初三数学圆经典例题

【考点速览】 考点1：

圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2：

确定圆的条件；圆心和半径

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3：

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）

固定的已经不能再固定的方法：

求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：

考点4：

三角形的外接圆：

锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5

点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外d＞r；②点在圆上d=r；③点在圆内 d＜r；

【典型例题】

例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。

A

B M C 例2．已知，如图，CD是直径，EOD84，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。

例3 ⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_________cm。

例4 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少 例5 如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,CEA30， 求CD的长．

例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为2,3，求BAC的度数．

A

· O

E

B D

C E B D O C A

例7.如图，已知在ABC中，A90，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长．

A

B C

D

例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB＝16cm，拱高CD＝4cm，那么拱形的半径是＿＿m。

CAB.思考题

D如图所示,已知⊙O的半径为10cm，P是直径AB上一点,弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂线AE和BF,求AE-BF的值.

二．垂径定理及其推论 【考点速览】 考点1

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤． 推论1：

①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．

A

· O

P F

B D

C E

③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤． 推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等． 垂径定理及推论1中的三条可概括为：

① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对

的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点

【典型例题】

例1 如图AB、CD是⊙O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且AMNCNM． 求证：AB=CD．

例2已知，不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F。求证：CE=DF．

BBOAECHDF•A M B

· O

C N

D

OECA•AO•BlHFDl

ECHDFl

问题一图1 问题一图2 问题一图3

例3 如图所示，⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。 （1）求证：AE＝BF

（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值若是定值，请给出证明，

F

B

并求出这个定值，若不是，请说明理由。

例4 如图，在⊙O内，弦CD与直径AB交成45角，若弦CD交直径AB于点P，且⊙O半径为1，试问：PCPD 是否为定值若是，求出定值；若不是，请说明理由.

B

C

例5.如图所示，在⊙O中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC、BD交直径MN于E、F.求证：ME=NF.

M

A C E

B ·O

F N

A

P

。O

D

220D

例6.（思考题）如图，o1与o2交于点A，B，过A的直线分别交o1，o2于M,N，

M

C A C为MN的中点，P为O1O2的中点，求证：PA=PC.

三．圆周角与圆心角 【考点速览】 考点1

圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。

圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．

Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由

考点2

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

Eg: 如下三图，请证明。

13.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD． （1）求证：DB平分∠ADC；

（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．

14.如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、BC． （1）求证：ACO=BCD．

（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．

C E D O A B

15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。

（1）求证：AC＝AE；

（2）求△ACD外接圆的半径。

A E C

D B

16.已知：如图等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BDAP，连结CD．

（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形并说明理由． （2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形为什么 A A

O B P 图①

C D O B P 图②

C D

四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 【考点速览】

圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

（务必注意前提为：在同圆或等圆中）

例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．

E

A

P

12

C

DOB

F 例2、已知：如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。 求证：PA=PC。

例3．如图所示，在ABC中，∠A=72，⊙O截ABC的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.

·O

B

C

A

例4．如图，⊙O的弦CB、ED的延长线交于点A，且BC=DE．求证：AC=AE．

E O· D C B A

例5．如图所示，已知在⊙O中，弦AB=CB，∠ABC=120，OD⊥AB于D，OE⊥BC于E． 求证：ODE是等边三角形．

A D

B

E C O ·

例6.如图所示，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E。 （1）试说明△ODE的形状；

（2）如图2，若∠A=60º，AB≠AC，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由。

AA ED D E BOCBOC

例7弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G. （1）求证：△BEF是等边三角形； （2）BA=4，CG=2，求BF的长. E D

A · O

F

B

C G

例8已知：如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。

六．会用切线，能证切线

考点速览： 考点1

直线与圆的位置关系

图形 公共点个数 d与r的关系 直线与圆的位置关系 0 1 2 d>r 相离 d=r 相切 d考点2

切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

符号语言

O∵ OA⊥ l 于A， OA为半径

∴ l 为⊙O的切线

Al 考点3

判断直线是圆的切线的方法：

①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。

②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 ③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 考点4

切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）

1、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与

AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．

(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)若AB=3,BC=4,DE=DC，求⊙O的半径．

D

E

A2.如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半

圆O 于点E，交AC于点C，使BEDC．

（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；

C

E

A

3.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB

为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．

（1）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切． （2）在（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求DE的长；

A D O · B

CFOBD

O

B

E C

4.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线

交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC是⊙O的切线；

1 （2）求证：BC=2AB；

5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F． （1）求证：BC与⊙O相切；

C （2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数

D

E G

A B F O

6.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，

（1）若∠AED＝45º．试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．

（2）若∠AED=60º,AD=4，求⊙O半径。

D

C

A

O E

B

7.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.

（1）求线段AD的长度；

（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切请说明理由. A

D

C

O B

8.如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是⌒AB 的中点，过点D作

直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F （1）求证：EF⊙是O的切线；

E

（2）若AB＝8，EB＝2，求⊙O的半径．

B D

C · F O A

PO过AC的中点M，如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，

求证：PC是⊙O的切线。

20. 已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C． （1）求证：AD＝DC；

（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝2，CE=1，

求⊙O的半径．

20．在Rt△AFD中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，联

F结AC，将△AFC 沿AC翻折得△AEC，且点E恰好落在直径AB上. C（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论.

（2）若OB=BD=2,求CE的长．

AOEB

20．如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB． （1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明； （2）当AB=10，BC=8时，求BD的长． CE

F AO20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E， 联结EB交OD于点F．

（1）求证：OD⊥BE；

（2）若DE=5，AB=5，求AE的长．

（20题图） DDB20. 如图，AB是O的直径，BAC30，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于

点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且ECFE.

E（1）证明CF是O的切线

(2) 设⊙O的半径为1．且AC=CE,求MO的长. 21.

FNAMOBC如图，AB BC CD分别与圆O切A A于

E C E A F G且

A 40EODABCABAPBPEDAPB3BCa,ACb,ABcC90yx34D F xm,nx（1）当四边形OBCE是矩形时，求点C

的坐标； · O P O·F （2）如图乙，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的

B 半径r； C E （3）求m与n之间的函数关系式；

CD · O BDD B · O PC E （4）在⊙C的移动过程中，能否使OEF是等边三角形（只回答“能”或“不能”）

B

八．三角形内切圆 考点速览

考点1

概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多

边形．

考点2

三角形外接圆与内切圆比较：

名称 确定方法 图形 性质 （1）OA=OB=OC； 外心（三角形三角形三边外接圆的圆中垂线的交心） 点 （2）外心不一定在三角形的内部． （1）到三边的距离相等； 内心（三角形三角形三条（2）OA、OB、OC分别平内切圆的圆角平分线的分∠BAC、∠ABC、∠ACB； 心） 交点 （3）内心在三角形内部．

考点3

求三角形的内切圆的半径

Aabc1、直角三角形△ABC内切圆⊙O的半径为r.

2

2、一般三角形

①已知三边，求△ABC内切圆⊙O的半径r.

cOBbECaDAFBODEC2Sr

abc（海式S△＝s(sa)(sb)(sc) ， 其中s=

例1．如图，△ABC中，∠A=m°．

（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数； （2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；

abc) 2（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．

例2．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，

求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．

考点速练2

1．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，•然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（ ） A．（

2n2n－11n1n－1

）R B．（）R C．（）R D．（）R 2222

3．如图，已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，•如果AF=2，BD=7，

CE=4．

（1）求△ABC的三边长；

（2）如果P为弧DF上一点，过P作⊙O的切线，交AB于M，交BC于N，求△BMN的

周长．

十．圆与圆位置的关系 考点速览：

1圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，圆心距为d） 外离 外切 相交 内切 内含 图形 公共点 O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 0个 1个 2个 1个 0个 d、r、R的关dRr 系 外公切线 内公切线 2条 2条 dRr 2条 1条 RrdRr dRr dRr 2条 0条 1条 0条 0条 0条 2．有关性质：

（1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 （2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 （3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁

外公切线 内公切线

3．相交两圆的性质

定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

4．相切两圆的性质

定理：相切两圆的连心线经过切点

经典例题：

例1、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O1于为N. （1）过点A作AEO1证：PA=PE.

（2）连接PN，若PB=4，BC=2，求PN的长.

C B P

· O

2D ·O1 N

例2 如图，在ABC中，BAC90,ABAC22，圆A的半径为1，若点O在BC

边上运动（与点B、C不重合），设BOx,AOC的面积为y. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，当圆⊙O与⊙A相切时，求AOC的面积.

课堂练习：

1.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距020=7cm，则两圆的位置关系为 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

2.已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ）

A．0d1 B．d5 C．0d1或d5 D．0≤d1或d5 3.大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ） A．外离 B．外切 Ｃ．相交 D．内含 5.若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

6.外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是

A．11 B．7 C．4 D．3

B

A O

C

十一.圆的有关计算 考点速览：

【例题经典】 有关弧长公式的应用

例1 如图，Rt△ABC的斜边AB=35，AC=21，点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆心的圆，分别切两直角边边BC、AC于D、E两点，求弧DE的长度．

有关阴影部分面积的求法

例2 如图所示，等腰直角三角形ABC的斜边AB4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于D、E．求圆中阴影部分的面积．

C

D E

求曲面上最短距离

例3 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥， •一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它 爬行的最短路线长是（ ）

A

O · B

A．2 B．42 C．43 D．5 求圆锥的侧面积

例4 如图10，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，•它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm，高BC=8cm，求这个零件的表面积．（结果保留根号）

三、应用与探究：

1．如图所示，A是半径为1的⊙O外一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连结AC，求阴影部分的面积．

2．已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．

求证：（1）AD＝BD； （2）DF是⊙O的切线．

3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线与BC相交于点D,点E在AB上，DE=DC,以D为圆心，DB长为半径作⊙D．（1）AC与⊙D相切吗并说明理由．（2）你能找到AB、BE、AC之间的数量关系吗为什么

BOCFDEAB C O A

4、如图，已知：点D 在OC的延长线上，sinB△ABC内接于⊙O，求证：AD是⊙O的切线； （2）若AC6，求AD的长．

圆的综合测试 一：选择题

1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）

1，（1）D30．2D

C B O A

个 个 个 个 2．下列判断中正确的是（ ）

A.平分弦的直线垂直于弦 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3．如上图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，

的度数为60°，

的度数为100°，则∠AEC等于（ ） ° ° ° °

4．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是2:3:6，则∠D的度数是（ ）

° °

5.过⊙O内一点M的最长弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则OM的长为( ). A、3cm B、5cm C、2cm D、3cm 6．两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和 5，如果⊙P与这两个圆都相切，则⊙P 的半径为( )

或7 或

7．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（ ） A.

11（a＋b＋c）r （a＋b＋c） C.（a＋b＋c）r D.（a＋b＋c）r

328．已知半径分别为r和2 r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（ ）

＜d ＜3r ＜d ＜3r ≤d ＜3r ≤d ≤3r 9.将一块弧长为

（）

A．3 B．

的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为

35 C．5 D． 22C F O B 10.如图，圆 O中弦AB、CD相交于点F，AB=10，AF=2，若A

CF:DF=1:4，则CF的长等于（ ）。

A．2 B．2 C．3 D．22

11.有一张矩形纸片ABCD，其中AD=4cm，上面有一个以

A

D

D C

B

B C

A C

AD为直径的 半圆，正好与对边BC相切，如图（甲），将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（ ）

124222C．(3)cm D．(3)cm

3322A. (23)cm B．(3)cm

12.如图，两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为 16π，过小 圆上任一点P作 大圆的弦AB，则PAPB的值是（ ） A．16 B．16 C．4 D．4 二、填空题

13．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=5,BC=12,则△ABC的内切圆半径为 ．

14.如图，圆O是△ABC的外接圆，C30，AB2cm，则圆O的半径为 cm．

2C

OAB15.（1）已知圆的面积为81cm，其圆周上一段弧长为3cm，那么这段弧所对圆心角的度数是 ．

（2）如图13所示，AB、CD是⊙O的直径，⊙O的半径为R，AB⊥CD，以B为圆心， 以BC为半径作弧CED，则弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积为 . （3）如图14,某学校建一个喷泉水池，设计的底面边长为4m的正六边形，池底是水磨石地面，现用的磨光机的磨头是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时磨头磨不到的部

A 分的面积为 .

16．如图2，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是 .cm．

2

E C O D

A

O· · B B 图13

图14

17.如图，有一个圆锥，它的底面半径是2cm母线长是8cm，在点A处有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对且离圆锥顶点32cm的点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是 .

18、如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于E，AE=2、ED=6，则AB= .

19.已知矩形ABCD，AB=8，AD=9，工人师傅在铁皮上剪去一个和三边都相切的⊙P后，在剩余部分废料上再剪去一个最大的⊙Q，那么⊙Q的直径是 .

20.如图所示，AB是⊙O1的直径，AO1是⊙O2的直径，弦MN∥AB，且MN与⊙O2相切于点C．若⊙O1的半径为2，则由O1B、弧BN、NC、弧CO1围成图形的面积等于 ．

21.如图，已知半圆O的直径为AB，半径长为

B A D

P · B· A E C· D

O A · · B ·C

·O · Q ·C

M A

C O2 O1 N B

25，点C在AB上，47OC,CDAB,CD交半圆O于D，那么与半圆相切，且与BC，

4CD相切的圆O的半径长是 。 三、综合题

22.以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，E为BC边的中点，连DE.

⑴请判断DE是否为⊙O的切线，并证明你的结论. ⑵当AD：DB=9：16时，DE=8cm时，求⊙O的半径R.

23. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，ACPC，COB2PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC1AB； 2（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB4，求MN*MC的值．