∵AD=DC

∴DF∥BC，DF1BC 2 ∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE是⊙O的直径 ∴∠DAE=90°

而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA

ADDF，即AD2DE·DF DEAD1 ∵DE2R，DFBC

2 ∴AD2 ∴ADBC·R，故R

BC2

例3. 如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（ ） A.AB2CD

B.AB2CD

D.AB与2CD的大小关系不确定C.AB2CD

分析：要比较AB与2CD的大小，可以用下面两种思路进行：

1 (1)把AB的一半作出来，然后比较AB与CD的大小。

2 (2)把2CD作出来，变成一段弧，然后比较2CD与AB的大小。

解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，

则AFFB AEEB1AB 21AB 21AB 2 ∵AB2CD，∴AECD ∵AFFB，∴AFFB

在△AFB中，有AF+FB>AB ∴2AFAB，∴AF ∴AB2CD

∴选A。

解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE

则DECDAB，∴AFCD，∴2AF2CD 21CE 2 在△CDE中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE

∵AB=2CD，∴AB>CE

 ∴ABCE，∴AB2CD

∴选A。 例

4.

如图，四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，已知ABBC求CD的长。

1AD1，4

分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直径，

得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。 解：延长AB、DC交于E点，连结BD ∵ABBC1AD1 4 ∴ABBC，AD4，∴∠ADB∠EDB ∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径

 ∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD

∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4 ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD ∴△EBC∽△EDA，∴BCCE ADAE ∴CEBC·AEBC(ABBE)111

ADAD4217 22 ∴CDDECE4

 例5. 如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE⊥AB

于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。

（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？

 (2)当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2DE·DF，为什么？

分析：由题意容易想到作辅助线OC， （1）要使PC与⊙O相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就可以了。

(2)要使AD2DE·DF，即使ADDF，也就是使△DAF∽△DEA DEAD 解：（1）当PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）时，PC与⊙O相切， 下面对满足条件PC=PF进行证明， 连结OC，则∠OCA=∠FAH，

∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH，

∵DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90° 即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。

 (2)当点D是劣弧AC的中点时，AD2DE·DF，理由如下：

 连结AE，∵ADCD，∴∠DAF∠DEA

又∵∠ADF∠EDA， ∴△DAF∽△DEA，∴2

ADDF DEAD 即AD=DE·DF

点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，可以反过来，把PC与⊙O相切作为条件，探索△PCF的形状，显然有多个答案；第

2

（2）问也可将AD=DE·DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。

例6. 如图，四边形ABCD是矩形(AB1BC)，以BC为直径作半圆O，过点 2D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。

分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。

解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC ∴AB、DC切⊙O于点B和点C，

∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB， 又∵AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x， DE=DC+EB=4x，

在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x， ∴AD23x

则tan∠ADEAE2x3 AD23x3 点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。

例7. 已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且点O2在⊙O1上，

（1）如下图，AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证CO2⊥AD；

（2）如下图，如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。

分析：（1）要证CO2⊥AD，只需证∠CO2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到AD是⊙O2的直径，连结公共弦AB，则∠A=∠C，∠DBA=90°，问题就可以得证。

（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC，直观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在⊙O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得∠1=∠2，且有△AO2C≌△DO2C，故CA=CD，可得结论CO2⊥AD。

解：（1）证明，连结AB，AD为直径，则∠ABD=90° ∴∠D+∠BAD=90°

又∵∠BAD=∠C，∴∠D+∠C=90° ∴∠CO2D=90°，∴CO2⊥AD （2）CO2所在直线与AD垂直， 证明：连结O2A、O2B、O2D、AC 在△AO2C与△DO2C中

 ∵O2AO2B，∴AO2BO2，∴∠1∠2

∵∠O2BD=∠O2AC，又∠O2BD=∠O2DB，∴∠O2AC=∠O2DB ∵O2C=O2C，∴△AO2C≌△DO2C，∴CA=CD， ∴△CAD为等腰三角形，

∵CO2为顶角平分线，∴CO2⊥AD。

例8. 如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，

a以为半径的圆相切于点O1、O2、O3，求O1O2、O2O3、O3O1围成的图形面 2积S。（图中阴影部分）

分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。 解：S△ABC32a2a2 a，3S扇3×·()4628 ∴S阴32a2232aa 488 此题可变式为如下图所示，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且它们的半径都

a为，求图中三个扇形(阴影部分)的面积之和。 2

分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为∠A+∠B+∠C=180°，

因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为8a2，

原题可在上一题基础上进一步变形：⊙A1、⊙A2、⊙A3…⊙An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3…An，求n个扇形的面积之和。 解题思路同上。 解：

(n2) 2

一、填空题（10×4=40分）

1. 已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。

2. 圆内接四边形ABCD中，如果∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠D=___________度。 3. 若⊙O的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，则点P到⊙O的切线长为___________。

 4. 如图所示CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于M，则可得出AM=MB，ACBC等多

个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：___________。

5. ⊙O1与⊙O2的半径分别是3和4，圆心距为43，那么这两圆的公切线的条数是___________。

6. 圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积是___________。 7. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是___________。

8. 若PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC交⊙O于B，若BC=20，PA=103，则PC的长为___________。

9．如图5，△ABC内接于⊙O，点P是AC上任意一点（不与A、C重合），ABC55,则POC的取值范围是 ．

10．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、

40°，则∠1的度数为 .

（第9题图）

°

°

O

11．已知eO的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与eO的位置关系是 ．

12．如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧AD的三等分点， BOC46o，则AED的度数为 ．

13．如图，Rt△ABC中ACB90o，AC4，BC3．将△ABC绕AC所在的直线

f旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积 ．（取3.14，结果保留两个有效

数字）

14．如图8，两个同心圆的半径分别为2和1，AOB120o，则阴影部分的面积为

f A AB120oOB C 图8 M N B O A 第14题图

15．如图，AB是eO的直径，AM为弦，MAB30o，过M点的eO的切线交AB延长线于点N．若ON12cm，则eO的半径为 cm．

16．如图，Rt△ABC是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得，且点A，B，C在同一条直线上，在Rt△ABC中，若∠C90o，BC2，AB4，则斜边AB旋转到AB所扫过的扇形面积为 ．

A A

C D

O

C C P A B

（15题图）

E B

（第17题图）

17．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA切点分别是A，B，若PA8cm，，PB，（点C与A，B两点不重合），过点C作圆O的切线，分别交PAAB上的一个动点C是»，PB于点D，E，则△PED的周长是 ．

18、在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系

是 .

19．如图8，在Rt△ABC中，C90o，AC3．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．

20．如图9，点A，B是eO上两点，AB10，点P是eO上的动点（P与A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OEAP于点E，则EF ． OFPB于点F，

A

A O C B E B F P 图8 图9

三、解答题：

1. 已知：如图所示，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D，连结DA并延长与⊙O1相交于C点，连结BC。过A点作AE∥BC与⊙O2相交于E点，与BD相交于F点。

（1）求证：EF·BC=DE·AC； （2）若AD=3，AC=1，AF3，求EF的长。

2. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。

3. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。

（1）如图所示，当点P在线段AB上时，求证：PA·PB=PE·PF；

（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（3）若AB42，cos∠EBA1，求⊙O的半径。 34．如图，△ABC是eO的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设OAB，C．（1）当35o时，求的度数；（2）猜想与之间的关系，并给予证明．

5、（８分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以

A E D BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．

求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）

1AECE．

3

B O C 6、已知：如图，在Rt△ABC中，C90o，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且CBDA． （1）判断直线BD与eO的位置关系，并证明你的结论； （2）若AD:AO8:5，BC2，求BD的长．

7、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，

C D O E B

A

（Ⅰ）求AOD的度数；（Ⅱ）若AO8cm，DO6cm，求OE的长．

8、已知Rt△ABC中，ACB90，CACB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．

（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN2AM2BN2； （Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2AM2BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请

9．如图，△ABC内接于eO，过点A的直线交eO于点P，交

C 说明理由． C E A E M N F 图①

B M A N F 图②

B BC的延长线于点D，AB2APgAD．（1）求证：ABAC；

（2）如果ABC60o，eO的半径为1，且P为»AC的中点，求AD的长．

10．(本题满分10分)已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=15. (1) 求证：AMMBEMMC；(2) 求EM的长；

（3）求sin∠EOB的值.

11．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）

“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．

图7

（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；

（2）由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i1:0.75是坡面

O A C D E 图8

H CE的坡度），求r的值．

12．已知，如图，直线MN交eO于A，B两点，AC是直径，AD平分CAM交eO于

C D O M E A 第12题图

B N D，过D作DEMN于E．

（1）求证：DE是eO的切线；

（2）若DE6cm，AE3cm，求eO的半径．