对称性及相对奇偶性在二重积分计算中的应用

屈红萍，杨在荣：对称性及相对奇偶性在二重积分计算中的应用　Ｄ：　２　２≤４关　轴和ｙ轴均对称被积函数ｙ’ｅ　为关于ｙ的奇函数，　２，ｙｓｉ眦为　例４：计算』　曲线ｙ：　与ｙ＝、／　所围成。　，其中闭区域Ｄ由　关于　的奇函数知　』（），２ｓｉｎｘ＋ｙ３ｅ￣＋４）ｄｘｄｙ＝２ｓｉｎｘｄｘｄｙ＋Ｉ　ｙ３ｅ　称点是ｙ，ｘ）　解：区域Ｄ关于直线ｙ　对称，点　），）的对　Ｄ　Ｄ　Ｄ　ｆ　０＋０＋ｆ４　４　仃　定理２：设有界闭区域Ｄ关于原点对称，函　数　，，）在Ｄ＿ｋ连续，则　ｆ　０，．．…………兰　＿　＝　），）　』肛　｛Ｉ　２　２　其中Ｄ。＝，　，ｙ）∈ＤＩｘ￣０｝，Ｄ２＝｛　ｙ）∈Ｄｌｙ＞￣０｝　例３计算ＩＩ　ｘｙｄｘｄｙ，其中Ｄ由下列双纽线　围成：　（１），、　　２　２　）＝２　－ｙ）２　２　２　　（２），　、　　２　２　）＝　２　解：（１）由于　）　：２　—），２）围成的区域关　于　轴和　轴均对称，而被积函数　ｙ关于　（或，，　轴）为奇函数则有：』戈ｙｄｘｄｙ＝Ｏ　＇　’，　（２）由　‘　‘）‘＝　围成的区域对称于原　点，而被积函数　是关于　，ｙ的偶函数则有：　ｘｙｄｘｄｙ＝２　８　ｘｙｄｘｄｙ　由极坐标知　：ｒｃ。ｓＯ，ｙ＝ｒｓｉｎ０，代人　＋ｙＥ）￣＝２ｘｙ　得ｒ＝＝、／　五　且由　＞ｏ，知　ｒ２　ｉｎ２０＞ｏ　则０≤　≤　，于是　』ｘｙｄｘｄｙ２　Ｉ。　Ｊ￣。＂／７￣ｒ３ｓ·ｎｚ　ｃ。ｓ　ｒ＝　１　定理３：设有界闭区域Ｄ关　对称，函数　在ｎ＿ｋ连续，则　Ｊ　；，），）ｄ　＝Ｊ『／　）ｄ　（轮换对称性）　１　，　；　—　，），）＝　‘．　）＝ｙ—ｘ＝－（ｘ－ｙ）＝－ｆ，　ＮＰ．Ｉ：刍ＪＪ　（ｘ－ｙ）ｅ￣ｅｙ＝Ｏ　又’．　）：：，　＝缈　），）　图２闭区域Ｄ　所以：ＩⅣＤＪ　ｘｙｄｘｄｙ＝２』占ｘｙｄｘｄｙ　．　故　ｆ（ｘ－ｙ＋ｘｙ）ｄｘｄｙ＝Ｊ　蚴件Ｉ　ｘｙｄｘｄｙ　＝２』Ｄｘｙｄｘｄｙ　古　Ｉ　当积分区域为对称区域时，一定要检验　被积函数或被积函数的某一部分是否对某一　变量具有奇偶性，尤其是对奇函数的部分。在　使用合理的情况下，对称性能极大的减少计　算量。　２关于不对称区域　前面讨论中积分区域均是具有对称性的　情形，而当积分区域不具有对称性时，我们可　以尝试构造区域对称性来计算积分，下面给出　一些构造对称性的方法。　方法一：通过划分区域来构造对称性　当积分区域不具有对称性时，我们可以尝　试着将区域划分为几个部分，使其每个部分都　具有对称性，这样就可以根据积分的性质及其　之前总结的对称方法来简化每一部分的计算，　从而到达简化整个积分计算的目的。　例５：设Ｄ是以（１，１），（一１，１）和（一１，一１）为顶　点的三角形区域，Ｄ　是Ｄ在第一象限的部分，则　（ｘｙ＋ｓｉｎｙｅｑ）　＝　。【３　昕　白　（Ａ）２　０（ｓｉｎｙｅ一）ｄ￣ｄｙ　（Ｂ）２　０ｘｙｄｘｄｙ　（ｃ）４＋ｓｉ　（Ｄ）０　Ｄ　一３７—　第３４卷　保山学院学报２０１５　第５期　解：积分区域Ｄ如图３所示，　被积函数　是　，ｙ的奇函数，ｓｉｎｙｅ　是　＋），　）ｄ￣ｄｙ：　６，　＋　＋　ｘｒｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄ￣ｄｙ＋　Ｄ　的偶函数，是Ｙ的奇函数。原积分区域无对称　性，为构造对称性，作直线），＝一　，将Ｄ分成４个　ｙ　＼、　、、　、）　＝０＋２　Ｊ０一。　Ｊ。－ｘ　＋０＋０一　Ｄ２　区域，故Ｄ＝Ｄ，＋Ｄ＇＋　Ｄ　＋Ｄ４，由对称性知　在Ｄ，ｕＤ，上及Ｄ　ｕ　方法二：通过平移变换来构造对称性　当积分区域关于某条平行于坐标轴的直　线对称或关于某一点（非原点）对称时，可以通　过平移变换将积分区域化为关于坐标轴对称　或关于原点对称的情形，进而可以化简计算。　、、Ｄ２　、　Ｄ３、、、／Ｄ　０　ｒ　圈３三角形区域　Ｄ　上　ｙ的积分均为　０，而在Ｄ　ＵＤ　上，　ｓｉｎｙｅ　是关于Ｙ的奇　例７计算，＿Ｉｌ（　‘　一２）ｄｘｄｙ，其中Ｄ：　＋ｙ。　＝函数，所以积分为０，在　２ｙ　Ｄ　ＵＤ　Ｊ２ｓｉｎｙｅ－ｘ－ｙ是　的偶函数。　故选（Ａ）。　＾　解：积分区域Ｄ是一个圆心不在原点的　圆，为此作平移变换Ｙ＝ｙ一１，Ｄ的方程就变为　’　’　＋ｙ‘＝１例６：设函数　）连续，计算二重积分　白　，则有仁Ｉｌ（　一２）ｏｋｄｙ＝０　Ｄ　二重积分的计算是微积分学习中的重点，　也是一个难点，而对称性在积分计算中可以简　化积分的计算过程，利用对称性计算积分是一　种重要的积分计算技巧。在积分汁算中，根据题　目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积　函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果。　参考文献：　【１＋　＝一］　其中闭区域Ｄ由曲线ｙ＝　３ｙ＝１，　，１所围成。［４￣３６　解：积分区域Ｄ如图４所示。积分区域Ｄ尽　管不具有对称　＝一　＼　，／Ｄ／ｙ　’　／　　　一性，如果我们用　曲线ｙ＝　将积分　１　Ｄ　ｒ　区域Ｄ分割成Ｄ　和Ｄ，两部分，其　中右上部分Ｄ，关　『１刘玉链，ｌ１傅沛仁．数学分析讲义（下）【Ｍ】．北京：高　等数学教育出版社，２００８．　【２］华东师范大学系．数学分析（第３版）上册【Ｍ】．北　京：高等教育出版社，２００１（６）．　１１ｔ４积分区域Ｄ　于ｙ轴对称，Ｄ２关　于　轴对称，利用被积函数的奇偶性得：　【３龚冬保．数学考研典型题（３】数学一）【Ｍ】．西安：西安　交通大学出版社，２００４．　Ｊ　【１＋ｙＡｘ　＋ｙ２）］　ｄｙ＝Ｊ　ｙｄｘｄｙ＋Ｊ　ｘｙｆ　［４】李晋明．大学生数学竞赛指南［Ｍ】．北京：经济管理　出版社，２０１１（８）．　Ｔｈｅ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｓｙｍｍｅｔｒｙ　ａｎｄ　Ｒｅｌａｔｉｖｅ　Ｐａｒｉｔｙ　ｉｎ　Ｄｏｕｂｌｅ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　Ｑｕ　Ｈｏｎｇｐｉｎｇ，Ｙａｎｇ　Ｚａｉｒｏｎｇ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｂａｏｓｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂａｏｓｈａｎ，Ｙｕｎｎａｎ，６７８０００）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｒｏｕｇｈ　ｃａｓｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ａｐｐｌｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｙｍｍｅｔｒｙ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐａｒｉｔｙ　ｏｆ　ｉｎｔｅｇｒａｎｄ　ｉｎ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｓｕｍｍａｒｉｚｅｓ　ａ　ｆｅｗ　ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　ｓｙｍｍｅｔｒｙ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｙｍｍｅｔｙ；ｉｒｎｔｅｇｒａｌ　ｄｏｍａｉｎ；ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｐａｒｉｔｙ　一３８一