初三数学正多边形和圆

一. 本周教学内容：

正多边形和圆、弧长公式及有关计算

［学习目标］

1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 2. 正多边形和圆的关系定理

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。

3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质： （1）半径（或边心距）的比等于相似比。

（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。

4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。 （1）画正n边形的步骤：

将一个圆n等分，顺次连接各分点。 （2）用量角器等分圆 先用量角器画一个等于

3601的圆心角，这个角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截

nn取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。

5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

6. 圆周长公式：C2R，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值叫做圆周率。

7. n°的圆心角所对的弧的弧长：lnR 180360，等于中心角。 n n表示1°的圆心角的度数，不带单位。 8. 正n边形的每个内角都等于

n2180n，每个外角为

二. 重点、难点： 1. 学习重点：

正多边形和圆关系，弧长公式及应用。

正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。 只有正五边形、正四边形对角线相等。 2. 学习难点：

解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。

例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ） A.

3 3 B.

23 3 C.

2 3 D.

22 3 解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1

F E A G D B C 又∵∠FAG＝60° AF

FG123 sinFAG332 故选B

点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。

例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是（ ） A. 1∶2∶3

B. 1∶2∶3 D. 1∶2∶3

C. 1∶2∶3

解：如图所示，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高

A O B D C 设ODr，则AO＝2r，AD＝3r

∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3 故选A

点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的定理可以使问题得到解决。

1。通过这个2 例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是（ ）

A. S3S4S6 C. S6S3S4

B. S6S4S3 D. S4S6S3

解析：设它们的周长为l，则正三角形的边长是a3正六边形的边长为a6 S311l，正四边形的边长为a4l，341l 61211332a3sin60l2l 2292362S4a4

12l1612113332S66a6sin606l2l2236272

S6S4S3

故选B

点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。

例4. 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证： （1）MEAB； （2）ME2BE·BM

点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。 证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则

1 AB36072

5 ∴∠BEA＝36°

2 EC360144

51144722 EMA180367272EAM

EACMEAEAB （2）BCAB，CABBEA

又∵公共角∠ABM＝∠EBA ∴△ABM∽△EBA

ABBM BE ABAB2BE·BM

例5. 已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。 解：∵正六边形的半径等于边长 ∴正六边形的边长a2cm

正六边形的周长l6a12cm 正六边形的面积S6132263cm2 22 点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。

例6. 已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。 解：∵正方形的边长为2cm ∴正方形的外接圆半径为2cm

∴外接圆的外切正三角形一边上的高为32cm

∴正三角形的边长为

323226cm

sin603213262663cm2 22 ∴正三角形的面积为

点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。

例7. 如图所示，已知⊙O1和⊙O2外切于点P，⊙O1和⊙O2的半径分别为r和3r，AB为

两圆的外公切线，A、B为切点，求AB与两弧PA、PB所围的阴影部分的面积。

解：连结O1A、O2B，过点O1作O1CO2B

在RtO1O2C中，O1O2r3r4r，O2C3rr2r O1C16r24r223r

∴梯形O1ABO2的面积为：

1r3r·23r43r2 2 又∵sinO2O1CO2C2r1 O1O24r2

O2O1C30O260，PO1A120120r212r ∴扇形O1PA的面积为：

360360·(3r)232r 扇形O2PB的面积为：

3602 ∴阴影部分的面积为： 43r2123211rr43r2

326 点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，

最后通过面积的加减得出结论。

例8. 如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加___________。 解：由弧长公式lnR，得： 180 当弧所对的圆心角的度数增加1°，则弧长为

n1R180

n1RnR1180180180180

∴弧长增加

180，故填

180

点拨：本题主要考查弧长公式lnR。 180

例9. 如图，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b，则a与b之间的关系是（ ）

A. ab

B. anb C. ab nD. ab

解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r 由题意，得：aR Ra

∴小圆的半径ra naa nna ∴n个小半圆的总弧长bn·a

n 即ba，故选A。

∴每个小半圆的弧长为· 点拨：本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。

 例10. 如图所示，两个同心圆被两条半径截得的AC的长为6cm，BD的长为10cm，

若AB12cm，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. 192 B. 144 C. 96 解：设∠O＝α，由弧长公式得：

D. 48

6

·OAOA1806180，10·OB180

10180，OB 又ABOBOA

12101806180

60OA61801018018，OB306060 ∴阴影部分的面积为：

2260·30260·1823018 96

3603606 故选C

点拨：本题主要考查弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。

例11. 如图所示，⊙O的半径OA为R，弦AB将圆周分成弧长之比为3∶7的两段弧，求弦AB的长，如果将3∶7改为m∶n，此时弦AB的长度是多少？

点悟：欲求弦长AB，需用弦长公式，需知圆心角的度数，∠AOB可通过两弧长之比3∶7求得，再利用

ADsinDOA求得AD，AB就可求。 R 解：作OD⊥AB于D，连结OB ∵这两段弧之比为3∶7

∴这两段弧所对的圆心角之比也为3∶7 设这两个圆心角的度数为3x，7x，则 3x7x360

⌒ 即AB108，AmB252，AOB108

∴∠DOA＝°，又 ∴AD＝Rsin°

∵AB＝2AD

AB2R·sin

同理可得3∶7改为m∶n时，解得： AB2R·sinADsin Rm(nm) mn 点拨：有关正多边形的计算，都要作出它的半径和边心距为辅助线，从而将问题转化为解直角三角形的问题。

例12. 已知正六边形边长为a，求它的内切圆的面积。

点悟：欲求内切圆的面积，根据圆面积公式SR，需求内切圆的半径OH，可依据正六边形的性质及边长a求得OH2OA2AH2，代入面积公式，即可。

解：如图所示，设正六边形的边长ABa，内切圆的圆心为O，连结OA、OB，作OH⊥AB于H，则∠AOH＝30°

OA2AHABa3aa OHOAAHa222222S内切⊙OOH

232a42 例13. 已知正多边形的周长为12cm，面积为12cm，则内切圆的半径为__________。 解：设正多边形是正n边形，圆半径为r ∵正多边形的周长是12cm ∴正多边形的边长是

12cm n2 又∵正多边形的面积是12cm

11212n···r 2nr2(cm) 故应填2cm。

点拨：要注意内切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念。

（答题时间：30分钟） 一. 判断题。

1. 各边相等的圆外切多边形是正多边形。（ ） 2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形。（ ） 3. 各角相等的圆内接多边形是正多边形。（ ） 4. 各角相等的圆外切多边形是正多边形。（ ） 5. 一个四边形不一定有外接圆或内切圆。（ ） 6. 矩形一定有外接圆，菱形一定有内切圆。（ ） 7. 三角形一定有外接圆和内切圆，且两圆是同心圆。（ ） 8. 依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形。（ ）

二. 填空题。

9. 若正多边形内角和是0°，那么这个多边形是_________边形。

10. 两个圆的半径比为2∶1，大圆的内接正六边形与小圆的外切正六边形的面积比为

__________。

11. 有一修路大队修一段圆弧形弯道，它的半径R是36m，圆弧所对的圆心角为60°，则这

.）段弯道长约________m（精确到0.1m，314。

三. 解答题。

12. 已知半径为R的圆有一个外切正方形和内接正方形，求这两个正方形的边长比和面积比。 13. 如图，△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，点C、D在FG上，且CF＝CA，DG＝DA，过点A、C、D的⊙O分别交AF、AG于点B、F。 求证：五边形ABCDE是正五边形。

A B E O F C D G

14. 如图：三个半径31，33，31的圆两两外切，求由三条切点弧围成的阴影图形的周长。

A D F B E C

[参]

一. 判断题。 1. × 5. √ 二. 填空题。 9. 正五 三. 解答题。

2. × 6. √ 10. 3∶1

3. √ 7. ×

4. √ 8. √

11. 37.7

12. 边长比2∶1，面积比2∶1 13. 易求∠F＝∠G＝36°

∴∠FAC＝∠GAD＝∠CAD＝36°

 从而，BCCDDE

由△AFC≌△AGD得：AC＝AD

ABCAED⌒⌒

⌒⌒⌒⌒⌒ABBCDECDEA ∴ABCDE是正五边形

14. 利用弧长公式，关键是求出三段弧所对圆心角的度数。

 BCACAB312331332 31334311AC 2222 ABBCAC且BC ∴∠B＝90°，∠A＝30°，∠C＝60° ∴阴影部分周长 

303118090311806033

180332

