小学数学6年级 秋季下 第7讲 知识探究 例1 1. 按要求进行进位制的转化. （1）(10111)2 = ( )10 （2）(10CE)16=( )10 （2）(10CE)16=(4302)10 【答案】（1）101112 2310 【解析】(1)101112 124+122+121+120= 2310 (2) (10CE)16=116312161141604302 (4302)10 2. 按要求进行进位制的转化. （1）(37)10 =( )2 【答案】（1）37101001012【解析】 （2）(2475)10 =( )5 （2）(2475)10 =(34400)5 23721829 2422210 3. 524751950059901 5194 0534003174 按要求进行进位制的转化. （1）(10110101)2 =( )8 （2）(2FD)16 =( )2 【答案】（1）(10110101)2 =(265)8 （2）(2FD)16 =(1011111101)2 【解析】(1)方法一：(10110101)2 =(181)10=(265)8; 方法二： 因为238，三位分段，10|110|1012 帮 助 优 秀 学 生 成 就 精 英 梦 想 小学数学6年级 秋季下 1012=510=58，1102610=68，102210=28， 10110101265;28（2）(2FD)16 =(1011111101)2 1624216210102 F16151011112D16131011012 4. 计算： （1）(1111)2+(101)2 （2） (521)8－(357)8 （3）(1101)2×(1010)2 【答案】（1）111121012101002 （2）521835781428 （3）(1101)2(1010)2(10000010)2 【解析】尝试在非十进制下进行竖式计算．乘法列竖式每一位进行计算后再相加． 5. 若(1030)n14010，则n为多少? 【答案】5 【解析】若(1030)n140，则n33n140，经试验可得n5． 练一练 在几进制中有4×13=100？ 【答案】6 【解析】利用尾数分析来解决这个问题： 由于(4)10(3)10(12)10，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位． 所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个． 但是式子中出现了4，所以n要比4大，不可能是4，3，2进制． 另外，由于(4)10(13)10(52)10，因为52100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道n10，那么n不能是12． 所以，n只能是6． 75 帮 助 优 秀 学 生 成 就 精 英 梦 想 75 小学数学6年级 秋季下 例2 6. 现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？ 【答案】31 【解析】因为砝码的克数恰好是1，2，4，8，16，而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1，2，22=4，23=8，24=16，在砝码盘上放1克砝码认为是二进位制数第一位(从右数)是1，放2克砝码认为是二进位制数第二位是1，……，放16克砝码认为是二进位制数第五位是1，不放砝码就认为相应位数是零，这样所表示的数中最小的是1，最大的是(11111)2=16+8+4+2+1==(31)10，这就是说1至31的每个整数(克)均能称出．所以共可以称出31种不同重量的物体． 由数字0、1、2、3、4组成的非零自然数（数字可以重复使用），按照从小到大排列．2014排在第几个？ 【答案】259 【解析】方法一：这5个数组成的非零自然数中，一位数有4个，两位数有4×5=20个，三位数有4×5×5=100个，首位是1的四位数有5×5×5=125个，首位为2的四位数按从小到大的顺序排列：2000、2001、2002、2003、2004、2010、2011、2012、2013、2014，有10个． 4+20+100+125+10=259个． 方法二：使用进位制的方法，将五进制下的2014转化到十进制下，是几就是第几个数．(2014)5(259)10，所以2014是第259个数． 7. 76 8. 计算(220151)除以7的余数． 【答案】3 【解析】：220151(1111)2，7(111)2， 2015个1所以(220151)7(1111)2(111)2． 2015个1而20153671……2，所以(1111)2(111)2余(11)23． 2015个1所以(220151)除以7的余数为3． 帮 助 优 秀 学 生 成 就 精 英 梦 想 小学数学6年级 秋季下 9. 在六进制中三位数abc，化为九进制是cba，这个三位数在十进制中是多少？ 【答案】212 【解析】首先可以确定a、b、c为小于6的自然数，且a、c都不为0. 36a6bc81c9ba，6c3，化简，得：35a80c3b，确定b5，有7a1由于a最大取5，故c不超过2，代入试验，发现当c=2时，a=5.即这个数在六进制下是(552)6，转化成十进制是36×5+6×5+2=212． 练一练 用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果(ade)5,(adc)5,(aab)5，是从小到大排列的连续正整数，那么(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是多少？ 【答案】108 【解析】注意到(ade)5,(adc)5,(aab)5中，倒数第二位由d变成了a，可以知道最后一位依次应该是．e=3、c=4、b=0，倒数第二位a=d+1．于是a=2，d=1．那么(cde)5=(413)5=(108)10． 拓展提升 1. 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码1的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”．那么小于1024的所有坏数有多少个？ 【答案】511 246810【解析】1024=(10000000000)2．C10=511 C10C10C10C1077 帮 助 优 秀 学 生 成 就 精 英 梦 想 77 小学数学6年级 秋季下 2. 一副双色牌中，红、黑两种颜色各有12张牌，每种颜色的牌上分别写着l，2，4，8，16，…，2048这12个数．小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和． (1)若算出的和为2014，则小梁最多可能抽取了多少张牌? (2)若算出的和为183，则小梁共有多少种抽取牌的方法? 【答案】（1）19；（2）184 【解析】（1）将所有数转化成二进制数，(2014)10(11111011110)2，最多使用9×2+1=19张牌． （2）这道题是一个组合问题．每种颜色的牌中，l、2、4、8、16…2048都只有1张牌．根据二进制，不大于183的每一个自然数a都可以由某一种颜色的牌组合出来（不抽的话，是0），且组合方式唯一． 某种颜色的牌抽取出来之后（和为a），另一种颜色的牌的抽取方式（和为（183-a））也就唯一确定了． 所以，抽取的某种颜色的牌的和的取值方式，与抽取的方法数是一一对应的． 0-183共有184个数值，所以共有184种抽取牌的方法． 3. 天平左边有379克重物，将1克砝码放在天平任意一端，然后将2克砝码放在天平任意一端，按照这种方式再放4克、8克、16克、32克、……，直至天平平衡，那么2克的砝码放在天平的哪一边？ 【答案】左边 【解析】由于所有的砝码都是2的幂次，不妨先将所有的数转化成二进制，78 由于各重量的砝码是依次放上天平的，将砝码放在左边相当(379)10(101111011)2，于增加了物品的重量，在左边放入一个重量为4克的砝码，等价于在右边放一个重量为4的砝码，同时在左边放入两个重量为4的砝码．这样的话，相当于右侧有1克、2克、4克……的砝码各有一个，看需要在天平左边补上几个砝码能让天平平衡即可． 那么(101111011)2(10000100)2(111111111)2，即左边需要补上两个克、两个2克的砝码才能使天平平衡，相当于最初是把2克的砝码放在了天平的左边． 帮 助 优 秀 学 生 成 就 精 英 梦 想 小学数学6年级 秋季下 发散训练 1. N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是十进制整数的四次方． 【答案】18 【解析】设b是所求的最小正整数，7b27b7x4xN，因为质数7能整除7b27b7，所以也能整除x，不妨设x7m，m是大于0的自然数．则：7b27b77m，化简得：b2b173m4，易知，b的值随m的增大而增大，4当m=1时，b=18． 2. 已知正整数N的八进制表示为N(123456321)8，那么在十进制下，N除以7的余数与N除以9的余数之和是多少？ 【答案】1 【解析】与十进制相类似．根据8进制的弃7法，N(123456321)8被7除的余数等于其各位数字之和，为36，36除以7的余数为1，所以(123456321)8除以7的余数为1；另外，（1+3+5+5+3+1）-(2+4+6+4+2)=0即(123456321)8除以9的余数为0．因此两个余数之和为1． 79 帮 助 优 秀 学 生 成 就 精 英 梦 想 79 小学数学6年级 秋季下 谜题大战 每个数独都由一个在不同位置给与提示数字的8×8的网格组成．游戏的目的是将空方格填上数字1到8，使得每一行，每一列都没有重复的数字出现，并能根据运算符号，算出每个方框的数． 80 帮 助 优 秀 学 生 成 就 精 英 梦 想 小学数学6年级 秋季下 数里数外 陶哲轩宣布破解埃尔德什差异问题 2015年9月17日，2006年菲尔茨奖得主、美籍澳大利亚华裔数学家陶哲轩宣布破解了80年未决的埃尔德什差异问题(the Erdos Discrepancy Problem)，论文预印本已经发表在arXiv.org上． 埃尔德什差异问题由数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）在1932年提出，指的是在任意只由1和-1组成的无限数列中，能找到项与项间等距的有限子列，使子列各项之和的绝对值大于一个任意大的常数C．和许多数论问题一样，埃尔德什差异问题描述起来很简单，但证明难度却很大．埃尔德什于1996年去世，没能看到这一问题的证明． 直觉上看，对有些数列而言，这个问题的答案非常简单——在只有1的数列中，把各项加起来一定能得到任意大的数；对无限数列（-1，1，-1，1，-1，1,...）来说，要找到一个各项之和大于2、而且间隔固定的子数列，取第二位和第四位就行；要找到各项之和大于4的子数列，可以取第二位、第四位、第六位、第八位；无论多大的数，都能在（-1，1，-1，1，-1，1）中找到加起来等于这个数的子数列．但埃尔德什的猜想是，无论这些正负1怎么排，这个结论都成立：给出一个任意大的常数，就能找到这样的数列． 这到底是什么意思呢？假设你和你的朋友玩一个抛硬币游戏．掷出正面，你往左走一步．掷出反面，你往右走一步．你知道他在硬币上做了手脚，出来正面还是反面，随心所欲他说了算． 81 埃尔德什和十岁的陶哲轩一起研究数学问题 但你也有杀手锏：你可以忽略某些硬币的结果——只不过不能瞎忽略，而是有规矩：每过固定数量的硬币就有一个算数，剩下的全不算．具体隔几个，你在结束的时候说了算．埃尔德什猜想的意义在于，虽然你最后往左还是往右你说了不算，但是你想离出发 帮 助 优 秀 学 生 成 就 精 英 梦 想 81 小学数学6年级 秋季下 点多远，就能有多远． 陶哲轩的证明说明了埃尔德什的猜想是对的，但他并没有给出计算这个数值的方法（也就是说，具体怎么挑还不知道，但这个杀手锏是存在的）．虽然他的证明还没有经过严格的同行评议，但数学家们对他的结果很有信心．“我绝对相信他的结果，”以色列希伯来大学的数学家吉尔·卡莱（Gil Kalai）这样说道，但他随后补充道评议可能需要花上一些时间． 数学家们最近一次向这个问题发起挑战的行动始于2009年12月，并在2010年组建起了团队．来自剑桥大学的数学家蒂莫西·高尔（Timothy Gowers）建议用“博学项目”(Polymath Project)解决问题——一个数学家合作的在线平台．陶哲轩是几十位参与者之一． 这次合作在2012年告一段落，但数学家们证明了只要能证明埃尔德什猜想对一类数列成立，就能推广到普遍情况．这种数列是这样的：在质数项，数值是随机的，但其他项的数值是它的质数因子项上的数值的积．比如说，第十五项的数值是第三项和第五项的积． 2014年2月，研究人员们用计算机证明了埃尔德什问题的一个特殊情况——子列的和一定能大于2，但没能证明一定能大于3. 陶哲轩的证明说明了这个和一定能大于任意大的有限数． 这个证明发表后，数学家们很长一段时间来都没能取得新的进展．就在这个月初，陶哲轩在博客收到了一条评论，提醒他他正在研究的另一个问题可能与埃尔德什猜想有关．“一开始，我觉得这两个问题之间的联系只是表面的，”陶哲轩在一封电子邮件中这样写道；但他很快意识到，将新思路和之前的结果结合在一起，很可能得到问题的证明．不到两周后，他就发表了论文，并在致谢中感谢了这位评论者——图宾根大学的数学博士尤威·斯特罗斯基（Uwe Stroinski）． 82 陶哲轩把论文发表在了高尔管理的开源期刊《离散分析》上．《离散期刊》是9月初创刊的，它提供传统的同行评议，但由于只接受已经发表在arXiv上的论文，避免了大量的发行成本．“蒂姆（译注：指前文中的数学家蒂莫西·高尔）的期刊是对论文完全开源出版的一次前景大好的实验．”陶哲轩说． 埃尔德什在陶哲轩申请普林斯顿大学的博士项目时曾为他写过推荐信；他经常对自己提出的猜想提供现金奖励．他为解决埃尔德什差异问题设下的奖金是500美元．在他去世后，别人接管了这些奖金的颁发． 陶哲轩也被问到如果别人决定把奖金授予他，会不会真的去领奖，他的回答是：“在埃尔德什还在世的时候，传统做法是不兑现奖金支票；人们一般会把它裱起来．” 附注：陶哲轩，1975年7月17日 出生在澳大利亚阿德莱德，是家中的长子，华裔数学家，任教于美国加州大学洛杉矶分校（UCLA）数学系，是澳大利亚唯一荣获数学最 帮 助 优 秀 学 生 成 就 精 英 梦 想 小学数学6年级 秋季下 高荣誉“菲尔茨奖”的澳籍华人数学教授，也是继丘成桐之后获此殊荣的第二位华人．是调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论、算术数论等接近10个重要数学研究领域里的大师级数学家，被誉为“数学界莫扎特”． 10岁、11岁、12岁参加国际数学奥林匹克竞赛，分获铜牌、银牌、金牌．他还未满13岁时已赢得国际数学奥林匹克竞赛金牌，这项纪录至今也是由他保持． 陶哲轩14岁时正式进入他中学时去听课的弗林德斯大学，16岁获得该校荣誉理科学位，仅一年后就取得了硕士学位． 17岁，他来到美国，开始攀登数学高峰，在普林斯顿大学师从沃尔夫奖获得者埃利亚斯·施泰因（Elias Stein），21岁获得博士学位． 24岁被加利福尼亚大学洛杉矶分校聘为正教授，成为加利福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授． 2006年夏，获得麦克阿瑟基金(MacArthur Foundation)天才奖和数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖． 83 帮 助 优 秀 学 生 成 就 精 英 梦 想 83 小学数学6年级 秋季下 学习心得 需要掌握的知识点： 需要复习的题目： 84 帮 助 优 秀 学 生 成 就 精 英 梦 想
