2014年内蒙古自治区呼和浩特市中考数学试题(含答案)

题序 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分

2020年 呼 和 浩 特 市 中 考 试 卷

数 学

注意事项：

1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题纸的规定位置。

2．考生要将答案写在答题纸上，在试卷上答题一律无效。考试结束后，本试卷和答题纸一并交回。 3．本试卷满分120分。考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的） 1．下列实数是无理数的是

A．–1 C．π

B．0 1D．

3

2．以下问题，不适合用全面调查的是

A．旅客上飞机前的安检 C．了解全校学生的课外读书时间

B．学校招聘教师，对应聘人员的面试 D．了解一批灯泡的使用寿命

3．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D的坐标为 A．（1，2） C．（5，3）

B．（2，9） D．（–9，–4）

为

4．右图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积

A．60π C．90π

B．70π D．160π

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5．某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则最后的单价是

A．a元 C．1.21a元

B．0.99a元 D．0.81a元

6．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为 A．33

B．3 6

3

C． 3

2

3

D． 6

2

7．实数a，b，c在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是

A．ac > bc C．–a <–b < c 8．下列运算正确的是

A．54·2

a b 0 c x

B．|a–b| = a–b D．–a–c >–b–c

13

= 6 22

B．(a3)2 =a3

D．(–a)9÷a3 =(–a)6

b＋a1111

C．＋ ÷2–2 =

ababb–a

9．已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于错误!未找到引用源。CDE与错误!未找到引用源。ABF判断完全正确的一项为

A．错误!未找到引用源。CDE与错误!未找到引用源。ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相

等

B．错误!未找到引用源。CDE与错误!未找到引用源。ABF全等，且周长都为10cm C．错误!未找到引用源。CDE与错误!未找到引用源。ABF全等，且周长都为5cm D．错误!未找到引用源。CDE与错误!未找到引用源。ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定

1

的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象|x|

10．已知函数y =

的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根x1，x2判断正确的是

A．x1 ＋ x2 >1，x1·x2 > 0 C．0 < x1 ＋ x2 < 1，x1·x2 > 0

B．x1 ＋ x2 < 0，x1·x2 > 0

D．x1 ＋ x2与x1·x2 的符号都不确定

二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共18分．本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不

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需要解答过程）

11．一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为

________．

12．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x，8． 已知这组数据的平均数是10，那

么这组数据的方差是_________．

13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36错误!未找到引用源。，则该等腰三角形的底角的度数

为___ __________．

14．把多项式6xy2–9x2y–y3因式分解，最后结果为_________．

15．已知m，n是方程x2＋2x–5 = 0的两个实数根，则m2–mn＋3m＋n=_________． 16．以下四个命题：

①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形． ②当m > 0时， y =–mx＋1与y =

m

两个函数都是y随着x的增大而减小． x

③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点坐标为（1，

3）， 则D点坐标为（1，–3）．

④在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然1后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为 ．

8其中正确的命题有_________（只需填正确命题的序号）

三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算

1–

（1）（5分）计算： 2cos 30°＋(3–2)1 ＋–

2（2）（5分）解方程：

31

– = 0 x2＋2xx2–2x

18．（6分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65错误!未找到引用源。方向，距离灯塔80海里的A

处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45错误!未找到引用源。方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）

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19．（5分）已知实数a是不等于3的常数，解不等式组

–2x＋3≥–3 1， 并依据a的取值情况写出其解集． 1

(x–2a)＋ x < 022

20．（9分）学校为了了解初三年级学生体育跳绳的训练情况，从初三年级各班随机抽取了50名学生进

行了60秒跳绳的测试，并将这50名学生的测试成绩（即60秒跳绳的个数）从低到高分成六段记为第一到六组，最后整理成下面的频数分布直方图：请根据直方图中样本数据提供的信息解答下列问题．

（1）跳绳次数的中位数落在哪一组？由样本数据的中位数你能推断出学校初三年级学生关于60秒跳

绳成绩的一个什么结论？

（2）若用各组数据的组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，求这50

名学生的60秒跳绳的平均成绩（结果保留整数）；

（3）若从成绩落在第一和第六组的学生中随机抽取2名学生，用列举法求抽取的2名学生恰好在

同一组的概率．

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21．（7分）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为

O, 连接DE．

（1）求证：∆ADE≌∆CED; （2）求证： DE∥AC．

22．（7分）为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居

民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格． 我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和 410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元?

k23．（8分）如图，已知反比例函数y = （x > 0，k是常数）的图象经过点A（1,4），点B（m , n），其

x

中m＞1， AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C． （1）写出反比例函数解析式； （2）求证：∆ACB∽∆NOM；

（3）若∆ACB与∆NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线

的解析式．

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24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线

CM．

（1）求证：∠ACM=∠ABC；

（2）延长BC到D，使BC = CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的

半径为3，ED = 2, 求∆ACE的外接圆的半径．

125．（12分）如图，已知直线l的解析式为y = x–1，抛物线y = ax2＋bx＋2经过点A（m，0），B

2

5

（2，0），D 1， 三点．

4

（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；

（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E, 延

长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数， 并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；

（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定

在PB所在直线上．

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2020年 呼 和 浩 特 市 中 考 试 卷

数学参考答案及评分标准

一、选择题

1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 9．B 10．C 二、填空题 11．160° 12．1.6 13．63°或27° 14．–y(3x–y)2 15．8 16．① 三、计算题

17．（1）解：原式=2 ×

311

＋ ＋ ············································ 3分 223–2

1

= 3–(3＋2) ＋ ·················································· 4分

23= – ······································································ 5分

2

（2）解：去分母得

3x2–6x–x2–2x = 0 ··········································································· 1分 2x2 –8x = 0 ······················································································ 2分 ∴ x = 0或x = 4 ················································································ 3分 经检验：x = 0是增根

∴ x = 4是原方程的解 ····································································· 5分 18．解：过点P作PD⊥AB于D ····························································· 1分 由题意知∠DPB = 45° 在RtΔPBD中，sin 45° =

PD

PB

∴ PB=2PD ······················································································· 2分 ∵ 点A在P的北偏东65°方向上 ∴ ∠APD = 25° 在RtΔPAD中

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cos 25° =

PD

PA

∴ PD = PA cos 25° = 80 cos 25° ······························································· 5分 ∴ PB = 802 cos 25° ·········································································· 6分

–2x＋3≥–3…………………①19．解：1 1

(x–2a)＋ x < 0……………②22

解①得：x≤3 ······················································································ 1分 解②得：x < a ······················································································ 2分 ∵ a是不等于3的常数

∴ 当a > 3时，不等式组的解集为x≤3 ···················································· 4分 当a < 3时，不等式组的解集为x < a ···················································· 5分 20．解：（1）中位数落在第四组 ···························································· 1分 由此可以估计初三学生60秒跳绳在120个以上的人数达到一半以上 ··············· 3分 （2）x =

2×70＋10×90＋12×110＋13×130＋10×150＋3×170

≈121 ······· 6分

50

（3）记第一组的两名学生为A、B，第六组的三名学生为1、2、3 ················· 7分 则从这5名学生中抽取两名学生有以下10种情况： AB，A1，A2，A3，B1，B2，B3，12，13，23 ∴ P =

42

= ··················································································· 9分 105

21．证明：（1）∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AD=BC AB=CD 又∵ AC是折痕

∴ BC = CE = AD ··············································································· 1分 AB = AE = CD ··············································································· 2分 又DE = ED

∴ ΔADE ≌ΔCED ············································································· 3分 （2）∵ ΔADE ≌ΔCED ∴ ∠EDC =∠DEA

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又ΔACE与ΔACB关于AC所在直线对称 ∴ ∠OAC =∠CAB 而∠OCA =∠CAB

∴ ∠OAC =∠OCA ·············································································· 5分 ∴ 2∠OAC = 2∠DEA ··········································································· 6分 ∴ ∠OAC =∠DEA

∴ DE∥AC ························································································ 7分 22．解：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时 ························ 1分 由题意得：

180x＋150y=213

 ··········································································· 3分 180x＋60y =150

x=0.6解之得： ·················································································· 4分

y=0.7

∴ 4月份的电费为：160×0.6=96元

5月份的电费为：180×0.6＋230×0.7 = 108＋161 = 269元

答：这位居民4、5月份的电费分别为96元和269元． ································ 7分 k

23．解：（1）∵ y = 过（1，4）点

x

4

∴ k = 4，反比例函数解析式为y = ······················································ 1分

x（2）∵ B（m，n） A（1，4）

∴ AC = 4–n，BC = m–1，ON = n，OM = 1 ············································ 2分 4–nAC4∴ = = –1 ONnn4而B（m，n）在y = 上

x4

∴ = m nAC

∴ = m–1 ON而

m–1BC = OM1

ACBC∴ = ···················································································· 4分 ONOM

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又∵ ∠ACB =∠NOM = 90°

∴ ΔACB∽ΔNOM ············································································· 5分 （3）∵ ΔACB与ΔNOM的相似比为2 ∴ m–1 = 2 ∴ m = 3

4∴ B点坐标为（3，） ········································································· 6分

3设AB所在直线的解析式为y = kx＋b 43 = 3k＋b∴  4 = k＋b416∴ k = – b =

33

416

∴ 解析式为y = – x＋ ··································································· 8分

3324．证明：（1）连接OC ······································································ 1分 ∵ AB为⊙O的直径 ∴ ∠ACB = 90°

∴ ∠ABC ＋∠BAC = 90° 又∵ CM是⊙O的切线 ∴ OC⊥CM

∴ ∠ACM ＋∠ACO = 90° ································································· 2分 ∵ CO = AO ∴ ∠BAC =∠ACO

∴ ∠ACM =∠ABC ·············································································· 3分 （2）∵ BC = CD ∴ OC∥AD 又∵ OC⊥CE ∴ AD⊥CE

∴ ΔAEC是直角三角形

∴ ΔAEC的外接圆的直径为AC ····························································· 4分

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又∵ ∠ABC ＋∠BAC = 90° ∠ACM ＋∠ECD = 90° 而∠ABC =∠ACM ∴ ∠BAC =∠ECD 又∠CED =∠ACB = 90° ∴ ΔABC∽ΔCDE ABBC∴ = CDED而⊙O的半径为3 ∴ AB = 6 6BC∴ = CD2∴ BC2 = 12

∴ BC = 23 ······················································································ 6分 在RtΔABC中 ∴ AC =

36–12 = 26 ····································································· 7分

∴ ΔAEC的外接圆的半径为6 ····························································· 8分 25．解：（1）∵ y = ax2＋bx＋2经过点B、D

4a＋2b＋2 = 0 ∴  5

a＋b＋2 = 4

11

解之得：a =–，b =–

42

11

∴ y =– x2 – x＋2 ··········································································· 2分

42∵ A（m，0）在抛物线上 11

∴ 0 =– m2 – m＋2

42解得：m =–4

∴ A（–4，0） ·················································································· 3分 图像（略） ························································································· 4分 1

（2）由题设知直线l的解析式为y = x–1

2

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1

∴ S = AB·PF

21

= ×6·PF

2

111

= 3（– x2 – x＋2＋1– x） ······················································ 5分

4223

= – x2 –3x＋9

4

3

= –（x＋2）2 ＋12 ······································································ 6分

4其中–4 < x < 0 ···················································································· 7分 ∴ S最大= 12，此时点P的坐标为（–2，2） ·············································· 9分 （3）∵ 直线PB过点P（–2，2）和点B（2，0）

1

∴ PB所在直线的解析式为y =– x＋1 ················································· 10分

211

设Q（a， a–1）是y = x–1上的任一点

221

则Q点关于x轴的对称点为（a，1– a）

2

11

将（a，1– a）代入y =– x＋1显然成立 ·············································· 11分

22∴ 直线l上任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在的直线上 ···················· 12分 注：本卷中各题如有不同解法，可依据情况酌情给分。

友情提示：

一、认真对待每一次考试。

二、遇到不懂的题目或者知识点就是并解决它就是进步的机会。

三、试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效. 四、请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！