(新课程)高中数学《2.3.1数学归纳法》导学案 新人教a版选修2-2

学习目标

1. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;

2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书

写;

3. 数学归纳法中递推思想的理解.

学习过程 一、课前准备 （预习教材P104~ P106，找出疑惑之处） 复习1：在数列{an}中，

aa11,an1n,(nN*)，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式.

1an

复习2：f(n)n2n41，当n∈N时，f(n)是否都为质数？

二、新课导学 学习探究

探究任务：数学归纳法

问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?

新知：数学归纳法两大步：

（1）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立;

（2）归纳递推：假设n=k（k≥n0， k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.

1试试：你能证明数列的通项公式an这个猜想吗?

n

反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.

关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立.

典型例题

例1 用数学归纳法证明

122232n2n(n1)(2n1),nN*

6

变式：用数学归纳法证明

1427310n(3n1)n(n1)2,nN*

小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.

例2 用数学归纳法证明:

首项是a1,公差是d的等差数列的通项公式是ana1(n1)d,前n项和的公式是

n(n1)Snna1d.

2

变式：用数学归纳法证明:

首项是a1,公比是q的等差数列的通项公式是ana1qn1,前n项和的公式是a1(1qn)Sn.(q1)

1q

小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题. 动手试试

练1. 用数学归纳法证明:当n为整数时, 135(2n1)n2

练2. 用数学归纳法证明:当n为整数时, 12222n12n1

三、总结提升 学习小结

1. 数学归纳法的步骤

2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.

知识拓展

意大利数学家皮亚诺总结了正整数的有关性质,并提出了关于正整数的五条公理,后人称之为“皮亚诺公理”.数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理.

学习评价

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 用数学归纳法证明：

1an22n11aaa(a1)，在验证n1时，左端计算所得项为

1aA.1 B.1aa2 C.1a D.1aa2a3 2. 用数学归纳法证明

(n1)(n2)(n3)(nn)2n13(2n1)(nN*)时，从n=k到n=k+1，左端需要增

加的代数式为

2k12k3A. 2k1 B. 2(2k1) C. k1 D. k1 3. 设

111f(n)(nN*)，那么f(n1)f(n)等于（ ）

n1n22n11A. 2n1 B. 2n2

1111C. 2n12n2 D. 2n12n2

2{a}a,a,a猜想an Snan(n2)，nn4. 已知数列的前n项和而a11，通过计算234，

1122{x}x5. 数列n满足x11,x2，且（n2），则n .

3xn1xn1xn 课后作业 1. 用数学归纳法证明: 1111n 133557(2n1)(2n1)2n1

2. 用数学归纳法证明:

11n2(n1)3(n2)n1n(n1)(n2)

6