2021届高考数学专题18离心率

1．离心率的值

x2y2例1：设F1，F2别离是椭圆C:221ab0的左、右核心，点P在椭圆C上，

ab线段PF1的中点在y轴上，若PF1F230，则椭圆的离心率为（ ）

A．3 3B．3 61C．

3D．

1 6【答案】A

【解析】本题存在核心三角形△PF1F2，由线段PF1的中点在y轴上，O为F1F2中点可得PF2∥y轴，

从而PF2F1F2，又因为PF1F230，则直角三角形△PF1F2中，PF1:PF2:F1F22:1:3，

且2aPF1PF2，2cF1F2，所以e2．离心率的取值范围

F1F2c2c3，故选A． a2aPF1PF23x2y2例2：已知F是双曲线221a0,b0的左核心，E是该双曲线的右极点，过

ab点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ）

A．1, 【答案】B

【解析】从图中可观察到若△ABE为锐角三角形，只需要AEB为锐角．由对称性可得只需

B．1,2

C．1,12

D．2,12

b2π且AF，FE都可用a，b，c表示，AF是通径的一半，得：AF，AEF0,即可．

a4FEac，

b2c2a2ca所以tanAEF111e2，即e1,2，故选B．

FEaacaacaAF 一、单选题

对点增分集训

x2y21．若双曲线C:221a0,b0的一条渐近线通过点2,1，则该双曲线C的离心率

ab为（ ） A．10 【答案】D

b2b【解析】双曲线的渐近线过点2,1，代入yx，可得：1，

aac2b25b11即，e，故选D． 22aa2a2B．5 C．13 2D．5 2x2y2π2．倾斜角为的直线通过椭圆221ab0右核心F，与椭圆交于A、B两点，且

ab4AF2FB，则该椭圆的离心率为（ ）

A．2 3B．2 2C．3 3D．3 2【答案】A

2txc2【解析】设直线的参数方程为，代入椭圆方程并化简得

y2t21212224abt2bctb0，

222b422b2c所以t1t22，t1t22，由于AF2FB，即t12t2，代入上述韦达定理， 22ababc22c2化简得8cab，即2，．故选A．

a3a92223．《九章算术》是我国古代内容极为丰硕的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，

还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长别离称“勾”“股”“弦”．设

F1、F2分别是双曲线

x2y21a0,b0，的左、右核心，P是该双曲线右支上的一点，若PF1，PF2别离a2b2是Rt△F1PF2的“勾”“股”，且PF1PF24ab，则双曲线的离心率为（ ）

A．2 【答案】D

B．3 C．2 D．5

【解析】由双曲线的概念得PF1PF22a，所以PF1PF22224a2，

222即PF1PF22PF1PF24a2，由题意得PF1PF2，所以PF1PF2F1F24c2， 又PF1PF24ab，所以4c28ab4a2，解得b2a，从而离心率ec5，故选D． ax2y24．已知双曲线C1:221a0,b0的一个核心F与抛物线C2:y22pxp0的焦点

ab相同，它们交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为（ ） A．2 【答案】C

【解析】设双曲线C1的左核心坐标为F'c,0，由题意可得：Fc,0，cp， 2B．3 C．21 D．2

pp则A,p，B,p，即Ac,2c，Bc,2c，

22又：AF'AF2a，AF'据此有：22c2c2a，即则双曲线的离心率：eF'FAF21ca，

222c22c22c，

2c121．本题选择C选项． a21x2y25．已知点Px0,y0x0a在椭圆C:221ab0上，若点M为椭圆C的右极点，

ab且POPM（O为坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ） 30,A．3 B．0,1

2C．2,1

20,D．2 【答案】C

aa

【解析】由题意POPM，所以点P在以OM为直径的圆上，圆心为,0，半径为，

22所以圆的方程

aa22为：xy，

242b22与椭圆方程联立得：12xaxb20，此方程在区间0,a上有解，

aa由于a为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于与a之间，

2aa1a2222a，结合abc，解得21， 所以2222cb212a按照离心率公式可得2e1．故选C． 2x2y26．已知椭圆221ab0，点A，B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得

abAPB120，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）

A．

2 2B．3 2C．6 33D．

4【答案】C

【解析】设M为椭圆短轴一端点，则由题意得AMBAPB120，即AMO60， 因为tanOMAeaa2a3b，a23a2c2，，所以tan603，2a23c2，e2，

bb36，故选C． 3x2y27．已知双曲线221的左，右核心别离为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且

abPF14PF2，

则此双曲线的离心率e的最大值为（ ） 4A．

35B．

3C．2

7D．

3【答案】B

【解析】由双曲线的概念知PF1PF22a ①；又PF14PF2， ② 82联立①②解得PF1a，PF2a，

3364242aa4c21799在△PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF29e2，

82882aa33要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值， 当cosF1PF21时，解得e55，即e的最大值为，故选B． 33解法二：由双曲线的概念知PF1PF22a ①，又PF14PF2， ②，联立①②解得8225PF1a，PF2a，因为点P在右支所以PF2ca，即aca故ac，即e的

33335最大值为，故选B．

3x2y28．已知椭圆221ab0的左、右核心别离为F1，F2，点P在椭圆上，O为坐标

ab原点， 若OP12F1F2，且PF1PF2a，则该椭圆的离心率为（ ） 23A．

4【答案】D

B．3 21C．

2D．2 2【解析】由椭圆的概念可得，PF1PF22a，

又PF1PF2a2，可得PF1PF2a，即P为椭圆的短轴的端点，

c21．故选D． F1F2c，即有cba2c2，即为a2c，ea22x2y29．若直线y2x与双曲线221ab0有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为

abOPb，且OP（ ） A．1,5 【答案】D

B．1,5 C． 5,D．

5,

x2y2b【解析】双曲线221ab0的渐近线方程为yx，

abacbb由双曲线与直线y2x有交点，则有2，即有e1+145，

aaa则双曲线的离心率的取值范围为

25,，故选D．

10．咱们把核心相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，e1，e2别离是椭圆和双曲线的离心率，若𝑃为它们在第一象限的交点，F1PF260，则双曲线的离心率e2（ ） A．2 【答案】C

B．2

C．3 D．3

【解析】设F1c,0，F2c,0，椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m， 可得PF1PF22a，PF1PF22m，可得PF1am，PF2am， 由余弦定理可得F1F22PF12PF222PF1PF2cos60， 即有4c2amamamama23m2， 由离心率公式可得

134，e1e21，即有e244e2230，解得e23，故选C． 22e1e22211．又到了大家最喜（tao）爱（yan）的圆锥曲线了．已知直线l:kxy2k10与椭圆

x2y222与圆C2:x2y11交于C、D两点．若C1:221ab0交于A、B两点，

ab存在k2,1，使得ACDB，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）

1A．0,

2【答案】C

1B．,1

220,C．2 2,1D． 2【解析】直线l:kxy2k10，即kx2y10， 直线l恒过定点2,1，直线l过圆C2的圆心，

ACDB，AC2C2B，C2的圆心为A、B两点中点， x12y121a2b2设Ax1,y1，Bx2,y2，2， 2x2y21a2b2xxxxyy2y1y2，

上下相减可得：122121ab2x1x2b2y1y2b22k，22k， 化简可得y1y2ax1x2ab2k1b22,1，e0,，故选C． 2a222a2x2y212．已知点P为双曲线221ab0右支上一点，点F1，F2别离为双曲线的左右核

ab1心，点I是△PF1F2的心里（三角形内切圆的圆心），若恒有S△IPF1S△IPF2S△IF1F2成立，则

3双曲线的离心率取值范围是（ ）

A．1,2 【答案】D 【解析】

B．1,2 C．0,3 D．1,3

设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的概念得PF1PF22a，F1F22c， S△PF1111PF1r，S△PF2PF2r，S△PF1F22crcr， 2221113PF1rPF2rcr，故cPF1PF23a， 2232由题意得故ec3，又e1，所以，双曲线的离心率取值范围是1,3，故选D． a二、填空题

x2y213．已知抛物线y2pxp0与双曲线221a0,b0有相同的核心F，点A是

ab2两曲线的一个交点，若直线AF的斜率为3，则双曲线的离心率为______． 【答案】72 3【解析】如图所示，设双曲线的另外一个核心为F1，

由于AF的斜率为3，所以BAF60，且AFAB，所以△ABF是等边三角形， 所以F1BF30，所以BF123c，BF4c， 所以AF116c24c224c2ccos12028，

所以AF127c，由双曲线的概念可知2a27c4c，所以双曲线的离心率为72． 32x2y214．已知双曲线221a0,b0，其左右核心别离为F1，F2，若M是该双曲线右支

ab上一点， 知足

MF1MF23，则离心率e的取值范围是__________．

【答案】1,2

【解析】设M点的横坐标为x，∵二概念，

MF1MF23，M在双曲线右支上xa，按照双曲线的第

a2a2可得3exex，ex2a，

ccxa，exea，2aea，e2，e1，1e2，故答案为1,2．

x2y215．已知椭圆221ab0的左、右核心别离为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于A，

abB的两点，且AF2x轴，若P为椭圆上异于A，B的动点且S△PAB4S△PBF，则该椭圆的离

1心率为_______． 【答案】3 3b2【解析】按照题意，因为AF2x轴且F2c,0，假设A在第一象限，则Ac,，

a过B作BCx轴于C，则易知△AF1F2～△BFC， 1由S△PAB4S△PBF1得AF13BF1，所以AF23BC，F1F23CF1， 5b225c2b2所以Bc,，代入椭圆方程得221，即25c2b29a2，

3a9a9a3又b2a2c2，所以3c2a2，所以椭圆离心率为e故答案为3． 3c3． a3x2y216．在平面直角坐标系xOy中，记椭圆221ab0的左右核心别离为F1，F2，若

ab该椭圆上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．

11【答案】,321,1 2【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个别离在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，

设P在第一象限，PF1PF1，当PF1F1F22c时，PF22aPF12a2c，即2a2a2c，

解得e1， 2又因为e1，所以

1e1， 2当PF2F1F22c时，PF12aPF22a2c， 11即2a2c2c且2cac，解得：e，

32综上

111e1或e．

322三、解答题

x2y217．已知双曲线C:221a0,b0的的离心率为3，则

ab（1）求双曲线C的渐进线方程．

（2）当a1时，已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求m的值． 【答案】（1）y2x；（2）m1． 【解析】（1）由题意，得e2222c3，c23a2， ab2∴bca2a，即22，

ab∴所求双曲线C的渐进线方程yx2x．

ay2（2）由（1）适当a1时，双曲线C的方程为x1．

22设A，B两点的坐标别离为x1,y1，x2,y2，线段AB的中点为Mx0,y0， 2y21x由，得x22mxm220（判别式Δ0）， 2xym0∴x0x1x2m，y0x0m2m， 22∵点Mx0,y0在圆x2y25上，∴m22m5，∴m1．

x2y2218．已知椭圆C:221ab0的左核心为F1,0，离心率e．

2ab（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知直线l交椭圆C于A，B两点．

①若直线l通过椭圆C的左核心F，交y轴于点P，且知足PAAF，PBBF．求证：

为定值；

②若OAOB，求△OAB面积的取值范围．

x232【答案】（1）y21；（2）①观点析，②S△OAB．

222【解析】（1）由题设知，

c2，c1，所以a22，c1，b21， a2x2所以椭圆C的标准方程为y21．

2（2）①由题设知直线l斜率存在，设直线l方程为ykx1，则P0,k．

x2设Ax1,y1，Bx2,y2，直线l代入椭圆y21得12k2x24k2x2k220，

24k22k22所以x1x2，x1x2，由PAAF，PBBF知

12k212k2xx1，2，

1x11x24k24k2422x1x22x1x212k12k4．

4k22k221x1x2x1x2112k212k2②当直线OA，OB别离与坐标轴重合时，易知S△OAB2． 21当直线OA，OB斜率存在且不为0时，设OA:ykx，OB:yx，

k设Ax1,y1，Bx2,y2，直线ykx代入椭圆C取得x22k2x220，

2k22k222222所以x，，同理， yxy12112k212k212k212k22111kS△OABOAOB， 422222k5k212k2k21k22令t1k21，则

S△OABt212112t2t12t15t1222tt2t219114t22，

911932321因为0,1，所以2，故S△OAB，综上S△OAB．

4t242222t