江苏省新海高级中学2011级学情调研测试

数学文科试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，

请把答案直接填在答题纸相应位置上． ．．．．．．．．

1．已知i是虚数单位，复数z7i,则复数z的虚部为________________. 3i22．已知集合A0,1,B1,0,a2，若AB,则实数a的值为________.

3．有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率为______________.

4．命题：“xR,ex”的否定是_____________________.

5．在平面直角坐标系xoy中，将函数fxsin2x的图象向左平移0个单位后得到函数gxsin2xx的图象，则的值为________________. 46．已知a1,b2.且aab，则a与b的夹角为_____________.

7．若幂函数fx的图像经过点A4,2,则它在A点处的切线方程为 . 2xax,x18．已知函数fx若ff20，则实数a= . 2x6,x19．在ABC中，若A,B,BC1,则ABCA的值是__________.

6310．若函数f(x)(x2)(x2c)在x2处有极值，则函数f(x)的单调减区间为 . 11．在ABC中，若sinA4sinBcosAB,则tanA的最大值为_____________ . 12．已知定义域为R的函数fx是奇函数，当x0,fxxmm,且对xR，

22恒有fx2fx,则实数m的取值范围为_____________. 13．已知正实数x,y,z满足2xx1111yz,则xx的最小值为______. yzyz3214．若在区间0,k内恰存在两个实数a，使得函数fxx2ax1有整数零点，则实数k的取值范围是_____________.

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时

高三文科数学试卷第1页(共4页)

应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

且sin()5,15．（本题满分14分）已知0, tan1．

22213（1）求cos的值； （2）证明：cos

16. （本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2),B(3,4),C(2,4)D是以线段AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点 （1）求D的坐标；

1. 5（2）设实数t满足tOC(ABtOD)0恒成立，求t的取值范围.

17. （本题满分14分）在ABC中，a,b,c分别是三内角A,B,C的对边，且

2accosBbcosC0.

（1）求角B的值； （2）若b

18. （本题满分16分）设函数fxaxbx1a0,bR 的最小值为4a，

23，设ABC的周长为l，求l的最大值.

高三文科数学试卷第2页(共4页)

fx0两个实根为x1、x2 （x1x2）.

（1）求x1x2的值；

（2）若关于x的不等式fx0解集为A，函数fxx在A上不存在最小值，求a的取值范围；

18. （本题满分16分）某个公园有个池塘，其形状为直角三角形ABC,C90,AB2（百米），BC1(百米)，

（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB,BC,CA上取点D,E,F，如图1，使得

EF//AB，EFED,在DEF中喂鱼，求DEF的面积的最大值；

（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB,BC,CA上取点D,E,F，如图2，建造DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使DEF为正三角形，求DEF边长的最小值

AA D FFD CBECBE

图1 图2

20. （本题满分16分）设fxaxlnxaR是定义在区间0,e上的函数，其导函

高三文科数学试卷第3页(共4页)

数为f'x，且存在实数x1,x20,e，x1x2，满足fx1fx2.

（1）若a1，求fx在0,e上的最小值； （2）证明：fx0；

（3）设xx11x2，01，若f

'x0，求实数的取值范围.

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高三文科数学试卷第4页(共4页)

数学文科试卷参

3x ； 4.xR,ex； 5. ； 5826. 135°； 7. x4y40；8. 2 ； 9. -3 ；10.（-,2）；

31. -1 ； 2. 3 ； 3. 11.

2225,； 12.; 13.

52213632 ; 14. ,.

9321222=43 15.(14分)解：（1）coscos2sin21522cos2sin21tan212224cos2sin21tan21„（6分）

（2）易得π3π，又sin()5, 所以cos12，„„（8分）

221313 由（1）可得sin4，所以coscos[()]„„（14分）

565516. （14分）（1）D（2,6）„（6分）；

（2）t0„„（14分）； 17.（14分）

解：（1）由2accosBbcosC0， 得2sinAsinCcosBcosBcosC0 化简：cosB1611 B „„„„„„„„„6分 23acsinAsinC322 得a2sinx,c2sinx 332（2）由正弦定理

2yabc2sinx2sinx323sinx3 63ymax33 „„„„„„„„„14分

xx2x1x2a18.解：（1）∵fxaxx1xx2ax1

22高三文科数学试卷第5页(共4页)

22xx2∴a14a，又x1x2 ∴x1x24 . （8分）

2（2）x1x2，fxxaxax1x21xax1x2，在x1,x2不存在最小值，

22∴

ax1x212ax2或

ax1x212ax1 （12分）

又x2x14，a0 ∴0a19.

1 （16分） 4 20.

(1)当a1时, f(x)11x10,得x1. xx高三文科数学试卷第6页(共4页)

当0x1时, f(x)0,故f(x)在(0,1)上单调递减; 当1xe时, f(x)0,故f(x)在(1,e)上单调递增. 所以fmin(x)f(1)1ln11. ……………….4分

(2)因为存在实数x1,x2(0,e),且x1x2满足f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0,e)上不单调.

1ax110,得x(0,e). xxa11当0x时, f(x)0,故f(x)在(0,)上单调递减;

aa11当xe时, f(x)0,故f(x)在(,e)上单调递增. aa11所以fmin(x)f()1ln0, 即f(x)0………………….8分

aa由f(x)ax2x1,x1x2, (3)由f(x1)f(x2)得ax2x1ln又f(x0)a11a,01, x0x1(1)x2x2x21x1xx111[ln2]. 故f(x0)x2x1x1(1)x2x2x1x1(1)x2x1ln设tx2t1,g(t)lnt,t(1,).………………….10分 x1(1)t11[(1)t]2t, 因为g(t)t[(1)t]2t[(1)t]2记h(t)[(1)t]t(1)(t1)[t(若(221)2],t(1,).

1)21,即01时, h(t)0,即有g(t)0,故函数g(t)为(1,)上的单调增2函数,即有g(t)g(1)0,所以f(x0)0.……………………12分 若(1)21,即

11时, 2高三文科数学试卷第7页(共4页)

当1t(当t()2时, h(t)0,即有g(t)0,故函数g(t)在区间(1,()2)上单调递减; 11)2时, h(t)0,即有g(t)0,故函数g(t)在区间(()2,)上单调递增. 11故存在当t(1)2时, 满足g(t)g(1)0,即有f(x0)0,这与f(x0)0矛盾.

综上所述: 0

1………………………………….16分 2高三文科数学试卷第8页(共4页)

高三文科数学试卷第9页(共4页)