变耗散系数的柱Burgers方程和球Burgers方程的精确解_李向正

应用数学

MATHEMATICAAPPLICATA2017,30(2):392-395

变耗散系数的柱Burgers方程和球Burgers方程的精确解

李向正1,李伟1,王明亮1,2

(1.河南科技大学数学与统计学院,河南洛阳471023;2.兰州大学数学系,甘肃兰州730000)

摘要：根据简化齐次平衡原则,导出一个由线性方程的解到一个具变耗散系数的柱Burgers方程解的非线性变换.该线性方程容许有指数函数形式的解,因而借助所导出的非线性变换,获得一个具变耗散系数的柱Burgers方程的精确解.完全类似地,也获得一个具变耗散系数的球Burgers方程的精确解.

关键词：柱Burgers方程;球Burgers方程;简化齐次平衡原则;精确解中图分类号：O175.2AMS(2000)主题分类：34A05;47J35文献标识码：A文章编号：1001-9847(2017)02-0392-041.引言

柱Burgers方程和球Burgers方程对于在实验室条件下等离子体和非平面情形下的离子声波的研究有重要意义.文[1-2]指出柱Burgers方程1

ut+uux+uxx+u=0

2t和球Burgers方程

1

ut+uux+uxx+u=0,

t

尚未得到精确解,文[2]只给出了上述方程的近似解析解.本文将表明：若柱Burgers方程和球Burgers方程中二阶偏导数前的系数(耗散系数)依赖于变量t,则可选定耗散系数,使柱Burgers方程和球Burgers方程有精确解析解.本文将考虑如下形式的Burgers方程

m

ut+uux+g(t)uxx+u=0,m=1,2.

2t

当m=1时,得柱Burgers方程1

(1.1)ut+uux+g(t)uxx+u=0.

2t

当m=2时,得球Burgers方程

1

(1.2)ut+uux+g(t)uxx+u=0,

t

其中g=g(t)是待定函数.下面将用简化齐次平衡原则[3],确定g=g(t),并求出其精确解.

∗

收稿日期：2016-06-19

基金项目：国家自然科学基金(11301153),河南科技大学博士启动基金项目(09001562)作者简介：李向正,男,汉族,河南人,副教授,研究方向：非线性数学物理方程.

第2期李向正等：变耗散系数的柱Burgers方程和球Burgers方程的精确解

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2.柱Burgers方程的精确解

考虑方程(1.1)中非线性项uux和耗散项uxx之间的齐次平衡[4−8](2m+1=m+2→m=1),按照简化齐次平衡原则(用对数函数A(lnϕ)取代HB方法中的F(ϕ)),[3]可设柱Burgers方程(1.1)的解具有形式

x

u(x,t)=A(t)(lnϕ)x+,(2.1)

2t

x

这里函数A=A(t)和ϕ=ϕ(x,t)待定,2是方程(1.1)的一个特解.t将(2.1)式代入方程(1.1)的左端得

1

ut+uux+g(t)uxx+u

2t[()]

A∂1x

=A′+(lnϕ)x+A(lnϕ)t+A(lnϕ)2(lnϕ)x+g(t)(lnϕ)xxx+2t∂x22t()[()2]x

ϕ+g(t)ϕϕ+A∂Aϕxxxxt2t=A′+(lnϕ)x+A+−g(t)=0.(2.2)

2t∂xϕ2ϕ2只要A(t),g(t)及ϕ(x,t)满足条件

AAxA′+=0,−g(t)=0,ϕt+ϕx+g(t)ϕxx=0.(2.3)

2t22t

由(2.3)式可解出

kkA(t)=√,g(t)=√,k−任意常数.(2.4)

t2t利用(2.4)式,则(2.1),(2.2)式分别化简为kxu(x,t)=√(lnϕ)x+,(2.5)

2ttk1

ut+uux+√uxx+u=0.

2t2t只要ϕ=ϕ(x,t)满足线性方程xk

(2.7)ϕx+√ϕxx=0.

2t2t根据(2.5)-(2.7)式可得出结论:若ϕ(x,t)是线性方程(2.7)的一个解,将之代入(2.5)式就得到柱Burgers方程(2.6)的解.(2.5)和(2.7)式就构成了柱Burgers方程(2.6)的非线性变换.

易求出线性方程(2.7)的一个解:

λkλ2ξ

ϕ(x,t)=1+e,ξ=√x+√+C,λ,C为任意常数.(2.8)

tt由线性方程的叠加原理,方程(2.7)还有多重解:

N∑λikλ2ξi

ϕ(x,t)=1+e,ξi=√x+√i+Ci,i=1,2,···,N,λi,Ci为任意常数.(2.9)

tti=1

ϕt+将(2.8)式代入(2.5)式得柱Burgers方程(2.6)的一个解kλξx+kλλkλ2

u(x,t)=tanh+,ξ=√x+√+C.

2t22ttt将(2.9)式代入(2.5)式得柱Burgers方程(2.6)的多重解

N∑

λieξi

xλikλ2ki=1

+,ξi=√x+√i+Ci,i=1,2,···,N.u(x,t)=N∑ξt2ttt1+ei

i=1

(2.6)

(2.10)

(2.11)

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应用数学2017

3.球Burgers方程的精确解

理由和柱Burgers方程的相同.设球Burgers方程(1.2)的解具有形式

x

u(x,t)=A(t)(lnϕ)x+,(3.1)

t(c+lnt)x

其中函数A=A(t)和ϕ=ϕ(x,t)待定,c是常数,t(c+ln=u0是方程(1.2)的一个特解.t)将(3.1)式代入方程(1.2)的左端得

1

ut+uux+g(t)uxx+u

t()[]

A∂Ax′2

=A+(lnϕ)x+A(lnϕ)t+(lnϕ)x+(lnϕ)x+g(t)(lnϕ)xx

t∂x2t(c+lnt)[(()2])x

AϕxA∂ϕt+t(c+lnt)ϕx+g(t)ϕxx

=A′++−g(t)=0.(3.2)(lnϕ)x+A

t∂xϕ2ϕ2只要A(t),g(t)及ϕ(x,t)满足条件

AAxA′+=0,−g(t)=0,ϕt+ϕx+g(t)ϕxx=0.

t2t(c+lnt)由(3.3)式可解出

kk

A(t)=,g(t)=,k−任意常数.t2t将(3.4)代入(3.1),(3.2)及(3.3)式的最后一个方程,得kx

u(x,t)=(lnϕ)x+,

tt(c+lnt)

ut+uux+

只要ϕ=ϕ(x,t)满足线性方程xk

ϕx+ϕxx=0.(3.7)

t(c+lnt)2t

(3.5)和(3.7)式就构成了球Burgers方程(3.6)的非线性变换.易求出线性方程(3.7)的一个解:

λkλ2ξϕ(x,t)=1+e,ξ=x++C,λ,C为任意常数.(3.8)

c+lnt2(c+lnt)

及多重解:

N∑λikλ2iξi

ϕ(x,t)=1+e,ξi=x++Ci,i=1,2,···,N,λi,Ci为任意常数.(3.9)

c+lnt2(c+lnt)i=1

ϕt+将(3.8)式代入(3.5)式得球Burgers方程(3.6)的一个解

ξ2x+kλλkλ2kλ

tanh+,ξ=x++C.(3.10)u(x,t)=

2t(c+lnt)22t(c+lnt)c+lnt2(c+lnt)

将(3.9)式代入(3.5)式得球Burgers方程(3.6)的多重解

N∑

λieξi

kλikλ2xi=1i

u(x,t)=,ξ=x++Ci,i=1,2,···,N.+iN∑t(c+lnt)t(c+lnt)c+lnt2(c+lnt)

1+eξi

i=1

(3.3)

(3.4)

(3.5)(3.6)

k1uxx+u=0.2tt

(3.11)

第2期李向正等：变耗散系数的柱Burgers方程和球Burgers方程的精确解

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参考文献：

[1]XUEJK.Cylindricalandsphericalion-acousticsolitarywaveswithdissipativeeffect[J].Physics

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LIXiangzheng1,LIWei1,WANGMingliang1,2

(1.CollegeofScienceandStatistics,HenanUniversityofScienceandTechnology,Luoyang471023,China;2.DepartmentofMathematics,LanzhouUniversity,Lanzhou730000,

China)

Abstract:Basedonthesimplifiedhomogeneousbalanceprinciple,anonlineartransformationthat

formsthesolutionofalinearequationtothesolutionofacylindricalBurgersequationwithvariabledissipativecoefficienthasbeenderived.Sincethelinearequationadmitsanexponentialtypesolution,substitutingitintothenonlineartransformationderivedhere,wehavehadtheexactsolutionofthecylindricalBurgersequationwithvariabledissipativecoefficient.ThismethodcanbeusedtoobtaintheexactsolutionofasphericalBurgersequationwithvariabledissipativecoefficienttoo.

Keywords:CylindricalBurgersequation;SphericalBurgerssolution;Simplifiedhomogeneousbalancemethod;Exactsolution