回到只有坐标不对易的情况。非对易...

浙江大学硕士学位论文 目 录 中文摘要 . . 英文摘要 第一章引言

第二章非对易几何和非对易空间的表示??~??一??一. .非对易几何及其性质?一~?一??一一 .非对易量子力学的坐标变换 第三章非对易量子力学

.非对易空间中的谐振子和角动量?一?一.非对易效应对量子力学中相位的修正.

.非对易空间中的氢原子??一?一?. 第四章总结 参考文献

感谢. 浙江大学硕士学位论文 『 摘要

最近几年来,人们在对弦论的研究中发现,在某些低能近似下,空间具有

不对易的特性。这促使人们投入大量精力展开对非对易理论的研究。而对非对易

理论的研究,最直接的想法就是研究非对易量子力学系统。

本文主要研究了非对易空间的量子力学,从非对易量子力学的对易子开始, 研究了用对易的坐标和动量来表示非对易的坐标和动量,从而把问题从非对易空

间转化到对易空间。

接着用前面得到的表示方法,来研究了几个量子力学系统。先研究了非对易 的谐振子和角动量,发现在坐标和动量都不对易的时候会出现一个零点角动量,

只有当两个非对易参数都不为零时,零点角动量才不为零。接着研究了非对易空

间中的量子力学相,给出了非对易效应对相位的修正。最后研究了非对易空间中

的氢原子,给出了非对易效应对氢原子能级的修正,发现氢原子能级差将会加大,

当考虑到动量也不对易时,能极差将会进一步加大。浙江大学硕士学位论文,..

. , .

, . . . ,.

. , ,. , . , . 只/?, 髓.

浙江大学硕士学位论文 第一章引言及背景

众所周知,世纪物理学最大的两个发现是相对论和量子力学。他们的正确性 已经得到很多实验的证明。其中量子力学的核心观点是将粒子的正则坐标和正则动

量,用厄米算符毫,磊来代替,粒子的坐标和动量不能同时精确测量,即坐标算

符和动量算符满足如下的海森伯对易关系: 毫,色访磊壳.×小

这里引入了非对易的概念。厄米算符满足如下的不确定关系缸卸≥去。这样普

通的相空间就由量子相空间来代替。粒子状态就不能再用普通相空间中点的概念来

描述,而是用普朗克元来代替,普朗克元的大小约为壳。除共轭变量之间存在非对

易关系外,很多情况下甚至动量之间也存在着非对易关系,如考虑质量为‖

的带电

粒子在沿方向的磁场中的运动。矢势以可以取为 ≯ 一砂圭礅

带电粒子的哈密顿量可以写为 膏去斜吲去睑一詈盈岛一詈勾朗

其中多为粒子的正则动量,此时的机械动量为户户一里量,以证明 乓,耷旦,即此时粒子的动量是不对易的。 ‖

现有的对微观尺度物理现象的描述最成功的理论是量子场论,如利用量子电动力学

【,】计算电子的朗德因子,理论结果与实验结果在小数点后的

位有效数字精确相等,这样高的精确度在物理理论的预言中是没有过的。利用量

子场论计算物理量时,圈图贡献部分要对虚粒子动量积分,这个积分往往是发散的。

积分中紫外发散给人们带来了很大的困扰,可观测的物理量不可能是无穷大。为了

浙江大学硕士学位论文

解决这个发散问题,人们提出了很多种办法。世纪年代海森伯提

出用格点结构来代替连续的时空结构,但是格点结构将会破坏洛伦兹不变性。

首先提出了在极小尺度下用一个非对易结构来引入一个截断,这个做法很 类似于格点结构,但是优点在于能同时保持洛伦兹不变性。后来随着费曼 ,施温格和朝永振等人发展和完善了重整化理

论,很有效地理了量子场论中的紫外发散问题,这导致非对易理论很大程度上被遗

忘了。重整化理论中的正规化方法有多种,紫外截断,泡利.维拉斯. 正规化,和维度正规化等。其中紫外截断和泡利.维拉斯正规化过程中都要引入一个

大的动量截断人,这个量的引入是人为的,人们希望这个量的引入能够有个自然的

方法。考虑傅立叶变换,在动量空间的一个大的动量截断,就对应于坐标空间中距

离有个小的截断。一般的,人们认为这个小的距离单位是普朗克长度, .’删。即要求坐标具有不确定性。而描述具有不确定性的量的一个 。.

重要数学工具就是非对易。这是我们讨论非对易时空上的物理的一个重要原因。

另一个引入非对易效应的动机在对量子引力的研究上。爱因斯坦的广义相对论认为,

引力是时空几何结构的反映,时空几何结构是由时空中的物质分布决定的。连续的

黎曼时空几何描述的是经典的引力理论,在包含引力的量子理论中,

人们相信时空几何的性质必然要发生变化。量子引力中的不确定关系说明了人们不

可能测到比普朗克长度更小的距离,因为测量这么小的尺度所需要的能量或动量已

经改变了将要测量的时空的性质。也就是说坐标具有不确定性。我们希望非对易的

时空能够反映引力的量子化。

除了物理上的考虑,有些数学家也开始讨论非对易几何在物理学中的应用了。

冯.诺依曼提出用非对易几何来代替对易几何,最近十几年,.,】等人发 展完善了数学上的一个分支非对易几何,并将其应用于了物理问题的讨论。非对易

空间上的场论及非对易规范场都是首先由他们提出的。正如纤维丛理论之于规范场

理论,非对易几何提供了一个数学工具来描述量子化时空。

近年来人们对弦论【,,】的研究发现,时空的非对易特性是膜动力学在 恒定磁场存在情况下的低能极限的重要性质。正是这一重大进展,促使人们投入

浙江大学硕士学位论文

大量精力重新展开对非对易时空的研究。

人们对非对易时空的研究一个较为直接的想法是研究非对易量子力学,获得非

对易性在低能情况下的现象,从而给人们以指导去更深入的研究非对易时空。

本文主要结构如下。第二章讨论如何将对易空间和非对易相空间中的坐标和动

量用普通的对易空间中的坐标和动量来表示,第三章给出非对易效应对量子力学系

统的修正。第四章给出总结和讨论 浙江大学硕士学位论文

第二章非对易几何和非对易空间的表示 .非对易几何及其性质

传统的观点认为一个几何空间是建立在流形的概念的基础上,流形是由一系列

∈的点来标记的,些点的坐标满足条件‖∈。但是,一般性认为,把时 空看做一个流形的的话,在极小的尺度,也就是普朗克长度三.×朋的 尺度下将会分破坏掉。这表示我们处理高能物理的数学观点需要做出改变。更准确

的说,我们传统的几何观点可能不适合描述极小尺度下的物理。有很多种代替的方

法出来,其中之一就是把普通的对易空间用非对易空间来代替。 对于空间尺中的维可对易代数,其函数间的定义为函数的点乘积。假 定函数的任意阶倒数在无穷大处为,则任意函数厂可用它自身的傅里叶变换 进行变换

.

夕庀一/耐厂

人们通常采用.对应的方法来使得彤维非对易空间和尺为对易空间一 一对应,方法如下。

定义匆符号访【厂】,对于给定的函数和傅里叶系数,其形式如下 .

这里选择对称的匆算符顺序描述,例如访蹦叫,当厂是实函数时, 算符是厄米算符。

利用.式可以将.式用厶的形式写成算符和场之间有明确对应 蜘/如眦习 .

浙江大学硕士学位论文 酗/高鼬。却‘ 亿,

算符.是厄米的,即厶厶,它描述了空间上算符和场量的混合基。 用这种形式,我们可以将场/解释为算符的坐标空间表示。而且在坐标 对易的情况下扩,这样.就化为一个万函数万舅一,并且有 符是一个非常繁琐的场算符。 访【/】脚厂曼。但是当秒驴≠时,

通过定义如下交换关系的反厄米线性微分算符含来引进算符函数的导数 亿, .彩

碱

由定义以直接导出 .

,,厶一,公

将上式应用到.并用分部积分得到 净,谛叫她四厶扛内 .

从.也可以得出幺正算符确表示的平移生成元,其中,其中,∈,并且 难矗一岛一∞ .

性质.含有这样的意思,对于定义在算符代数上任意轮换迹乃公 不依赖于变量.当选择归一化乃公时,.的迹可以由一个空间积分唯 一给出 . 【厂】‖

在这种意义下,算符的迹等价于非对易坐标毫的积分。注意到厶不是场代数中

的一个元素,所以它的迹不是由.所定义的,它可简单认为是一个时空场量 和算符间的变换无,它的迹由归一化确定。 算符公在不同点的积可以利用.公式来计算 浙江大学硕士学位论文 彬‖一抄髟‖量’一

.∞

结合.可以得到

知妒一言一’知弓一掣卅‖ 厶厶劬/曲‘潍

静岢,如懈‘厶一妒瞒一讽一刮一.. .

如果秒是可逆的这时要求时空维数必须是偶数,可以明确计算出上式对动 量后和’的高斯积分得蛰 四厶∽高以翰‘妒%驴叫四

特别地,利用迹的归一化和秒叫的反对称性,从.可知对于任意的∈。 算符厶

构成一组正交归一集 厶霉鼬。一们 .

此式和.意味着厂专访【/】是可逆的,其逆变换式为 “

厂乃访【厂】公

以这种方式从一个量子算符获得函数厂通常称之为分布函数。因 此,公提供了一个从场到算符上一一对应关系。我们称为 对应。

非对易几何的基础是建立在将对易空间种的乘法变形为非对易的毒乘法,其形式为

厂水巳知厂

。: 厂寺吃‖

对于?乘积,有一些很有用的恒等式。设/和是维非对易空间中的两个任意函 数.

浙江大学硕士学位论文 /陟尼弦触 二 . 尼≯触

中‖吼,。通过以上 则薯并嗡/,。 关系我们可以得到。

宰/乳卜口,因此厂木肘,口厂宰秒一/木一口 『/木木

如果我们用.来表示共轭,么六厶宰厂厶 如果是另外一个任意函数,那么 厂木木木木办木

『厂木水办』办堆厂木矽且木宰厂 厂木木口办木木厂一口

这其实就是我们所熟悉的在量子力学中的量子化过程,就像把泊松括号变成正则的

对易关系,相空间上的函数变成了希尔伯特空间中的算符。在描述下,同形 的代数表达式为

厂七胛矿后妙 万 .

夕七一矿后妙 万

即在非对易空间中我们将在对易量子力学中的算符加上来代替,就得到非对易量

子力学的对应表示。 .非对易量子力学的坐标变换

一般对易窄间下的量子力学满足下列的对易关系 浙江大学硕士学位论文 【,,】. 【,】 ,乃】磊

而在非对易空间下,上述的对易关系变为 【毫,】岛 .

【磊,多,】 【毫,,】访

当坐标和动量同时不对易时,上述对易关系变为 【毫,毫】一岛 .

【,色】岛 【毫,色】△『

△『是依赖于岛和岛的小量。 其中岛和岛是全反对称矩阵,

将研究如何把非对易空间中的坐标和动量用对易空间中的坐标和动量来表示,一旦

找到了这些表示,就可以把非对易的问题变换到我们熟悉的对易空间中去。 当只有坐标不对易时,设毫岛,磊,则此时的变量‘并峨满足 誓,■】【,】,】访岛 当坐标

回到了对易空间中的对易关系,所以此时有毫而一去岛乃, 和动量同时不对易时,设 . :乃 ’唾

将.代入.中有

浙江大学硕士学位论文 戤嗣魄呀 血嗣芸慨 烈;硒% 烈尝硒% .

要满足此时的对易关系,自然的有口一三,此时△驴等我们可以看到

当‖秒时,将回到我们所熟悉的对易的情形。这样毫和磊可以表示为 毫毛一去% 晓, 盼七去瞄

有了以上的表示我们就可以把非对易空间中的量子力学现象转化到我们所熟悉的

对易空间的量子力学下去了。浙江大学硕士学位论文 第三章非:汕易量子力学 弗阜 纲星,亍

关于非对易量子力学,已经有很多人进行过研究【,, ,,下面我们来研 究几个典型的量子力学系统 .非对易空间中的谐振子和角动量

在维非对易空间下,谐振子的哈密顿量形式是【】 . ● ● 堕∑耐瞩

其中‖和分别是振子的质量和角频率。 将交一寺,,去。得酗 疗去盟池‖壳/国卜鲁池一警 去霄‖国去厥%岛一一去艮岛乃 七警告叩伸.

下面看一下当力时的非对易空间的谐振子和角动量的情形 .

疗去霞茸互脚冉夕 根据.有

浙江大学硕士学位论文 一??‖矽.......??‖, ’

交一?? ,参二? Ⅲ

七丽 多磊 ,一丽扫 ,一去 将.带入.有 疗面 方等 ,‖, 蚴 :、 其中 雨磊靠 击蠢方

竿正而孺而五万磊忑≮丽 //

可以看到此时的哈密顿量分为了两部分,第一部分是我们所熟悉的对易空间中的

谐振子哈密顿量 . 髓风等

.

第二部分是非对易效应对应的哈密顿量巩%‖

因为%吼,所以非对易空间的谐振子哈密顿量疗可以对角化。 .

日壳三元一三 .缈

舢士锄%店口训浙江大学硕士学位论文 伍

舭时脯振讹谱为壳 守壳吃互

我们看到当护‖时,,谐振子回到对易空间的形式。 下面我们来看一下二维非对易空间中的角动拿

一轰岛一差斋一轰见以乏斋 冯一轰一轰彳蚬 一轰昙露蛾

一煅一去‖少秒蠢方 .

以看到此时得到的角动量表达式很类似于前面得到的二维谐振子的哈密顿 量,角动量可以分为两部分 厶△觋一煅 .

岛一去夕秒霞方

类似于哈密顿量可以得到【厶,厶】,所以可以对角化。三可以表示为 .?,

三壳‘Ⅳ圭壳Ⅳ三 其中?确‖华

浙江大学硕士学位论文 令

卜?//。。/。 : .

此时的角动量可以写为壳三壳吃丢。这样我们可以清晰的

看到有一个零点角动量厶,√万,我们可以看到当‖时,零点角动量为 ,也就是说只有在坐标和动量都不对易时,才会有零点角动量出现。 .非对易效应对量子力学中相位的修正 .效应

下面先简单回顾一下对易空间中的效应。阿哈罗诺夫和玻姆

在下图所示的双缝试验中,在双缝装置后面紧临处放置一个细长的螺线管,管内部

通有磁场,磁通量为①,在管外,磁场强度,但是矢势彳≠这时人们发现 两束粒子之间将会出现一个相差△痧譬。①叮么?,随着磁通量变化。 ’ ,

.相差△痧也发生变化,所以干涉花纹也会发生变化,这个现象已经在试验中观测到。

浙江大学硕士学位论文 ~效应 .. ,

疗毫,沙日五~ , 疗毫,沙日五一. ,.,/ \\ /

当粒子在磁场中运动时,哈密顿量应该包括其矢势,这样哈薛定谔方程就改写为

.

疗毫,,五妙印

其中非对易空间中的矢势殳缸,其中。。 取壳,五蒡咄将缸一万岛乃【】带入可以得到 .

一圭%,『三岛岛.,。 薛定谔方程可以写为 ,

日薯一三岛乃,,圭嘞局.,沙印 浙江大学硕士学位论文

这样就得到了用对易空间的算符来表示的薛定谔方程。

现在设在双缝试验中粒子质量为,电量为,矢势为,其薛定谔方程可以 写为 .

去卜识一如蚂卜印

类比对易空间中的情形,可以得到此薛定谔方程的解为 .

少‰冲幻 .产

其中‰是在粒子源处的解,上式中的相位项就是所谓的像 .

△九占△丸△‰幻叮如叮岛局.,如

式中的第二项是非对易效应对像的修正。设粒子的速度为,则 岛蚂一互 岛一以¨ 面去易一“一 去易一科。秒 .

代入△九中可以得到 △九口叮吨詈叮岛朋蚂.,噍

考虑三维的非对易空间,,,,,定义一个矢量秒幺,幺,岛,其中 岛‰幺,△九曰中的第二项可以写为下面的形式 浙江大学硕士学位论文 出

,

摹§;删如

坐力%.,如似×乳№ .

第三项可以写为 等§忿铷雩嘛∽呐

等叮皖%.,也等叮秒?彳×%地 .

这样就可以把△九口写为如下的形式 △虹幻叮也詈叮聊秒?×%‘彳×耻胁 .

可以看到第二部分为非对易效应对相的修正。当时,回到

下面考虑动量和坐标同时不对易的情况,,因为二匀舅,则仍然和只有坐标不 对易的情况一样。矢势匀变换为一互%易 三岛易.,,此时 的薛定谔方程为 .

疗毫,,沙印

把毫,,按照相应的变换带入,可以把薛定谔方程写为 疗而一去秒驴乃,去岛乃,丢%易.,妙印 .

浙江大学硕士学位论文

在磁场中运动的粒子的哈密顿量可以写为取壳

疗去扣一知叭,

妇三岛孵岛删此时的彳聃可以写为 △爹§趣

幻心如三岛蚂:三叮岛如 刮脚“ 棚小.川 ’乒 专§ .

对比只有坐标不对易的情况可以看到此时的像出现了一个关于‖的修正 . 筠瞄

当‖时,回到只有坐标不对易的情况。 非对易空间中的绝热相

下面先来简单介绍一下普通对易空间的绝热相。 对一个含时的哈密顿量来说,设其瞬时的本征方程为 . 日沙%,

浙江大学硕士学位论文

其中%是包含在内的一组力学量完全集的共同本征态。为瞬时

能量本征值一般要随时间变化,作为本征态%具有相位不定性。对于哈密顿 量含时的体系,能量不守恒,不存在严格的定态,体系会发生量子跃迁,一般情况

下,妙应该表示为所有%的叠加 九莓巳 ? 彬肛.

上式中表示在时刻测得体系处于%的概率。一般情况下‖ 很难求解,

需要采用近似方法来处理,但是如果哈密顿量随时间变化足够缓慢则可以用量子

绝热定理【】处理。

量子绝热定理县说:在如果体系的含时哈密顿量随时间变化足够缓慢,设体 .

系的初态沙%

则在时体系将保持在相应的瞬时本征态沙,,上。

接着来讨论一下量子绝热定理成立的条件,把妙的表达式带入含时薛定谔 .

方黝昙№Ⅳ№

并利用日沙瓦%,可以得到 缈肛 访莓和?

访;一.;啪弦’掣。,

用‰左乘上式,可以得到浙江大学硕士学位论文 Ⅲ‖坼∽掣 一%五掣 一脬肼

瞰Ⅲ,肌掣 .

绝热定理成立的条件是上式中只有刀肌一项不为零,其余刀≠的项都为,在一

级绝热近似下。刀≠朋项可以略去的条件为 壳五掣 .

该式的意义为体系的瞬时本征态随时间的变化频率比体系的能量随时间的变化频

率

下要小的多。

浙江大学硕士学位论文 , 乜,

将瞬时能量本征方程对微分,得到 ,

瓢∽叫掣矿 小/色掣 用‰左乘,可以得到 删瓢∽毛五掣卜扣三,

综合以上,可以得到量子绝热定理适用的条件是 壳五掣 壳‰嘲‰

. 一色

当满足此条件时,体系从瞬时能量本征态‰跃迁到所有刀≠脚的瞬时能量本浙江大学硕士学位论文

征态妙,,的概率可以忽略,因而能保证体系处在与,相对应的瞬时能量 本征态‰,如下图所示

如果体系随时间变化足够缓慢,能保证量子绝热近似条件,则式就化为 %\\ ‘ , ‰嘲‰ 壳‰ 一已 五掣∽掣. .

积分后得到 .

件即叫掣辨。,

因此如果体系初态妙‰,在绝热近似中所有刀≠聊的项都可以忽 略,因而 .

沙,栅’’‰

其吲垆一云嘶帆∽堰∽掣净吲归是通

常的动力学相,它只依赖于瞬时本征能量瓦随时间的变化,在哈密顿量不含时

的情况下, 厶不随时间变化, 口/。与此不同

础声沁,掣净?一为唧椰浙江大学硕士学位论文 于五掣

一随时间的变化。

下面证明‰为实数,利用‰‰,对微分可得 , 五掣掣∽ ∽

所以五掣∽掣.

哈密顿量随时间的变化,一般是由哈密顿中所含参量随时间变化而来,设控制哈密

顿量随时间变化的

参量为尺尺。如果经历一个周期后,,在参数空间画 出一条闭合曲线. 竹净霹七掣净嗔们积

. .

其吲舻也四掣。

下面来研究一下非对易空间中的绝热像问题。

非对易空间中的哈密顿量一般形式可以写为也丢圣,其中 采用微扰展开的办法可以得到 曼缸,

浙江大学硕士学位论文 辟秒毒秒磋%九∑%目磁 打≠七

%秒秒%‘’汐%‘..?. . .

一砉掣血疗

其中缸一寺岛乃,对‰展开到一阶近似有 .

以譬毛尝缸风

其中风等而为普通对易空间中的哈密顿量。用微扰论可以得到非对易 空间哈密顿量的本征能量和本征态为 霹秒霹秒?一 %吮∑秒磁 .

.

其中%秒秒%‘’秒%‘’..?. 对一级微扰,可以得到 秒’%%秒 % %吮口∑酬么 七≠刀 . .

荆甜嘴警。

设任意时刻的波函数为刊掣 则

,,、、,,、、 丸荟%钏么研 %训荟%秒% .

此时的绝热相为 出 ∽力 砂 篓¨百 村 ,. 嘶 / 批

讧广与 ∞∑脚 。匹描 ,%■, .. 哆一叫℃ 以百憾 ..匮 ,

嘶掣 ,,‘ /\\●¨一谚 叫凹∑胁 ∑胁∑梳胁 叭、、,四、 ∑锄叫 胯情 刳 .

略去秒的二阶项,可以得到 心声出五刳

雪西倭凹四掣 麾碟?掣 写在参数空间中,可以表达为 沙

凹 哆, %玎 衍 秒 搬 厂 沙 沙 、、, 叮 广七尺

沙 甜 露 %七 ∑砌∑撕

厂●●●●●●●、、●●●●●【 、●●●●●●●,●●●● 拍浙江大学硕士学位论文 .

非对易空间中的效应

年,和带有磁偶极矩的中性粒子在一个

存在无限长均匀带电导线的区域里运动,类似于效应,这两束粒子 之间将会出现一个相差,这就是通常所说的效应,这个相差称为 相。设无限长导线处在方向,则其产生的电场可表示为 .

豇环锄叠谚

对自旋的带有磁偶极矩粒子,设露‖矛为粒子的磁偶极矩, 矛,呸,巳,为×的泡利矩阵。粒子的拉格朗日量可以写做 .

‖一呻一气币 即曙

或者可以写成上妒纱‖吼少一聊咖一弛万.局‰少。正是拉格朗日量的最 后一项产生了效应。利用欧拉一拉格朗日方程可以得到 ,

,二‖%沙。 .

或者吮‖一谚?瓿一朋妙 上式中罗,,厂,矩阵按如下定义 ,

肛三≯三甜

定义沙阿%,其中‰是狄拉克方程纱声钆/的解,口是一个待定浙江大学硕士学位论文

矩阵,厂是不含时的变量相位。将%一影妙带入狄拉克方程得到 .

抬矿‖一矿‖

矿厂‖一矿一口‖厂少一所沙 与欧拉一拉格朗日方程:较可以得到 ‖乃巨彪巨‰乃差圪考口 一‖陋警轰矧障圪珈嘶, . 。

关一‖忘‖%一‖丢‖,‖%一‖ 似 要‖巨 .

/矿‖一矿‖缈专纱‖‖沙 .

记矿‖一矿一口‖厂缈寸,‖?豆‰

对左边做泰勒展开, 得到 第一个式表示口厂‖一矿‖,

‖弩矿广一科吖‖击一丌吖声??。所以第一个 .

式子成立的条件为口,声

口可以认为是,乃,以,以以和.,专以,以的组合,但是口以以口不

允许乃,,乃同时出现在口中。但是如果我们在一个平面内考虑问题,则是有可能

满足的。这说明效应只在二维空间下产生。如果我们考虑粒子运动的平面为 平面,则第二个式子中只会出现出现,,这里我们取一仉,,‰。其中浙江大学硕士学位论文

主以

第二个式子可以表示为肜?豆‰罗?耵口将上面的口,带入可以得到 .缈

‖乃臣如易‰乃篆圪考口 一‖雌警铡强%》嗽, 一 叫

矿一锄 ? 可一砂 ~ 。

咿 ,

矽一锄 一 ? 矿一砂

一‖巨呸最巨:吼巨 . ‖巨 ‖.

所以可以得到互瓦呸一‖岛吒一峨吒,互万 .

所以一‖色,孚‖巨 卵

由此我 以得到相为

驴一阿砜‰叮可加‖三胁出一。, 设为方向的单位矢量, 则可以把 相写为 驴‖门三№×豆?咖

下面来看一下非对易空间中的效应浙江大学硕士学位论文 当坐标个对易时,

此时的,筇将有一个相匝的改焚 .

%曼%缸%丢缸%‖乃或% 相应的可以得到 。 。

要‖户/?‖丢‖.,‖岛一‖铅『/最 譬

.,叭‖巨一‖铅扩,巨 。 。 要‖户/,/ 厶 .

上两式的第二项代表了非对易效应 由此,可以得到非对易效应对相的修正为 △丸一导‰‖叮铅驴易.,最出一叮‖铅扩.,巨咖 妒

一 ‖阻§∞。哂翌 . .

根据【,】可以得到耽聊屹豆×哥口, 则非对易效应对相的修正为

△九一厂。仃铷扩叮册豆×皿,,易出一或巨咖刀

考虑坐标和动量都不对易的情况,此时的欧拉一拉格朗日方程为 .。

驴互厂尾.,‘互‖%妙。 .

△≯一三叮岛‘如浙江大学硕士学位论文 非对易空间中的氢原子

在非对易空间中,氢原子的哈密顿量 “

,疗??一旦盟一兰一.,将,带入得到、 “一 型锄? 立厮 严 垦丝一. .

可见在非对易空间下库仑势的形式变为 厂一譬。警。秒一等。等。秒, 做泰勒展开,可以得到 、

,.一吾 厂壳 厂 ,

一斗等‘川、】 \\ ,

一。尝。秒 ,. . 则

定义岛%皖,

晰一。警。一譬名笳。秒 ‰,

根据微扰论可以得到,非对易效应对氢原子能级的一级修正为 浙江大学硕士学位论文 红

皈一刀饿磊?厂. .

如果取岛,而秒的其余分量为。则?秒。能级修正化为 皈一门缎石 砌一刀饿丢丝亭坐力红 .

酬咧咖蚺良叠 .

所以协:圳办:吐壳千六一以正,这样非对易效应对氢原子能级所 做出的修 . ,

正为皈一下‖砉丘干上 , . 舯驴下莉

以为电子的康普顿波长。

这样当能级在只之间跃迁时,在对易情况下跃迁只取决于的量子数,而所有的修正来自于场论的圈图。在非对易情况下,除了普通的圈图效果,还取决

于丘的量子数,并且由于非对易出现了一种新的跃迁渠道’/抛?》/,这样 兄专,就分成了两部分孑/和丘右佗专,,这说明非对易 考虑动量也不对易时,此时磊忍去岛~,则 聊 朋 』 川 壳 , 华纠卜, 筹一一

定义岛寺啄展,得到 互

去一警去一篙竽 .

土业 ..上一坐 、 刀红。取屈‖,

可见动量不对易将会对氢原子能级产生一个修正聆璇不磊. 且其余分量为 .

则三?夕乞‖。所以”『红丽. 红刀.刀红 协:三:饿丘壳千六咿厶矗所以 刀饿篇慨磊刀缎阱红卫丘壳千六一‰ .

浙江大学硕士学位论文 。千赤磊一 址一博‖烈 蚴

一睁、‖私一一蛾

将能级计算到秒项,此时矿,.一了彳霉歹翥万乏丽‘? 哟

吩寸可嘭一警乱挚

根据上面的约定,上式可化为 . .

考虑‖的二阶项, 土华一.叫 丝一 .抛 饭

‖的二阶项对能级顺献为红型浙江大学硕士学位论文 第四章总结

本文从研究非对易量子力学的坐标变换入手,获得了用对易的坐标和动量的 研究非对易的坐标和动量的方法,这样就把非对易空间的问题转换成了我们所熟

悉的对易空间的问题,

接着本文对几个量子力学系统进行了研究,先研究了非对易空间中谐振子和 角动量问题,在用对易的坐标和动量来写出非对易空间的角动量时发现此时将会

出现一个零点角动量,当非对易参数等于时,零点角动量将会消失。接着研究 了量子力学中相位的问题,先研究了绝热相,给出了非对易效应对 相的修正。接着研究了非对易空间中的效应和效应,在考虑坐标不对易 的基础上,考虑了坐标和动量同时不对易的情况,给出了非对易效应对效应 和效应的修正。最后研究了非对易空间中的氢原子的能级现象,在非对易空 间中,对于位移来说,不仅有只左陀墨,,还有,Ⅳ专墨/,增

加了两个跃迁之间的能级宽度。在考虑了动量不对易后,发现跃迁能极差会进一

步变大。浙江大学硕士学位论文 参考文献

【】.. ?,..;,... ..

【】.. ?/;.. .,/;. .,/ .,. /;.. 【】.,...,/ .,/;. .. . 【】

. . 【】 , ... ,

【】.. .,..【】..., ; .,.. , :/ 【】.,.., 【】 ,..,/ . .. 【】 , ,... 【】 ,.. ,./ ... 【】..,., , ,/ 【 , 【】..... 【...., ....

【】.浙江大学硕士学位论文 【

】..,... ,?. 【 ..,.... 【.,?..., ,/ ,. 】. .. .】 ..

【 ... ; , , ,.. 】.. ../ 】 , ..., ,? ,. 【】 , , . ,.