在教学中注重培养学生数学抽象核心素养

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在教学中注重培养学生数学抽象核心素养

筅陕西省宁强县天津高级中学刘金平数学抽象是高中数学的六大核心素养之一，是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.抽象函数问题对于高中生来讲，难度比较大，不易理解，主要特点是抽象函数的解析式不确定.试题常将函数、方程、不等式和数列等知识结合在一起，考查学生对函数的主要性质（如单调性、周期性、奇偶性和对称性）的理解能力、逻辑推理能力和抽象思维能力，养成从特殊到一般，从具体到抽象的解题思维习惯.一尧运用函数性质解决问题袁培养学生数学抽象概括能力例1设（fx）是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意的x1，x2沂0，1（fx2），且（f1蓸）2，都有（fx1+x2）=f（x1）（1）求f1=a跃0.蓘蓡及f（2）证明：2（f蔀x）是蓸1周期函4蔀的值；数；（3）记an=f2n+分析院（1）这蓸是根据21n蔀，求an.题干条件求特殊值的问题，需要把1拆成1（2）要2+1，这样就可以直接利用条件进行求解；利用图2像的对称性找到对应关系并结合条件就能证明；（3）利用题干条件和f11结果，再由（fx）的周期性就可蓸2蔀的值可以推导出f的以求得数列an的通项公2n式.解析院（1）因为对于任意的x1，x2x沂0，1，都有（f2）=f（x1）·（fx2）成蓘2蓡蓸蔀x1+所以（fx）=fx2+x2=fx2·fx2逸0，x沂［0，1］.所以（f1）=f蓸立，11蔀蓸1蔀蓸1蔀12所以f因为（f蓸1蓸2+121蔀=f蓸21蔀·f蓸21蔀=蓘f蓸2蔀 蓡.112）=a蔀=f跃0蓸，4+4蔀=f蓸4蔀·f蓸4蔀=蓘f蓸4蔀 蓡2.所以f（2）证明蓸12：由蔀=a21，f题意可蓸14知蔀=a41.，y=f（x）的图像关于直线x=1对称，故可得（fx）=f（2-x），x沂R.又由（fx）是偶函数知（f-x）=f（x），x沂R，所以（f-x）=f（2-x），x沂R.将上式中的-x用x替换，得到（fx）=f（x+2），x沂R，则由周期函数的定义可知（fx）是R上的周期函数，且2是它的一个正周期.（3）由（1）知（fx）逸01，x沂［01，1］，所以f（n-1）·1f（蓸n-1）·1蓸12蔀=f蓸n·2n蔀=f蓸2n+2n蔀=f蓸21nn2n蔀·（1）知f蓸由（蓸1蔀=…=f12蓸21n蔀·f蓸21nn蔀…f12蓸21n蔀=蓘f蓸1蔀 21n蓡，由22蔀）蔀=a，从而蓘f知蓸（fx蔀）是以2蓸为21n周期蔀 蓡=a，所以f的周期函蓸数，212nn蔀=a，因此，an=f2n+1=f1=a21n.评2n注院该2题n主要考查学生对函数的概念尧图像袁以及奇偶性尧周期性和对称性等重要性质的理解能力袁以及递推数列等基础知识的运用能力曰考查运算能力尧数学抽象能力和逻辑推理能力.关键是要紧紧抓住题干条件f渊x1+x2冤=f渊x1冤窑f渊x2冤进行适当变形寻找解决问题的突破口袁巧妙地将抽象问题具体化.在解题过程中要让学生体会和感受到解决抽象函数问题的技巧和方法袁从而达到落实数学核心素养的目的.二尧借助数学思想方法解决问题袁培养学生数学抽象核心素养例2已知函数（fx）对于任意的x，y沂R都有（fx+y）=（fx）+f（y），且当x跃0时，有（fx）约0.（1）求（f0）的值；（2）判断（fx）的奇偶性与单调性，并证明你的结论；（3）设不等式（f（fxx-2+11））约2k对于一切x沂［-1，1）恒成立，求整数k的最小值.分析院（1）由（fx+y）=f（x）+f（y）这个条件求特殊值，只高中83

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2019年7月需充分利用自变量取值的任意性就可以完成；（2）结合题目条件，利用函数的奇偶性和单调性的定义巧妙地对（fx+y）=f（x）+f（y）进行变形即可；（fx2+1）化为含参（3）对不等式约2k进行等价转化，（fx-1）不等式的恒成立问题进行处理.解析院（1）由对于任意的x，y沂R都有（fx+y）=f（x）+不妨令x=y=0，（fy）成立，得（f0+0）=f（0）+f（0），所以（f0）=0.由（1）可令y=-x，（2）根据函数奇偶性的定义，知，得（fx-x）=f（x）+f（-x），而（即（f0）=f（x）+f（-x），f0）=0，所以（f-x）=-f（x）.故（fx）为奇函数.任取x1，由函数单调性的定义，x2沂（-肄，+肄），不妨而（fx1-x2）=f（x1）+f（-x2），所以（fx1）+f（-x2）约0，2k跃0，对于x沂［-1，1）恒成立.运用分离参数法可变形为x2+1k跃在x沂［-1，1）上恒成立，2x-2构造函数h（x）=x2+1，则问题转化为求h（x）在x沂2x-2［-1，1）上的最大值，h（x）=而k沂Z，所以kmin=0.评注院前两个问题采用野赋值法冶就可以轻松解决袁由定义域的一般性给变量赋特殊值即可袁第三个问题则利用函数的单调性将抽象函数转化为求具体函数的最值问题袁运用转化与化归的数学思想使问题得以解决袁这是解决抽象函数问题的常用方法袁在教学过程中要善于引导学生去感受尧体会这种解题思路袁不断积累经验袁养成自觉运用数学抽象思维解决问题的良好习惯.由于学生对高中数在高中数学课程的学习过程中，还未形成系统的数学知识体学知识的认知能力有限，系，从一个数学情境中抽象概括出一个数学模型的能力比较欠缺，这两个例子所给出的函数关系分别可以抽象这是学生为指数型函数（fx）=ax和一次函数（fx）=kx模型，最熟悉最易理解的两个函数模型，把抽象的不好理解的符合学生数学问题转化成学生熟悉的常见的数学问题，由基本不等式可得h（x）臆1-姨2，因此k跃1-姨2， 11x2+1+=-（1-x）+1，1-x沂（0，2］，21-x2x-2蓘蓡设x1跃x2，则x1-x2跃0，由题设条件得（fx1-x2）约0.函数.（-肄，即（fx1）约-f（-x2）=f（x2）.所以（fx）在+肄）上为减（3）因为函数（fx）是奇函数且当x跃0时，（fx）约0，当（fx2+1）x沂［-1，1），x-1约0，得（fx-1）跃0，所以约2k可变形（fx-1）为（fx+1）约2kf（x-1）.2淤当k沂Z+时，由数学归纳法可证得2kf（x）=f（2kx）.（鄢）于当k=0时，（鄢）式显然成立；当k约0时，由奇函数的性质可证明（鄢）式也成立.所以有（fx2+1）约（f2kx-2k），由单调性得x2-2kx+1+从而激发了学生学习数学的信心和兴趣，的认知规律，对培养学生学习数学的思维品质和提升学生的数学核心素养都有较大帮助.W渊上接第82页冤环节引导自学、检测自学、小结层次了解知识、感性认识及备考、考试过程中，可为学生提供更好的适合的学习方法，并为监控自我学习手段和整合学习资源方法提供依据.这种思维技巧将会使高三数学复习变得更有实效就抓住了解题的方向和关键，学生就能感性，掌握了它，觉到成功的快乐.在处理好深度与广度上面需要引导学“最短的那块木生经常去思考、总结，不轻易放过木桶中使学生掌握数学思维方板”.充分揭示数学思维过程，发展学生的数学思维能力，帮助学生对客观事物中法，能力迁移、典例协商、小结理解知识、理性认识综合运用、反馈协商、小结综合运用、拓广创新蕴含的数学模式进行思考和判断，使学生分析和解决问题的能力得以提高.参考文献院咱1暂何正文.野粤教云冶环境下弹性游击教学探究咱J暂.教育导刊袁2016渊7冤.W五尧结束语思维导图是一种思维习惯以及一种思维技巧.学生通过关键知识点之间的连线使用思维导图进行学习时，提高复习效率.另能够引导学生快速、系统地整合知识，外，把思维导图这种方法应用在指导学生反思学习过程84

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