固镇县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

固镇县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限

2． 若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（ ）

D．第四象限

A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假

3． 已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∪B等于（ ） A．{﹣1，0，1，2，4}

B．{﹣1，0，2，4}

C．{0，2，4} D．{0，1，2，4}

4． 从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（ ） 11A. B. 10532C. D. 1055． 已知集合

，则

A0或C1或D1或3

B0或3

26． 点集{y）||x|﹣1）+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线， （x，（这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ）

A． B． C． D．

7． 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互，则该同学通过测试的概率为（ ） A．0.8 B．0.432 C．0.36 D．0.312

8． 已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．m⊂α，n∥m⇒n∥α

B．m⊂α，n⊥m⇒n⊥α

C．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β D．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β

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精选高中模拟试卷

9． 已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x；若n∈N*，an=f（n），则a2017等于（ ）

A．2017 B．﹣8 C．

D．

10．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围是（ ）

A．0＜ B．0 C．0 D．0

11．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是边AB上的动点，记四面体EFMC的体

V1（ ）1111] V2111A． B． C． D．不是定值，随点M的变化而变化

324积为V1，多面体ADFBCE的体积为V2，则

12．在等差数列A．12

中，已知B．24

，则

C．36

（ ）

D．48

二、填空题

13．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 cm3．

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精选高中模拟试卷

14．若函数f（x），g（x）满足：∀x∈（0，+∞），均有f（x）＞x，g（x）＜x成立，则称“f（x）与g（x）fx）=ax与g=logax 关于y=x分离”．已知函数（（x）（a＞0，且a≠1）关于y=x分离，则a的取值范围是 ．

15．过椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则

椭圆的离心率为 ．

16．经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为 ． 17．设函数

，其中[x]表示不超过x的最大整数．若方程f（x）=ax有三个不同

的实数根，则实数a的取值范围是 ．

18．已知tanβ=，tan（α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．

三、解答题

19．已知椭圆

（Ⅰ）求该椭圆的离心率；

22

（Ⅱ）已知点A的坐标为（0，b），椭圆上存在点P，Q，使得圆x+y=4内切于△APQ，求该椭圆的方程．

，过其右焦点F且垂直于x轴的弦MN的长度为b．

20．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC的面积．

．

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21．已知等差数列{an}满足a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{bn}且b2=a4，b3=a8 （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}前n项的和Sn．

22．已知函数f（x）=2x﹣，且f（2）=． （1）求实数a的值； （2）判断该函数的奇偶性；

（3）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．

23．已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量﹣1的一个特征向量（Ⅰ）求矩阵M；

5（Ⅱ）求M

=并有特征值λ2=﹣1及属于特征值

=， =

．

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24．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知函数fx2lnxmx1mR. （1）当m1时，求fx的单调区间；

51（2）令gxxfx，区间De2,e2，e为自然对数的底数。

（ⅰ）若函数gx在区间D上有两个极值，求实数m的取值范围；

（ⅱ）设函数gx在区间D上的两个极值分别为gx1和gx2， 求证：x1x2e.

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固镇县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限， ∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0， ∴sinθ＜0， ∴θ是第四象限角． 故选：D．

【点评】本题考查了象限角的三角函数符号，属于基础题．

2． 【答案】B 【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真， 若“非p”为真，则p为假， ∴p假q真， 故选：B．

【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．

3． 【答案】A

【解析】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B={0，2，4}， ∴A∪B={﹣1，0，1，2}∪{0，2，4}={﹣1，0，1，2，4}． 故选：A．

【点评】本题考查并集及其运算，是基础的会考题型．

4． 【答案】

【解析】解析：选C.从1、2、3、4、5中任取3个不同的数有下面10个不同结果：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，

3

4，5），能构成一个三角形三边的数为（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5），故概率P＝. 105． 【答案】B 【解析】

，故

或

。

6． 【答案】A

或

，，解得

或

或

，又根据集合元素的互异性

，所以

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22

【解析】解：点集{（x，y）|（|x|﹣1）+y=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x，y轴对称，如图所示．

由图可得面积S=故选：A．

=+=+2．

【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．

7． 【答案】A

【解析】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6）， 该同学通过测试的概率为故选：A．

8． 【答案】D

【解析】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误； 在B选项中，可能有n⊂α，故B错误； 在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；

在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确． 故选：D．

【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

9． 【答案】D

【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即f（x+4）=f（x）， 即函数的周期是4．

∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1）， ∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x， ∴f（1）=f（﹣1）=， ∴a2017=f（1）=， 故选：D．

=0.8．

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【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．

10．【答案】D

【解析】解：∵A1B∥D1C，

∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角． ∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为

，

∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线， ∴0＜θ≤

．

故选：D．

11．【答案】B 【

解

析

】

考

点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 12．【答案】B 【解析】，所以

答案：B

，故选B

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二、填空题

13．【答案】 6

【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO=所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V=故答案为：6．

14．【答案】 （

，+∞） ．

=6．

=

，

【解析】解：由题意，a＞1．

x

故问题等价于a＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立． xx

构造函数f（x）=a﹣x，则f′（x）=alna﹣1，

由f′（x）=0，得x=loga（logae），

x＞loga（logae）时，f′（x）＞0，f（x）递增； 0＜x＜loga（logae），f′（x）＜0，f（x）递减． 则x=loga（logae）时，函数f（x）取到最小值， 故有故答案为：（

﹣loga（logae）＞0，解得a＞，+∞）．

．

【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．

15．【答案】

【解析】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，∵∠F1PF2=60°， ∴

=

， b2=

22

（a﹣c）．

．

）或（﹣c，﹣），

即2ac=∴∴e=

e2+2e﹣或e=﹣

=0， （舍去）．

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故答案为：．

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．

16．【答案】 x=﹣3 ．

【解析】解：经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为：x=﹣3． 故答案为：x=﹣3．

17．【答案】 （﹣1，﹣]∪[，） ．

【解析】解：当﹣2≤x＜﹣1时，[x]=﹣2，此时f（x）=x﹣[x]=x+2． 当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时f（x）=x﹣[x]=x+1．

当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1+1=x． 当1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1．

当2≤x＜3时，1≤x﹣1＜2，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣1=x﹣2． 当3≤x＜4时，2≤x﹣1＜3，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣2=x﹣3． 设g（x）=ax，则g（x）过定点（0，0），

坐标系中作出函数y=f（x）和g（x）的图象如图： 2个不同的交点， 则OA的斜率k=

当g（x）经过点A（﹣2，1），D（4，1）时有3个不同的交点，当经过点B（﹣1，1），C（3，1）时，有

，OB的斜率k=﹣1，OC的斜率k=，OD的斜率k=，

或

，

故满足条件的斜率k的取值范围是故答案为：（﹣1，﹣]∪[，）

【点评】本题主要考查函数交点个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据，利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想．

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18．【答案】

．

【解析】解：∵tanβ=，α，β均为锐角， ∴tan（α﹣β）=∴α=

．

．

=

=，解得：tanα=1，

故答案为：

【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设F（c，0），M（c，y1），N（c，y2）， 则

，得y1=﹣

，y2=

，

MN=|y1﹣y2|==b，得a=2b，

=

．

椭圆的离心率为： =

（Ⅱ）由条件，直线AP、AQ斜率必然存在，

22

设过点A且与圆x+y=4相切的直线方程为y=kx+b，转化为一般方程kx﹣y+b=0， 22

由于圆x+y=4内切于△APQ，所以r=2=

，得k=±（b＞2），

即切线AP、AQ关于y轴对称，则直线PQ平行于x轴， ∴yQ=yP=﹣2，

不妨设点Q在y轴左侧，可得xQ=﹣xP=﹣2则

∴椭圆方程为：

=

．

，

，解得b=3，则a=6，

【点评】本题考查了椭圆的离心率公式，点到直线方程的距离公式，内切圆的性质．

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20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由2bsinA=又∵B为锐角， ∴B=

，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

a，以及正弦定理

，得sinB=

，

222

（Ⅱ）由余弦定理b=a+c﹣2accosB， 22

∴a+c﹣ac=36，

∵a+c=8， ∴ac=∴S△ABC=

21．【答案】

【解析】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则由解得：

，

，可得

，…

，

=

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴由等差数列通项公式可知：an=a1+（n﹣1）d=n， ∴数列{an}的通项公式an=n， ∴a4=4，a8=8

设等比数列{bn}的公比为q，则解得∴（2）∵∴==

， ，

．

，

；

…

，

，

∴数列{cn}前n项的和Sn=

22．【答案】

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【解析】解：（1）∵f（x）=2x﹣，且f（2）=， ∴4﹣=， ∴a=﹣1；（2分） （2）由（1）得函数∵∴函数

=

为奇函数．…（6分）

，定义域为{x|x≠0}关于原点对称…（3分）

，

（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，…（7分） 任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，则

=

…（10分）

∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x2﹣x1＞0，2x1x2﹣1＞0，x1x2＞0 ∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）， ∴f（x）在（1，+∞）上是增函数 …（12分）

【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设M=则又

=4

==（﹣1）

，∴

=

① ，∴

；

②

由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=（Ⅱ）易知

5∴M

=0•+（﹣1）=

．

，

=（﹣1）6

【点评】本题考查矩阵的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．

24．【答案】（1）增区间0,2，减区间2,，（2）详见解析

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【解析】试题分析：（1）求导写出单调区间；（2）（ⅰ）函数gx在区间D上有两个极值，等价于

512lnx122e,e在，通过求导分析 gx2lnx2mx1上有两个不同的零点，令gx0，得2mx312lnx112lnx212lnx1得m的范围为5,1；（ⅱ）2m，得2m，由分式恒等变换得

22x1x2xee

x11x1x2x1x2x2lnx112lnx212lnx112lnx21lnln1，要证明 ，得lnx1lnx21x1x2x2x11x2x1x2x1x2x2x11xxln12， x1x2e，只需证lnx1lnx212，即证2x1x21x2令e32t1x1t1，ptlnt，通过求导得到pt0恒成立，得证。 x2t1试题解析：

（2）（ⅰ）因为gx2xlnxmxx，

25122所以gx2lnx22mx12lnx2mx1，xe,e，



51若函数gx在区间D上有两个极值，等价于gx2lnx2mx1在e2,e2上有两个不同的零点，

2lnx1令gx0，得2m，

x2lnx112lnx设tx，令tx0,xe ,txxx2第 14 页，共 15 页

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x xe 121122xe,e xe 0 125122xe,e xe 52tx tx 大于0 小于0 减 0 2增 6e52e 

12 31

所以m的范围为5,1

22ee2m（ⅱ）由（ⅰ）知，若函数gx在区间D上有两个极值分别为gx1和gx2，不妨设x1x2，则

2lnx112lnx21， x1x22lnx112lnx212lnx112lnx21所以

x1x2x1x2x11xx2xxxln12ln1， 即lnx1lnx211x1x2x2x11x2x2x11x2xln12， 要证x1x2e，只需证lnx1lnx212，即证x1x21x2xt1t13令e1t1，即证， lnt2，即证lnt2x2t1t1t1014令ptlnt，因为pt， 22tt1t1tt12t1所以pt在e3,1上单调增，p10，所以pt0，

2即lnt

2t1t10,所以lnt2t1，得证。 t1第 15 页，共 15 页