人教版2019-2020年八年级数学上学期期末练习试题(含答案)

考生注意： 1.考试时间90分钟.

2. 全卷共三大题，满分100分. 三 题号 一 二 21 22 23 24 25 分数 26 27 28 总分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．若△ABC≌△MNP，∠A=∠M，∠C=∠P，AB=4cm，BC=2cm，则 NP=

（ ） A．2cm B．3cm 2．下列说法中，正确的是（

C．4cm

）

D．6cm

A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．面积相等的两个三角形全等

3．“让世界的脚步，在防城港奔跑”，2017中国东盟围际马拉松赛l1月l9日在我市开跑，奖牌以金花茶为立体造型，下面花型设计图，轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

4．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平L与M相交于P点． 分线，若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（ ）

A．24° B．30° C．32° D．36°

5．用三个正多边形镶嵌成一个平面时，若前两种是正方形和正六边形，则第三种是（ ） A．正十二边形

B．正十边形

C．正八边形

D．正三角形

6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

7．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（ ）

A．2 B．2.5 C．3 D．4

8．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多 少套？在这个问题中，设计划每天加工x套服装，则根据题意可得方程为（ ）A．B．C．D．

+ + + +

＝18 ＝18 ＝18 ＝18

9．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ） A．1

B．4

C．11

D．12

，则1※2+2※

10．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：“a※b”＝3+3※4+…+2017※2018的值为（ ） A．

B．

C．

D．﹣

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．分解因式：3x2﹣12xy+12y2＝ ．

12．水由氢原子和氧原子组成，其中氢原子的直径约为0.0000000001米，用科学记数法表示为 米．

13．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之

和最短，则点P的位置应该在 ．

14．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN分别交AB、AC于点E、F．则下列四个结论：①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE+CF＝EF；④S是 （填序号）．

四边形AEDF

＝BC2．其中正确结论

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（1）计算：（﹣）﹣2﹣23×0.125+20050+|﹣1|； （2）解方程：＝

．

16．先化简，再求值：y（x+y）+（x+y）（x﹣y）﹣x2，其中x＝﹣2，y＝． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．如图①，将一个长方形沿着对角线剪开即可得到两个全等的三角形，再把△ABCBG交AC于点E，GH交CD于点F．沿着AC方向平移，得到图②中的△GBH，在图②中，除△ACD与△HGB全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？请选择其中一对加以证明．

18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．n＝p×qq是正整数，任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（p、且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F（n）＝．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F（18）＝＝．请解答下列问题： （1）计算：F（24）；

（2）当n为正整数时，求证：F（n3+2n2+n）＝．

20．保护环境、低碳出行已渐渐成为人们的习惯．最近无为县城又引进了共享单车，只需要交点押金，就可以通过扫描二维码的方式解锁一辆停在路边的自行车，以极低的费用，轻松骑到目的地．王老师家与学校相距2km，现在每天骑共享单车到学校所花的时间比过去骑电动车多用4min．已知王老师骑电动车的速度是骑共享单车速度的1.5倍，则王老师骑共享单车的速度是多少？ 六、（本题满分12分）

21．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA． （1）求证：∠BAD＝∠EDC；

（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．

七、（本题满分12分）

22．北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68 000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率＝八、（本题满分14分）

23．如图，∠ABC＝90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD、AB的延长线相交于点M，连接MC． （1）求证：∠FMC＝∠FCM；

（2）将条件中的AD⊥DE与（1）中的结论互换，其他条件不变，命题是否正确？请给出理由．

×100%）

参 考 答 案：

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1．若△ABC≌△MNP，∠A=∠M，∠C=∠P，AB=4cm，BC=2cm，则 NP=（ ） A．2cm

B．3cm

C．4cm

D．6cm

【分析】根据全等三角形的对应边相等，即可解答出； 【解答】解：∵△ABC≌△MNP，∠A=∠M，∠C=∠P， ∴∠B=∠N，BC=NP， ∵BC=2，

∴NP=2． 故选：A．

【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等．

2．下列说法中，正确的是（

）

A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等

B．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．面积相等的两个三角形全等

【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

【解答】解：A、两腰对应相等的两个等腰三角形，只有两边对应相等，所以不 一定全等；

B、两锐角对应相等的两个直角三角形，缺少对应的一对边相等 ，所以不一定全 等；

C、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，符合 ASA； D、面积相等的两个三角形不一定全等 ． 故选C

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一

般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边 的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

3．“让世界的脚步，在防城港奔跑”，2017中国东盟围际马拉松赛l1月l9日在我市开跑，

奖牌以金花茶为立体造型，下面花型设计图，轴对称图形的是（ ）

装

A. B. C. D. 【答案】A

订 【考点】轴对称图形 【解析】【解答】A是轴对称图形,B、C、D不是轴对称图形. 故答案为：A.

【分析】根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完 全重合，这个图形就是轴对称图形，对各选项判断，可得出答案。

4．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为 线

∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（ ）

数学试卷 第13页(共42页)

A．24° B．30° C．

32°

D．36°

【分析】根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．

【解答】解：∵直线M为∠ABC的角平分线， ∴∠ABP=∠CBP． ∵直线L为BC的中垂线， ∴BP=CP，

∴∠CBP=∠BCP， ∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，

在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°， 即3∠ABP+60°+24°=180°， 解得∠ABP=32°．

数学试卷 第14页(共42页)

装订线内不要答题

故选：C．

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．

5．用三个正多边形镶嵌成一个平面时，若前两种是正方形和正六边形，则第三种是（ ） A．正十二边形

B．正十边形

C．正八边形

D．正三角形

【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整

装

除360即可作出判断．

【解答】解：正方形的每个内角是90°，正六边形每个内角是180°﹣360°÷6＝120°，

正十二边形每个内角是180°﹣360°÷12＝150°，

订 90°+120°+150°＝360°，

故选：A．

【点评】本题考查一种正多边形的镶嵌问题．用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四 边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．

线 6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于

点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）

数学试卷 第15页(共42页)

A．1对

B．2对

C．3对

D．4对

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OC，然后判断出△AOE和△COE全等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，从而得到△ABC关于直线AD轴对称，再根据全等三角形的定义写出全等三角形即可得解． 【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC， 又∵OE＝OE，

∴Rt△AOE≌Rt△COE， ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，

∴△ABC关于直线AD轴对称，

∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，

数学试卷 第16页(共42页)

装订线内不要答题

综上所述，全等三角形共有4对． 故选：D．

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握各性质以及全等三角形的判定是解题的关键．

7．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE

装

⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（ ）

订 A．2 B．2.5 C．3 D．4

【分析】过P点作PF⊥OD，利用平行线的性质和角平分线的性质解答即可．

【解答】解：过P点作PF⊥OD， 线

数学试卷 第17页(共42页)

∵∠AOB＝150°，OC平分∠AOB， ∴∠DOP＝∠POE＝75°， ∵DP∥OA，

∴∠DPO＝∠POE＝75°， ∴∠DOP＝∠DPO﹣75°， ∴DP＝OD＝4，

∴∠PDO＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∵PF⊥OD， ∴∠PFD＝90°， ∴PF＝DP＝2，

∵PE⊥OA，OC平分∠AOB， ∴PE＝PF＝2， 故选：A．

【点评】此题考查角平分线的性质，关键是利用平行线的性质和角平分线的性质解答． 8．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比

数学试卷 第18页(共42页)

装订线内不要答题

原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套服装，则根据题意可得方程为（ ） A． +＝18 B． +＝18 C． +＝18 D．

+

＝18

装

【分析】关键描述语为：“共用了18天完成任务”，那么等量关系为：采用新技术前所用

时间+采用新技术后所用时间＝18天．

【解答】解：设计划每天加工x套服装，那么采用新技术前所用时间为：，采用新技术

订 后所用时间为：

，

则所列方程为： +＝18．

故选：A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找出题目中的关键语，找到相应的等量

线 关系是解决问题的关键．注意工作时间＝工作总量÷工作效率．

9．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值

数学试卷 第19页(共42页)

是（ ） A．1

B．4

C．11

D．12

【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知m＝p+q，pq＝﹣12．

【解答】解：﹣12可以分成：﹣2×6，2×（﹣6），﹣1×12，1×（﹣12），3×（﹣4），﹣3×4，

而﹣2+6＝4，2+（﹣6）＝﹣4，﹣1+12＝11，1+（﹣12）＝﹣11，3+（﹣4）＝﹣1，﹣3+4＝1，

因为11＞4＞1＞﹣1＞﹣4＞﹣11， 所以m最大＝p+q＝11． 故选：C．

【点评】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键． 10．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：“a※b”＝，则1※2+2※3+3※

4+…+2017※2018的值为（ ） A．

B．

C．

D．﹣

【分析】根据已知将原式变形进而计算得出答案．

数学试卷 第20页(共42页)

装订线内不要答题

【解答】解：由题意可得： 原式＝

+

+

+…+

＝﹣（1﹣+﹣+﹣+…+﹣

）

＝﹣（1﹣）

＝﹣

．

故选：D．

装

【点评】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．分解因式：3x2﹣12xy+12y2＝ 3（x﹣2y）2 ．

订 【分析】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案．

【解答】解：3x2﹣12xy+12y2＝3（x2﹣4xy+4y2 ） ＝3（x﹣2y）2．

故答案为：3（x﹣2y）2．

线 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

12．水由氢原子和氧原子组成，其中氢原子的直径约为0.0000000001米，用科学记数法表

数学试卷 第21页(共42页)

示为 1×10﹣10 米．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.000 000 0001＝1×10﹣10， 故答案为：1×10﹣10．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

13．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在 AD的中点 ．

【分析】根据轴对称的性质作出B关于AD的对称点B'，再连接CB'，利用长方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．

【解答】解：作出B关于AD的对称点B'，连接CB'，如图；

数学试卷 第22页(共42页)

装订线内不要答题

∵长方形ABCD，

装 ∴AB＝CD，∠B'AP＝∠PDC＝90°，

∵AB'＝AB，

∴AB'＝CD，

在△B'AP与△CDP中 订

，

∴△B'AP≌△CDP（AAS），

∴AP＝PD，

线 故答案为：AD的中点．

【点评】此题考查轴对称问题，关键是根据轴对称的性质和矩形的性质以及全等三角形的

数学试卷 第23页(共42页)

判定和性质解答．

14．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD

是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN分别交AB、AC于点E、F．则下列四个结论：①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝BC2．其中正确结论是 ①②④ （填序号）．

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AD＝CD＝BD，故①正确，∠CAD＝∠B＝45°，根据同角的余角相等求出∠CDF＝∠ADE，然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等，判断出②正确，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF、BE＝AF，求出AE＝CF，根据BE+CF＝AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ADF＝S△BDE，从而求出S四边形AEDF

＝S△ABD

＝BC2，判断出④正确．

【解答】解：∵∠B＝45°，AB＝AC，

数学试卷 第24页(共42页)

装订线内不要答题

∴△ABC是等腰直角三角形， ∵点D为BC中点，

∴AD＝CD＝BD，故①正确； AD⊥BC，∠BAD＝45°， ∴∠EAD＝∠C， ∵∠MDN是直角，

装

∴∠ADF+∠ADE＝90°，

∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，

订 在△ADE和△CDF中，，

∴△ADE≌△CDF（ASA），故②正确；

∴DE＝DF、BE＝AF，

∴△DEF是等腰直角三角形； 线

∵AE＝AB﹣BE，CF＝AC﹣AF， ∵BE+CF＝AF+AE

数学试卷第25页(共42页)

∴BE+CF＞EF，故③错误； ∵△BDE≌△ADF， ∴S△ADF＝S△BDE，

∴S四边形AEDF＝S△ABD＝AD2＝AB2＝BC2 故④正确；

故答案为：①②④．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质，熟记三角形全等的判定方法并求出△ADE和△CDF全等是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（1）计算：（﹣）﹣2﹣23×0.125+20050+|﹣1|； （2）解方程：＝

．

【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）原式＝4﹣8×0.125+1+1

数学试卷 第26页(共42页)

装订线内 不要 答题

＝4﹣1+1+1 ＝5．

（2）两边同乘以x（2x﹣1），得6（2x﹣1）＝5x， 解得x＝．

经检验，x＝是原方程的解．

装 【点评】此题考查了实数的运算与解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，

把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

16．先化简，再求值：y（x+y）+（x+y）（x﹣y）﹣x2，其中x＝﹣2，y＝．

【分析】先根据单项式乘多项式的法则，平方差公式化简，再代入数据求值． 订

【解答】解：y（x+y）+（x+y）（x﹣y）﹣x2

，

＝xy+y2+x2 ﹣y2﹣x2，

＝xy，

线

当x＝﹣2，y＝时，原式＝﹣2×＝﹣1． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，平方差公式，关键是先把代数式化简，再把题目给定的值代入求值，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．

数学试卷 第27页(共42页)

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．如图①，将一个长方形沿着对角线剪开即可得到两个全等的三角形，再把△ABC沿着AC方向平移，得到图②中的△GBH，BG交AC于点E，GH交CD于点F．在图②中，除△ACD与△HGB全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？请选择其中一对加以证明．

【分析】由平移的性质得到AG＝CH，根据全等三角形的性质得到∠A＝∠H，推出△AGE≌△HCF（ASA）；根据全等三角形的性质得到EG＝FC，AG＝HC，根据线段的和差得到BE＝DF，DG＝BC，于是得到结论． 【解答】解：△AGE≌△HCF，△EBC≌△FDG； 证明过程如下： 由平移可知AG＝CH， ∵△ACD与△HGB全等，

数学试卷 第28页(共42页)

装订线内不要答题

∴∠A＝∠H，

又BG⊥AD，DC⊥BH， ∴∠AGE＝∠HCF＝90°， ∴△AGE≌△HCF（ASA）； ∴EG＝FC，AG＝HC， ∵BG＝CD，AD＝HB，

装

∴BE＝DF，DG＝BC，

∵∠D＝∠B＝90°，

∴△EBC≌△FDG（SAS）．

订 【点评】本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平移的性质，掌握相关的 判定定理和性质定理是解题的关键．

18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3）， C（1，﹣1）．

线 （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标．

数学试卷 第29页(共42页)

【分析】（1）分别作出A、B、C关于x轴的对称点即可； （2）根据图中各点写出坐标即可． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．

数学试卷 第30页(共42页)

装订线内不要答题

（2）A1（1，4），B1（3，3），C1（1，1）．

【点评】本题考查轴对称变换知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F（n）＝．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F（18）＝＝．请

装

解答下列问题：

（1）计算：F（24）；

（2）当n为正整数时，求证：F（n3+2n2+n）＝．

订 【分析】（1）把24因式分解为1×24，2×12，3×8，4×6，再由定义即可得F（24）

（2）把n3+2n2+n因式分解得n（n+1）2，则可化为 1×n（n+1）2，n×（n+1）2，（n+1）

×n（n+1）

当n为正整数时，n（n+1）2﹣1＝n3+2n2+n﹣1，（n+1）2﹣n＝n2+n+1，n（n+1）﹣（n+1）

线 ＝n2

﹣1

易得n（n+1）与（n+1）得差绝对值最小，且（n+1）≤n（n+1），得出F（n3+2n2+n）＝

数学试卷 第31页(共42页)

【解答】解：（1）∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，其中4与6的差的绝对值最小， ∴F（24）＝＝．

（2）∵n3+2n2+n＝n（n+1）2，其中n（n+1）与（n+1）的差的绝对值最小，且（n+1）≤n（n+1）， ∴F（n3+2n2+n）＝

＝．

【点评】此题是因式分解的应用，设计一个新题型来考察学生的因式分解能力，（1）中直接列出24的因式，（2）中列出因式后仍需比较因数差的绝对值，找出差绝对值最小即可

20．保护环境、低碳出行已渐渐成为人们的习惯．最近无为县城又引进了共享单车，只需要交点押金，就可以通过扫描二维码的方式解锁一辆停在路边的自行车，以极低的费用，轻松骑到目的地．王老师家与学校相距2km，现在每天骑共享单车到学校所花的时间比过去骑电动车多用4min．已知王老师骑电动车的速度是骑共享单车速度的1.5倍，则王老师骑共享单车的速度是多少？

【分析】设王老师骑共享单车的速度为xkm/h，则王老师骑电动车的速度是1.5xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合骑共享单车到学校所花的时间比过去骑电动车多用4min，即可得

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出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【解答】解：设王老师骑共享单车的速度为xkm/h，则王老师骑电动车的速度是1.5xkm/h，

根据题意得：﹣＝

，

解得：x＝10，

经检验，x＝10是原方程的解．

答：王老师骑共享单车的速度是10km/h．

装

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

六、（本题满分12分）

21．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．

订 （1）求证：∠BAD＝∠EDC；

（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并

说明理由． 线

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【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出∠E＝∠DAC，根据等边三角形的性质，得出∠BAD+∠DAC＝∠E+∠EDC＝60°，据此可得出∠BAD＝∠EDC；

（2）根据轴对称作图，要证明DA＝AM，只需根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，证△ADM是等边三角形即可．

【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°．

又∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠EDC+∠DEC＝∠ACB， ∴∠BAD+∠DAC＝∠EDC+∠DEC． ∵DE＝DA， ∴∠DAC＝∠DEC， ∴∠BAD＝∠EDC．

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（2）猜想：DM＝AM．理由如下： ∵点M、E关于直线BC对称， ∴∠MDC＝∠EDC，DE＝DM． 又由（1）知∠BAD＝∠EDC， ∴∠MDC＝∠BAD． ∵∠ADC＝∠BAD+∠B，

装

即∠ADM+∠MDC＝∠BAD+∠B，

∴∠ADM＝∠B＝60°．

又∵DA＝DE＝DM，

订 ∴△ADM是等边三角形，

∴DM＝AM．

线

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【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、轴对称变换以及三角形外角性质等知识的综合应用．解题时注意运用等边三角形的三个内角都等于60°，三条边都相等． 七、（本题满分12分）

22．北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68 000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率＝

×100%）

【分析】（1）求的是数量，总价明显，一定是根据单价来列等量关系，本题的关键描述语是：每套进价多了10元．等量关系为：第二批的每件进价﹣第一批的每件进价＝10； （2）等量关系为：（总售价﹣总进价）÷总进价≥20%．

【解答】解：（1）设商场第一次购进x套运动服，由题意得：

，（3分）

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解这个方程，得x＝200， 经检验，x＝200是所列方程的根， 2x+x＝2×200+200＝600，

所以商场两次共购进这种运动服600套；

（2）设每套运动服的售价为y元，由题意得：

装

，

解这个不等式，得y≥200，

所以每套运动服的售价至少是200元．

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是订

解决问题的关键．注意利润率＝×100%的应用．

八、（本题满分14分）

23．如图，∠ABC＝90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE 线

的中点，FD、AB的延长线相交于点M，连接MC． （1）求证：∠FMC＝∠FCM；

（2）将条件中的AD⊥DE与（1）中的结论互换，其他条件不变，命题是否正确？请给出

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理由．

【分析】（1）想办法证明△FAM≌△FDC（AAS），即可推出FM＝FC，可得∠FMC＝∠FCM；

（2）正确．只要证明△AMF≌△DCF（ASA），即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵AD＝DE，点F是AE的中点， ∴MF⊥AC，

∴∠AMF+∠MAF＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠MAF＝90°， ∴∠AMF＝∠ACB， ∵AD⊥DE，AD＝DE， ∴△ADE为等腰直角三角形，

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∠DAF＝45°， 又∵MF⊥AC， ∴∠DFA＝90°，

∴∠ADF＝180°﹣∠DFA﹣∠DAF＝45°， ∵AD＝DE，点F是AE的中点， ∴MF⊥AC，

∴∠AFM＝∠DFC＝90°，∠AMF+∠MAC＝90°， 又∵∠MAC+∠DCF＝90°， ∴∠ADF＝∠DAF， ∴FA＝FD，

装

在△FAM和△FDC中，

，

∴△FAM≌△FDC（AAS）， 订

∴FM＝FC，

∴∠FMC＝∠FCM．

（2）解：正确． 线

理由如下：∵∠FMC＝∠FCM， ∴FM＝FC．，

数学试卷 第39页(共42页) ∴∠AMF＝∠DCF． 在△AMF和△DCF中，

，

∴△AMF≌△DCF（ASA）， ∴AF＝DF， 又∵∠AFD＝90°， ∴∠DAF＝∠ADF＝45°， 又∵AD＝DE，

∴∠DEA＝∠DAF＝45°，

∴∠ADE＝180°﹣∠DAF﹣∠DEA＝90°， ∴AD⊥DE．

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【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

装

订 线

数学试卷 第41页(共42页) 数学试卷

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