2011年浙江省杭州市中考数学模拟试卷(01)

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1、﹣7的相反数的倒数是（ ） A、7 B、﹣7

C、

D、﹣

2、（2007•义乌市）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（ ） A、圆柱 B、正方体 C、三棱柱 D、圆锥 3、（2005•龙岩）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为（ ）

A、120° B、100° C、140° D、90°

4、（2007•济南）下列各式中计算结果等于2x6

的是（ ）

A、x3+x3 B、（2x3）2

C、2x3•x2 D、2x7

÷x

5、某百货商场的女装专柜对上周女装的销售情况进行了统计，销售情况如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量（件） 100 180 220 80 550 百货商场经理根据上周销售情况的统计表，决定本周多

进一些红色的女装，可用来解释这一现象的统计知识是（ ） A、方差 B、平均数 C、众数 D、中位数

6、（2010•青岛）由四舍五入法得到的近似数8.8×103

，下列说法中正确的是（ ） A、精确到十分位，有2个有效数字 B、精确到个位，有2个有效数字 C、精确到百位，有2个有效数字 D、精确到千位，有4个有效数字 7、（2009•呼和浩特）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A、7 B、11 C、7或11 D、7或10 8、（2007•泰安）如图，8×8方格纸的两条对称轴EF，MN相交于点O，对图a分别作下列变换：①先以直线MN为对称轴作轴对称图形，再向上平移4格；

②先以点O为中心旋转180°，再向右平移1格；

③先以直线EF为对称轴作轴对称图形，再向右平移4格， 其中能将图a变换成图b的是（ ）

A、①② B、①③

C、②③ D、③ 9、（2008•新疆）如图，圆内接四边形ABCD是由四个全等的等腰梯形组成，AD是⊙O的直径，则∠BEC的度数为（ ）

A、15° B、30° C、45° D、60° 10、（2004•黑龙江）如图，在▱ABCD中，如果点M为CD中点，AM与BD相交于点N，那么S△DMN：S□ABCD为（ ）

A、1：12 B、1：9 C、1：8 D、1：6

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11、数轴上离开﹣2的点距离为3的数是 _________ ．

12、若二次函数y=﹣x2

+2x+k的部分图象如图所示，则

关于x的一元二次方程﹣x2

+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2= _________ ．

13、有五张不透明的卡片除正面的数不同外，其余都相

同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则抽到写着无理数的卡片的概率为 _________ ．

14、（2008•鄂州）已知在⊙O中，半径r=5，AB、CD是两条平行弦，且AB=8，CD=6，则弦AC的长为 _________ ．

15、（2009•黔东南州）二次函数y=x2

﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是 _________ ． 16、已知在直角ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，则△ABC的外接圆半径长为 _________ cm，△ABC的内切圆半径长为 _________ cm，△ABC的外心与内心之间的距离为 _________ cm． 三、解答题（共8小题，满分66分） 17、先化简

，再从不等式组

的解中选一个你喜欢的数

代入，求原分式的值．

18、如图是一个以线段AB为直径的半圆，请用圆规和直尺作出一个30°的角，使这个角的顶点在线段AB或

上．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

2

19、已知圆锥的侧面积为16πcm．

（1）求圆锥的母线长L（cm）关于底面半径r（cm）之间的函数关系式；

（2）写出自变量r的取值范围；

（3）当圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形时，求圆锥的高．

20、如图，A，B，C，D为圆上四点，AB=AD，AC交BD于E，AE=2，EC=4． （1）求证：△ADE∽△ACD； （2）求AB的长．

21、2010年4月14日上午7时49分，青海省藏族自治州玉树县发生里氏7.1级地震．某省地震救援队立即赶赴震区进行救援．救援队利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测出点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数据：

≈1.41，

≈1.73）

22、某商店的客房有三人普通间，双人普通间，收费数据如下表： 普通（元/间/天） 三人普通间 150 双人普通间 140 一个50人的旅游团到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房，若每间客房正好住满，且三人普通间住了x间，双人普通间住了y间． （1）用含x的代数式表示y．

（2）若该旅游团一天的住宿费要低于3000元，且旅客要求住进的三人普通间不多于双人普通间，那么该旅游团住进三人普通间和双人普通间各多少间？ 23、（2009•深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x﹣8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．

（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．

24、（2007•义乌市）如图，抛物线y=x2

﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

2

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

3

答案与评分标准

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1、﹣7的相反数的倒数是（ ） A、7 B、﹣7

C、

D、﹣

考点：倒数；相反数。

分析：根据相反数的定义，先求出﹣7的相反数为7；再根据倒数的定义，求出7的倒数． 解答：解：∵﹣7的相反数为7； 又7×=1，即7的倒数是．

故选C．

点评：相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，0的相反数是0；

倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2、（2007•义乌市）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（ ） A、圆柱 B、正方体 C、三棱柱 D、圆锥 考点：简单几何体的三视图。

分析：根据几何体的三种视图，进行选择即可．

解答：解：A、圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆形，不符合题意；

B、正方体的三种视图都是正方形，符合题意；

C、三棱柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是三角形，不符合题意；

D、圆锥主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和中间一点，不符合题意． 故选B．

点评：本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 3、（2005•龙岩）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为（ ）

A、120° B、100° C、140° D、90° 考点：平行线的性质。 专题：应用题。

分析：先作辅助线CF∥AB，再根据平行线的性质解答即可． 解答：

解：过点C作CF∥AB，

∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠B+∠1=180°，∠D+∠2=180°； 故∠B+∠1+∠D+∠2=360°，即∠B+∠BCD+∠D=360°， 故∠BCD=360°﹣140°﹣120°=100°． 故选B．

点评：注意此类题要作出辅助线，运用平行线的性质探

求三个角的关系．

4、（2007•济南）下列各式中计算结果等于2x6

的是（ ）

A、x3

+x3

B、（2x3

）2

C、2x3•x2 D、2x7

÷x 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。

分析：根据合并同类项，只把系数相加减，字母和字母的指数不变；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式乘单项式，把系数和相同字母分别相乘，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数，作为积的一个因式；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答：解：A、应为x3

+x3

=2x3

，故选项错误；

B、应为（2x3）2=4x6

，故选项错误；

C、应为2x3•x2=2x5

，故选项错误；

D、2x7÷x=2x6

，正确． 故选D．

点评：本题主要考查了合并同类项的法则，积的乘方，以及单项式乘以单项式，单项式除以单项式的法则，正确对法则进行记忆与理解是解决这类问题的关键． 5、某百货商场的女装专柜对上周女装的销售情况进行了统计，销售情况如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量（件） 100 180 220 80 550 百货商场经理根据上周销售情况的统计表，决定本周多进一些红色的女装，可用来解释这一现象的统计知识是（ ） A、方差 B、平均数 C、众数 D、中位数 考点：统计量的选择。 专题：图表型。

分析：百货商场经理最值得关注的应该是爱买那种颜色女装的人数最多，即众数．

解答：解：由于销售最多的颜色为红色，且远远多于其他颜色，所以选择多进红色女装主要根据众数．

4

故选C． 点评：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

6、（2010•青岛）由四舍五入法得到的近似数8.8×103

，下列说法中正确的是（ ） A、精确到十分位，有2个有效数字 B、精确到个位，有2个有效数字 C、精确到百位，有2个有效数字 D、精确到千位，有4个有效数字

考点：科学记数法与有效数字。

分析：103

代表1千，那是乘号前面个位的单位，那么小数点后一位是百．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数a×10n的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．

解答：解：个位代表千，那么十分位就代表百，

乘号前面从左面第一个不是0的数字有2个数字，那么有效数字就是2个．故选C．

点评：较大的数用a×10n

表示，看精确到哪一位，需看个位代表什么；有效数字需看乘号前面的有效数字． 7、（2009•呼和浩特）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A、7 B、11 C、7或11 D、7或10

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系。 专题：分类讨论。

分析：题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．

解答：解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意， 得

或

解得x=11，y=8或

x=7，y=10，

经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为7或11． 故选C．

点评：本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽

略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况，错选A或B；故解决本题最好先画出图形再作答． 8、（2007•泰安）如图，8×8方格纸的两条对称轴EF，MN相交于点O，对图a分别作下列变换：①先以直线MN为对称轴作轴对称图形，再向上平移4格； ②先以点O为中心旋转180°，再向右平移1格； ③先以直线EF为对称轴作轴对称图形，再向右平移4格， 其中能将图a变换成图b的是（ ）

A、①② B、①③ C、②③ D、③

考点：旋转的性质；轴对称的性质；平移的性质。 专题：网格型。

分析：根据平移和轴对称的性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案． 解答：解：A、①②平移后的图形与b形状不同，故错误； B、①③平移后的图形与b形状不同，故错误； C、②③其中②平移后与b形状不同，③可以得到b图，但二者放在一起，故错误； D、③先以直线EF为对称轴作轴对称图形，再向右平移4格才能够将图a变换成图b，故正确． 故选D．

点评：本题考查图形的平移变换和旋转性质即轴对称的性质．注意这些变换都不改变图形的形状和大小．注意结合图形解题的思想． 9、（2008•新疆）如图，圆内接四边形ABCD是由四个全等的等腰梯形组成，AD是⊙O的直径，则∠BEC的度数为（ ）

A、15° B、30° C、45° D、60°

考点：圆周角定理；等腰梯形的性质；圆心角、弧、弦的关系。

分析：根据等腰梯形的性质可求得较小的底角的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍从而求得∠BEC的度数．

5

解答：解：

设等腰梯形的较小的底

角为x，则3x=180°，∴x=60°

依题意，延长BE，CF必交于点O（△ABO，△CDO为等边三角形）， ∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠BEC=∠BOC=30° 故选B．

点评：此题考查了学生对等腰梯形的性质，圆周角定理等知识点的理解及运用． 10、（2004•黑龙江）如图，在▱ABCD中，如果点M为CD中点，AM与BD相交于点N，那么S△DMN：S□ABCD为（ ）

A、1：12 B、1：9 C、1：8 D、1：6

考点：相似三角形的判定与性质。

分析：先根据点M为CD中点得出2DM=DC，再根据平行四边形的性质求出△DMN∽△BAN，根据相似三角形的性质即可解答． 解答：解：∵点M为CD中点， ∴DM：DC=1：2， ∵四边形ABCD是□ABCD， ∴DC∥AB，△DMN∽△BAN，DC=AB， ∴DM：AB=1：2，则△DMN和△BAN的高之比为1：2，△DMN与□ABCD的高之比为1：3， ∴S△DMN：S□ABCD=××=

．

故选A．

点评：本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质：

（1）相似三角形周长的比等于相似比；

（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；

（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11、数轴上离开﹣2的点距离为3的数是 1或﹣5 ． 考点：数轴。

分析：可以在数轴上表示出点﹣2，根据数轴即可求解． 解答：解：根据数轴可以得到：数轴上离开﹣2的点距

离为3的数是：1或﹣5． 故答案是：1或﹣5．

点评：由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就

是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．

12、若二次函数y=﹣x2

+2x+k的部分图象如图所示，则

关于x的一元二次方程﹣x2

+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2= ﹣1 ．

考点：抛物线与x轴的交点。 专题：计算题。

分析：根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x2的值．

解答：解：由图可知，对称轴为x=1， 根据二次函数的图象的对称性，

=1，

解得，x2=﹣1． 故答案为：﹣1．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，要注意数形结合，熟悉二次函数的图象与性质．

13、有五张不透明的卡片除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，

则抽到写着无理数的卡片的概率为

．

考点：概率公式；无理数。

分析：根据题意可得：5张小卡片上分别写有实数

，

0.101001，，，其中无理数为、、有两个，

6

则从中随机抽取一张卡片，抽到无理数的概率是．

解答：解：P（无理数）=．

点评：本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m

种结果，那么事件A的概率P（A）=．

14、（2008•鄂州）已知在⊙O中，半径r=5，AB、CD是两条平行弦，且AB=8，CD=6，则弦AC的长为

或

5 ．

考点：垂径定理。

分析：先求出两弦心距，在分三种情况利用勾股定理求解． 解答：

解：利用垂径定理和勾股定理可知：OE=3，OF=4， ①如图一，∵4﹣3=1，（8﹣6）÷2=1， ∴AC=

=

；

②如图二，∵4+3=7，（8﹣6）÷2=1， ∴AC=

=5

．

③如下图，连接AO，OC，由r=5，AB=8，CD=6 可得OE=4，OF=3，EF=7， ∵AB∥CD，∴△EGC∽△AGF ∴=

=，

∴=，

∴OG=1， ∴EG=4﹣1=3，OF=3+1=4， ∴CG=

=3

，

AG==4，

AC=AG+CG=3+4=7

因此，弦AC的长为

或5

或7

．

点评：像这类题画图是关键，图形可以直观方便的读懂题意，而且在本题在要分情况而论，所以学生平时的思维要严密．

15、（2009•黔东南州）二次函数y=x2

﹣2x﹣3的图象关

于原点O（0，0）对称的图象的解析式是 y=﹣x2

﹣2x+3 ．

考点：二次函数图象与几何变换。 分析：利用抛物线的性质．

解答：解：可先从抛物线y=x2

﹣2x﹣3上找三个点（0，﹣3），（1，﹣4），（﹣1，0）．它们关于原点对称的点是（0，3），（﹣1，4），（1，0）．可设新函数的解析式为

y=ax2

+bx+c，则c=﹣3，a﹣b+c=4，a+b+c=0．解得a=﹣1，

b=﹣2，c=﹣3．故所求解析式为：y=﹣x2﹣2x+3y=﹣x2

﹣2x+3．

点评：解决本题的关键是得到所求抛物线上的三个点，这三个点是原抛物线上的关于原点对称的点． 16、已知在直角ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，则△ABC的外接圆半径长为 5 cm，△ABC的内切圆半径长为 2 cm，△ABC的外心与内心之间的距离为 cm．

考点：三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心。分析：首先运用勾股定理求出斜边AB=10cm，因为直角三角形的外心是斜边的中点，则外接圆的半径是斜边的一半，即为5cm．直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为r=

（a，b为两直角边，c为斜边）可

求的r．再运用勾股定理求外心与内心之间的距离即可．解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，

7

∴AB==10cm． ∴△ABC的外心与内心之间的距离为cm．

∴△ABC的外接圆半径长R===5cm．

故答案为：cm．

故答案为：5cm．

（2）∵AC=8cm，BC=6cm，有（1）知AB=10cm， 点评：本题考查了三角形的外心和内心的性质．直角三

角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径是斜边的一半；直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为∴△ABC

的内切圆半径长

r=

=

=2cm．

故答案为：2cm．

（3）连接ID，IE，IF， ∵⊙I是△ABC的内切圆， ∴ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB， ∴∠CDI=∠CEI=∠C=90°， 又∵DI=EI， ∴四边形CDIE是正方形． ∴CD=CE=DI=IE，

有（2）知DI=IE=IF2cm， ∴CD=2cm． ∵BC=6cm， ∴BD=4cm． ∵⊙I是△ABC的内切圆， ∴BD=BF=4cm． ∵BO=5cm， ∴OF=1cm． 在Rt△IFO中，IO=

=

cm． ，

r=

（a，b为两直角边，c为斜边）．

三、解答题（共8小题，满分66分） 17、先化简

，再从不等式组

的解中选一个你喜欢的数

代入，求原分式的值．

考点：分式的化简求值；解一元一次不等式组。 专题：开放型。

分析：将分式先化简，再解不等式，在解集的范围内取值，注意x≠±1，x≠0． 解答：解：原式=

•

﹣

=﹣

=，

解不等式组，得

，

解得﹣3＜x≤2， 当x=2时，原式=

=﹣．

点评：本题考查了分式的化简求值．分式化简时，注意

运算顺序，除法化为乘法，先约分，再通分，给分式取值时，注意使分母不为0．

18、如图是一个以线段AB为直径的半圆，请用圆规和直尺作出一个30°的角，使这个角的顶点在线段AB或

上．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

8

考点：作图—应用与设计作图。

分析：利用直径所对的圆周角是直角，转化为直角三角形中当一条直角边是斜边的一半时，这条直角边所对的角是30°来解决．

先作出AB的垂直平分线与AB的交点O就是圆心，再以B（或A）为圆心，以OB（或OA）为半径画弧，与半圆的交点为C，连接AC，∠CAB就是所求． 解答：解：如图

点评：此题主要考查直角三角形中一些特殊的边角关系，解题中注意活用直径所对圆周角．

19、已知圆锥的侧面积为16πcm2

．

（1）求圆锥的母线长L（cm）关于底面半径r（cm）之间的函数关系式；

（2）写出自变量r的取值范围；

（3）当圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形时，求圆锥的高．

考点：圆锥的计算；反比例函数的应用。 专题：计算题。 分析：（1）根据圆锥的底面周长等于圆锥侧面展开扇形的弧长，用圆锥的底面半径和母线长表示出其侧面积就能得到；

（2）根据底面半径小于其母线长且大于零确定底面半径的取值范围；

（3）根据圆锥的侧面积和其圆心角的度数求出其母线长，然后利用勾股定理求圆锥的高． 解答：解：（1）∵S=πrL=16π， ∴L=

；

（2）∵L=＞r＞0，

∴0＜r＜4；

（3）∵θ=90°=×3600， ∴L=4r，

又L=，

∴r=2， ∴L=8， ∴h=2

． 点评：本题考查了圆锥的侧面积与圆锥的底面积之间的相互转化，二者通过圆锥的母线、圆锥的底面周长与圆锥的侧面展开扇形的弧长建立关系．

20、如图，A，B，C，D为圆上四点，AB=AD，AC交BD于E，AE=2，EC=4． （1）求证：△ADE∽△ACD； （2）求AB的长．

考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质。 专题：几何综合题。

分析：（1）由于AB=AD，可得出

，由圆周

角定理知∠C=∠ADE，而△ADE、△ACD中又有一公共角，由此可判定两三角形相似； （2）根据（1）的相似三角形得出的对应边成比例线段，可求得AD的长，已知AB=AD，由此得解． 解答：（1）证明：∵AB=AD， ∴

；

∴∠C=∠ADE； 又∵∠EAD=∠DAC， ∴△ADE∽△ACD；

（2）解：由（1）的相似三角形可得：

，即AD2

=AE•AC；

∵AE=2，EC=4，∴AC=AE+EC=6；

9

∴AD2

=AE•AC=12，即AD=2； ∴AB=AD=2

．

点评：此题主要考查了圆周角定理及相似三角形的判定和性质． 21、2010年4月14日上午7时49分，青海省藏族自治州玉树县发生里氏7.1级地震．某省地震救援队立即赶赴震区进行救援．救援队利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测出点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数据：

≈1.41，

≈1.73）

考点：解直角三角形的应用。

分析：过C作AB的垂线CD，分别用CD表示出AD、BD的值，然后根据AB的长度，列方程求得CD的长，即生命所在点C的深度．

解答：解：如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D．（1分） ∵探测线与地面的夹角为30°和60° ∴∠CAD=30°，∠CBD=60°（2分） 在Rt△BDC中，

∴

（3分）

在Rt△ADC中，

∴

（4分）

∵AB=AD﹣BD=3 ∴

（5分）

∴．（6分）

答：生命所在点C的深度大约为2.6米．（7分）

点评：本题通过作合理的的延长线，形成直角三角形，

利用三角函数求得未知量．

22、某商店的客房有三人普通间，双人普通间，收费数据如下表： 普通（元/间/天） 三人普通间 150 双人普通间 140 一个50人的旅游团到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房，若每间客房正好住满，且三人普通间住了x间，双人普通间住了y间． （1）用含x的代数式表示y．

（2）若该旅游团一天的住宿费要低于3000元，且旅客要求住进的三人普通间不多于双人普通间，那么该旅游团住进三人普通间和双人普通间各多少间？ 考点：一元一次不等式的应用。 专题：应用题。 分析：（1）关键描述语：若每间客房正好住满，且三人普通间住了x间，双人普通间住了y间，由此根据总人数可写出代数式．

（2）根据题意列出不等式，求出解即可． 解答：解：（1）依题意得3x+2y=50， ∴y=

． （

2

）

根

据

题

意

列不

等

式

组

，

把y=代入，得

150x+140×＜3000①，

x≤②，

解这个不等式组＜x≤10，

10

∴x取9或10． 又∵x=9时，y=

=

不为整数（舍去）；

当x=10时，y==10．

∴三人普通间有10间，双人普通间有10间．

点评：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．注意本题的不等关系为：①一天的住宿费要低于3000元；②三人普通间不多于双人普通间． 23、（2009•深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x﹣8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．

（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．

考点：切线的判定；一次函数图象上点的坐标特征；等

边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。 专题：压轴题。 分析：（1）通过一次函数可求出A、B两点的坐标及线段的长，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值，再与圆的半径相比较，即可得出⊙P与x轴的位置关系．

（2）根据正三角形的性质，分两种情况讨论， ①当圆心P在线段OB上时，②当圆心P在线段OB的延长线上时，从而求得k的值． 解答：解：（1）⊙P与x轴相切，（1分） ∵直线y=﹣2x﹣8与x轴交于A（﹣4，0），与y轴交于B（0，﹣8）， ∴OA=4，OB=8． 由题意，OP=﹣k， ∴PB=PA=8+k．

∵在Rt△AOP中，k2+42=（8+k）2

∴k=﹣3，（2分） ∴OP等于⊙P的半径． ∴⊙P与x轴相切．（1分）

（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连接PC，PD， 当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E， ∵△PCD为正三角形， ∴DE=CD=，PD=3．

∴PE=．

∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE， ∴△AOB∽△PEB． ∴，即

．（2

分）

∴PO=BO﹣BP=8﹣

．

∴P（0，﹣8）．

∴k=﹣8．（2分）

当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P（0，﹣﹣8）．

∴k=﹣﹣8．（2分）

∴当k=﹣8或k=﹣﹣8时，以⊙P与直线l的两

个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．

点评：本题考查了一次函数图象，圆的切线的判定，相

似三角形的判定及性质，等边三角形等内容，范围较广，题目较复杂．

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24、（2007•义乌市）如图，抛物线y=x2

﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。

专题：压轴题。 分析：（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；

（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp﹣yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； （3）存在四个这样的点．

①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；

②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1±

，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，

因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G点代入后可

得出直线的解析式为y=﹣x+7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+

，0）；

④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣

，0）；

综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．

解答：解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3 ∴A（﹣1，0）B（3，0）

将C点的横坐标x=2代入y=x2

﹣2x﹣3得y=﹣3 ∴C（2，﹣3） ∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1；

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（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2） 则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1）

E（（x，x2

﹣2x﹣3）

∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2

﹣2x﹣3）= ﹣x2

+x+2 ∴当时，PE的最大值=；

（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3， 0），F3（4+

，0），F4（4﹣

，0）．

点评：本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、 平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综 合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

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