【附答案】高考数学必考题型解析几何 (6)

题型一 双曲线的渐近线问题

x2y25

例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方

ab2程为( )

11

A．y＝±x B．y＝±x

431

C．y＝±x D．y＝±x

2

破题切入点 根据双曲线的离心率求出a和b的比例关系,进而求出渐近线． 答案 C

c5

解析 由e＝＝知,a＝2k,c＝5k(k∈R＋),

a2b1

由b2＝c2－a2＝k2,知b＝k.所以＝.

a21

即渐近线方程为y＝±x.故选C.

2题型二 双曲线的离心率问题

x2y2

例2 已知O为坐标原点,双曲线2－2＝1(a>0,b>0)的右焦点为F,以OF为直径作圆与双曲线

ab→→→

的渐近线交于异于原点的两点A,B,若(AO＋AF)·OF＝0,则双曲线的离心率e为( ) A．2 B．3 C.2 D.3

破题切入点 数形结合,画出合适图形,找出a,b间的关系． 答案 C

解析 如图,设OF的中点为T,

→→→由(AO＋AF)·OF＝0可知AT⊥OF, cc又A在以OF为直径的圆上,∴A2，2,

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b

又A在直线y＝x上,

a∴a＝b,∴e＝2.

题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题

x2y2→→

例3 已知A(1,2),B(－1,2),动点P满足AP⊥BP.若双曲线2－2＝1(a>0,b>0)的渐近线与动点P

ab的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是________．

破题切入点 先由直接法确定点P的轨迹(为一个圆),再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系,进一步列出关于离心率e的不等式进行求解． 答案 (1,2)

解析 设P(x,y),由题设条件,

得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)·(y－2)＝0, 即x2＋(y－2)2＝1,它是以(0,2)为圆心,1为半径的圆．

x2y2b

又双曲线2－2＝1(a>0,b>0)的渐近线方程为y＝±x,即bx±ay＝0,

aba由题意,可得c

所以e＝<2,

a又e>1,故1总结提高 (1)求解双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a,c的关系,a,c关系的建立方法直接反映了试题的难易程度,最后在求得e之后注意e>1的条件,常用到数形结合．

bxyx2y2

(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法．由y＝±x⇔±＝0⇔2－2＝0,所以可以

aababx2y2

把标准方程2－2＝1(a>0,b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程．双曲线的离心率

abc2－a2bb

是描述双曲线“张口”大小的一个数据,由于＝＝e2－1,当e逐渐增大时,的值就逐

aaa渐增大,双曲线的“张口”就逐渐增大．

2a2a

>1,即>1,

ca2＋b2

x2y2y2x2

1．已知双曲线2－2＝1(a>0,b>0)以及双曲线2－2＝1的渐近线将第一象限三等分,则双曲线

ababx2y2

－＝1的离心率为( ) a2b22323

A．2或 B.6或 33C．2或3 D.3或6

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答案 A

x2y2

解析 由题意,可知双曲线2－2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°,

abb3

则＝或3. a3c则e＝＝a＝

c2＝ a2a2＋b2 a2b231＋2＝或2,故选A.

a3

x2y2

2．已知双曲线C：2－2＝1 (a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2作双曲线C的一条渐近

ab线的垂线,垂足为H,若F2H的中点M在双曲线C上,则双曲线C的离心率为( ) A.2 B.3 C．2 D．3 答案 A

ba

解析 取双曲线的渐近线y＝x,则过F2与渐近线垂直的直线方程为y＝－(x－c),可解得点H

abaaba＋cabxy

，,则F2H的中点M的坐标为的坐标为,代入双曲线方程－＝1可得，cca2b22c2ca2＋c22a2b2c22

22－22＝1,整理得c＝2a,即可得e＝＝2,故应选A. 4ac4cba

x2y23．(2014·绵阳模拟)已知双曲线2－2＝1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0

ab相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( ) x2y2x2y2

A.－＝1 B.－＝1 45x2y2x2y2

C.－＝1 D.－＝1 3663答案 A

x2y2b解析 ∵双曲线2－2＝1的渐近线方程为y＝±x,

aba圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4, ∴圆心为C(3,0)． 又渐近线方程与圆C相切, 即直线bx－ay＝0与圆C相切, ∴

3b22

＝2,∴5b＝4a.① a2＋b22

2

2

2

2

x2y2

又∵2－2＝1的右焦点F2(a2＋b2,0)为圆心C(3,0),

ab∴a2＋b2＝9.②

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由①②得a2＝5,b2＝4.

x2y2

∴双曲线的标准方程为－＝1.

x2y2

4．已知双曲线2－2＝1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1(－c,0),F2(c,0),若双曲线上存在点P使

abac

＝,则该双曲线的离心率的取值范围是( )

sin∠PF1F2sin∠PF2F1A．(1,2＋1) B．(1,3) C．(3,＋∞) D．(2＋1,＋∞) 答案 A

|PF2||PF1|

解析 根据正弦定理得＝, sin∠PF1F2sin∠PF2F1由

ac

＝, sin∠PF1F2sin∠PF2F1

ac|PF1|c可得＝,即＝＝e,

|PF2||PF1||PF2|a所以|PF1|＝e|PF2|. 因为e>1,

所以|PF1|>|PF2|,点P在双曲线的右支上． 又|PF1|－|PF2|＝e|PF2|－|PF2|＝|PF2|(e－1) ＝2a, 解得|PF2|＝

2a. e－1

因为|PF2|>c－a(不等式两边不能取等号,否则题中的分式中的分母为0,无意义), 2a2所以>c－a,即>e－1,

e－1e－1即(e－1)2<2,解得e<2＋1. 又e>1,所以e∈(1,2＋1)．

π5．(2014·湖北)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2＝,3则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) 4323A. B.

33C．3 D．2 答案 A

解析 设|PF1|＝r1,|PF2|＝r2(r1>r2),

|F1F2|＝2c,椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2,

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π2

由(2c)2＝r21＋r2－2r1r2cos , 3

2得4c2＝r21＋r2－r1r2.

r1＋r2＝2a1，r1＝a1＋a2，由得 r－r＝2a，r＝a－a，122212

11a1＋a2r1所以＋＝＝.

e1e2cc

2

r24r141令m＝2＝22＝ cr1＋r2－r1r2r22r21＋－

r1r1

＝

4

, r2123－＋r124

r2116当＝时,mmax＝, r123r143所以()max＝, c31143即＋的最大值为. e1e23

x2y2x2y26．(2014·山东)已知a>b>0,椭圆C1的方程为2＋2＝1,双曲线C2的方程为2－2＝1,C1与C2

abab的离心率之积为

3

,则C2的渐近线方程为( ) 2

A．x±2y＝0 B.2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 答案 A

c1c2解析 由题意知e1＝,e2＝,

aac1c2c1c23

∴e1·e2＝·＝2＝.

aaa2

222

又∵a2＝b2＋c21,c2＝a＋b, 2∴c1＝a2－b2,

4422

c1c2a－bb∴4＝4＝1－()4, aaa

b3即1－()4＝,

a4b2b2

解得＝±,∴＝.

a2a2x2y2

令2－2＝0,解得bx±ay＝0, ab∴x±2y＝0.

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x2y2x2y2

7．若椭圆2＋2＝1(a>b>0)与双曲线2－2＝1的离心率分别为e1,e2,则e1e2的取值范围为

abab________． 答案 (0,1) 解析 可知a

e2＝2

2

a2－b2b22

e1＝2＝1－2, a

a

＋b2b2

＝1＋2, a2a

2

所以e21＋e2＝2>2e1e1⇒0x2y2a222

8．过双曲线2－2＝1 (a>0,b>0)的左焦点F作圆x＋y＝的切线,切点为E,延长FE交双曲

ab4线的右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为________． 答案

10 2

解析 设双曲线的右焦点为F′,由于E为PF的中点,坐标原点O为FF′的中点,所以a

EO∥PF′,又EO⊥PF,所以PF′⊥PF,且|PF′|＝2×＝a,故|PF|＝3a,根据勾股定理得|FF′|

2＝10a.所以双曲线的离心率为

10a10＝. 2a2

x2y2

9．(2014·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线2－2＝1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于

ab点A,B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|,则该双曲线的离心率是________． 答案

5 2

x2y2b

解析 双曲线2－2＝1的渐近线方程为y＝±x.

ababy＝ax，ambm

由得A(,), 3b－a3b－a

x－3y＋m＝0，by＝－ax，－ambm由得B(,), a＋3ba＋3b

x－3y＋m＝0，a2m3b2m

所以AB的中点C坐标为(22,22)．

9b－a9b－a设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0), 因为|PA|＝|PB|,所以PC⊥l, 所以kPC＝－3,化简得a2＝4b2. 在双曲线中,c2＝a2＋b2＝5b2,

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c5所以e＝＝.

a2

x2y2

10．(2013·湖南)设F1,F2是双曲线C：2－2＝1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|

ab＋|PF2|＝6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则双曲线C的离心率为________． 答案

3

解析 不妨设|PF1|>|PF2|,

则|PF1|－|PF2|＝2a, 又∵|PF1|＋|PF2|＝6a, ∴|PF1|＝4a,|PF2|＝2a. 又在△PF1F2中,∠PF1F2＝30°, 由正弦定理得,∠PF2F1＝90°, ∴|F1F2|＝23a,

23a∴双曲线C的离心率e＝＝3.

2a

x2y2

11．P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E：2－2＝1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,

ab1

直线PM,PN的斜率之积为.

5(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上→→→

一点,满足OC＝λOA＋OB,求λ的值．

x2y2

解 (1)点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线2－2＝1上,

ab

2x0y20有2－2＝1. ab

y0y01

由题意又有·＝, x0－ax0＋a5可得a2＝5b2,c2＝a2＋b2＝6b2, c30则e＝＝. a5

222x－5y＝5b，

(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0.

y＝x－c，

设A(x1,y1),B(x2,y2)．

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则35b

xx＝.4

2

12

5cx1＋x2＝，2

①

→→→→设OC＝(x3,y3),OC＝λOA＋OB,

x3＝λx1＋x2，即 y3＝λy1＋y2.

22又C为双曲线上一点,即x23－5y3＝5b,

有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.

2222化简得λ2(x1－5y21)＋(x2－5y2)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b.

又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,

22222所以x21－5y1＝5b,x2－5y2＝5b.

由(1)可知c2＝6b2,

由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2. 得λ2＋4λ＝0,解得λ＝0或λ＝－4.

x2212．(2014·江西)如图,已知双曲线C：2－y＝1(a>0)的右焦点为F.点A,B分别在C的两条渐

a近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点)．

(1)求双曲线C的方程；

x0x3

(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l：2－y0y＝1与直线AF相交于点M,与直线x＝相交

a2|MF|

于点N.证明：当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值．

|NF|解 (1)设F(c,0), 1

直线OB方程为y＝－x,

a

1cc

直线BF的方程为y＝(x－c),解得B(,－)．

a22a1

又直线OA的方程为y＝x,

acc－－a2a3c

则A(c,),kAB＝＝.

aca

c－2

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又因为AB⊥OB,所以3a·(－1

a)＝－1,

解得a2＝3,

C的方程为x2故双曲线3－y2

＝1.

(2)由(1)知a＝3,则直线l的方程为 x0x

3－y即y＝x0x－30y＝1(y0≠0),3y0

. 因为c＝a2＋b2＝2,所以直线AF的方程为x＝2, 所以直线l与AF的交点为M(2,2x0－33y0)；

3

l与直线x＝32的交点为N(32,2x0

－3

直线3y0)．

2x0－32|MF|2

则3y02|NF|2＝ 132x0－32

4＋3y02＝2x0－32

9y20 4＋94x0

－22

＝42x0－32

3·3y20＋3x0－22. 因为P(xx20,y0)是C上一点,则03－y20＝1, 代入上式得|MF|22x0－32|NF|2＝43·x20－3＋3x0－2

2 ＝42x2

3·4x20－3＝40－12x0＋93

, 即|MF||NF|＝223

3

＝3为定值．

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