黑龙江省2002至2011年中考26题集锦

一道新型几何变式、猜想题命题的回顾

2002年至2011年十年间一直延续不衰的数学中考26题，以其高超的命题思路，考查了全省和我市一届又一届应届毕业生的平面几何变式和猜想等综合能力.我整理了一下，供同仁们带领学生复习参考.

1．（本题8分）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为 h1 、 h2 、 h3 ，△ ABC 的高为 h 。

“若点P在一边BC上（如图1），此时 h3=0, 可得结论 h1 + h2 + h3 ＝ h ” 请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立， h1 、 h2 、 h3 与 h 之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明。(2002年黑龙江省中考题)

．

2．已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，1垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG= （AB+AC-BC） 2若：（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）； （2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3）， 则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．（2003年黑龙江省中考题） 3．在△ABC中，AD是中线，O为AD的中点，直线a过点O，过A、B、C三点分别作直线a的垂线，垂足分别为G、E、F，当直线a绕点O旋转到与AD垂直时（如图1），易证：BE+CF=2AG， 当直线a绕点O旋转到与AD不垂直时，在图2、图3两种情况下，线段BE、CF、AG又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对图3的猜想给予证明．（2004年黑龙江省中考题） 1

4．(本题8分) 已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点． l 1111∵ S△PBC+S△PAD= （ BC·PF）+ （ AD·PE）= BC（PF+PE）= BC·EF 22221= S矩形ABCD 21又∵ S△PAC+S△PCD +S△PAD= S2矩形ABCD ∴ S△PBC+S△PAD= S△PAC+S△PCD +S△PAD． ∴ S△PB C =S△PA C +S△P CD． 请你参考上述信息，当点P分别在图2、图3中的位置时，S△PB 、S△ 又有怎样 ?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．（黑龙江省2005年中考题） 5．已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E． （1）当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：OD+OE= 2 OC；

2

（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（2006年牡丹江市中考题）

6．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． 当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；

当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（2007年龙东地区中考题）

7．（本小题满分8分）

已知：正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交

CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．

当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图1），易证BMDNMN．

（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（2008年黑龙江省龙东地区中考题）

A D A D A D

3

N

N

B

M 图1

C

B

M 图2

图3

N

C

M B

C

8．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． 1（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF+S△CEF= S△ABC； 2（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（2009年牡丹江市中考题） 9．(本小题满分8分) ．已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，∠A＝30º，点P在AC上，且∠MPN＝90º．

当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证t△PME∽t△PNF，得出PN＝3PM．（不需证明） 当PC＝2PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．（2010年黑龙江省龙东地区中考题）

10、（本题满分8分）

如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R。 （1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=

125（不需证明）。

（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又

具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。（2011年黑龙江省龙东地区中考题）

4

A

B

R E P

D A R E P

D A R E D

第26题图1

Q C

B 第26题图2 Q C

B C Q

第26题图3 P

5