2011年新课标版高考题库考点44 随机抽样、用样本估计总体、变量间的相关关系、统计案例

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考点44 随机抽样、用样本估计总体、

变量间的相关关系、统计案例

一、选择题

1.（2011·福建卷文科·Ｔ4）在某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）

（A）6 （B）8 （C）10 （D）12

【思路点拨】根据分层抽样的特点，各层的样本容量之比等于每一层的总体容量之比，根据此关系可确定高二年级的学生中应抽取的人数.

【精讲精析】选B .分层抽样的原则是按照各部分所占的比例抽取样本，设从高二年级抽取的学生数为n，则

306，得n8. 40n2.（2011·山东高考理科·Ｔ7）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:

ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） ˆaˆbxˆ中的b 根据上表可得回归方程y（A）63.6万元 （B）65.5万元 （C）67.7万元 （D）72.0万元

【思路点拨】本题可先利用公式求出回归直线方程，再预报广告费用为6万元时的销售额.

423574926397,y42,因为点(,42)在回归直

24249.1,故回归方程为yˆ为9.4，所以429.47aˆaˆbxˆ上,且bˆ9.4x9.1, 令x=6ˆ, 解得a线y2【精讲精析】选B.由表可计算xˆ65.5,选B. 得y3.（2011·山东高考文科·Ｔ8）某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如下表：

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ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为（ ）ˆaˆbxˆ中的b 根据上表可得回归方程y

（A）63.6万元 （B）65.5万元 （C）67.7万元 （D）72.0万元

【思路点拨】本题可先利用公式求出回归直线方程，再预报广告费用为6万元时销售额.

423574926397,y42,因为点(,42)在回归直

24249.1,故回归方程为yˆ为9.4，所以429.47aˆaˆbxˆ上,且bˆ9.4x9.1, 令x=6ˆ, 解得a线y2【精讲精析】选B.由表可计算xˆ65.5,故选B. 得y4．（2011·湖南高考理科·T4）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列表：

爱好 不爱好 总计 由

男 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110 n(adbc)2K算得，(ab)(cd)(ac)(bd)2K2110(40302020)7.8.605060502

附表：

P(K2k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ）

（A）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” （B）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” （C）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

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（D）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

【思路点拨】本题考查性检验基础知识和运用知识的实际能力. 【精讲精析】选C.因为K27.86.635，所以相关的概率大于1-0.010=0.99，所以选C.

5．（2011·湖南高考文科T5）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列表：

爱好 不爱好 总计 2男 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110 n(adbc)2由K算得，(ab)(cd)(ac)(bd)K2110(40302020)7.8.605060502

附表：

P(K2k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ）

（A）有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关” （B）有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”

（C）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” （D）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【思路点拨】本题考查性检验基础知识和运用知识的实际能力.

【精讲精析】选A. 因为K7.86.635，所以相关的概率大于1-0.010=0.99，所以选A.

6.（2011·江西高考理科·Ｔ6） 变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量U与V相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1）,r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( ) （A）r2< r1<0 （B）0【思路点拨】先根据数据作出X与Y及U与V的散点图，再根据散点图判断出变量之间的正负相关.

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【精讲精析】选C.由散点图可得：变量Y与X正相关，变量V与U负相关，故r10,r20.

7．（2011·江西高考文科·Ｔ7）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为

me，众数为m0，平均值为x,则( )

（A）me=m0=x （B）me=m0【思路点拨】首先将这30个数据按照大小顺序排列，易得中位数，众数，最后计算平均值.

【精讲精析】选D.由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5,6，故中位数为me56324351066738292102 5.5,又众数为m05,平均值x230179,m0mex. 308.（2011·江西高考文科·Ｔ8）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

父亲身高x(cm) 儿子身高y(cm) 174 175 176 175 176 176 176 177 178 177 则y对x的线性回归方程为( )

yx1 （A）yx1 （B）（C） y881x 2y176 （D）1x的附近. 21【精讲精析】选C.将表中的五组数据分别代入选项验证，可知y88x最适合.

288【思路点拨】由散点图可知，表中五组数据大体在y9．（2011·陕西高考理科·T9）设(x1,y1),(x2,y2)，„，(xn,yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以

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下结论中正确的是（ ）

（A）x和y的相关系数为直线l的斜率 （B）x和y的相关系数在0到1之间

（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 （D）直线l过点(x,y)

【思路点拨】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数，线性回归直线的意义等进行判断． 【精讲精析】选D． 选项 A 的计算公式也不相同 相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相B 关，在-1到0之间时，两个变量为负相关 C 不正确 具体分析 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们不正确 结论 l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布 ybx可知直回归直线l一定过样本点中心(x,y)；由回归直线方程的计算公式a不正确 D 线l必过点(x,y) 正确 10．（2011·陕西高考文科·T9）设(x1,y1),(x2,y2),··· ，(xn,yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）

(A) 直线l过点(x,y)

(B）x和y的相关系数为直线l的斜率 （C）x和y的相关系数在0到1之间

（D）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

【思路点拨】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数，线性回归方程的意义等进行判断． 【精讲精析】选A.

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选项 具体分析 结论 ybx可知直回归直线l一定过样本点中心(x,y)；由回归直线方程的计算公式aA 线l必过点(x,y) 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度，它们B 的计算公式也不相同 不正确 正确 相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相C 不正确 关，在1到0之间时，两个变量为负相关 D l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布 不正确 二、填空题

11．（2011.天津高考理科.T9）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________. 【思路点拨】根据抽取样本的比例计算.

211【精讲精析】48=48=12.

48+3【答案】12

12.（2011·浙江高考文科·Ｔ13）某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）.根据频率分布直方图推测这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是____________.

【思路点拨】本题主要考查由频率分布直方图求某组的频率.

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【精讲精析】在该次数学考试中成绩小于60分共有3组,频率之和为0.02+0.06+0.12=0.2, 所以在该次数学考试中成绩小于60分的学生数大约为3 0000.2=600名. 【答案】600名 三、解答题

13．（2011·安徽高考文科·Ｔ20）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份 2002 2004 246 2006 257 2008 276 2010 286 需求量（万吨） 236 bxa； （Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.

【思路点拨】将数据处理一下，方便计算，然后利用公式求回归直线方程，并进行预测.

【精讲精析】（Ⅰ）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：

年份-2006 需求量-257 由预处理的数据，容易算得

-4 -21 -2 -11 0 0 2 19 4 29 x0,y3.2

b(4)(21)(2)(11)219429260=6.5.

4222224240aybx3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为 y257b(x2006)a6.5(x2006)3.2.

即 y6.5(x2006)260.2.

（Ⅱ）利用所求得的直线方程，可预测2012年的粮食需求量为

6.5×（2012-2006）+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨)≈300（万吨）.

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