机械能守恒和圆周运动的结合2010—2011

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一、知识回顾

1、机械能守恒定律

（1）守恒条件：只有 和 做功

（2）表达式：EK1+Ep1=

（3）解题步骤：习题1 （1）

①、选取研究对象——物体系或物体。

②、根据研究对象经历的物理过程，进行 分析、 分析，判断机械能是否守恒。

③、恰当地选取 ，确定研究对象在过程的 、 状态时的 。

④、根据机械能守恒定律列方程，进行求解。

2、运用圆周运动向心力公式的技巧：

（1）公式（请写出F向与v，ω，T三个物理量的关系式）：

（2）解题技巧：习题1（2）

公式左：做受力分析，寻找 的来源。

公式右：根据题目出现的 、 、 选择公式。

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二、习题

1、如图所示把一个质量为m的小球用细线悬挂起来，形成一个摆，摆长为L，最大偏角为θ，小球从静止释放，求：

（1） 小球运动到最低位置时的速度是多大；

（2） 小球运动到最低位置时绳子的拉力是多大。 θ

2、如图所示，用长为L的轻绳，一端拴一个质量为m的小球，一端固定在O点，小球从最低点开始运动，若小球刚好能通过最高点，在竖直平面内做圆周运动，求： （1） 小球通过最高点的向心力； （2） 小球通过最高点的速度； O （3） 小球通过最低点的速度。

L （4） 小球通过最低点时受到绳子的拉力。

v

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3、AB是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，在下端B与光滑水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，求

A A O （1） 小球运动到B点时的速度；

（2） 小球经过光滑圆弧轨道的B点和光

滑水平轨道的C点时，所受轨道支

C B 持力FNB、FNC。

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课题：机械能守恒和圆周运动的结合

教学目标

提高学生对机械能守恒和圆周运动向心力公式两个知识点的运用能力，学

会将两个知识点有机地结合起来进行解题。通过习题的实践，教师的引导，使学生学会如何将知识进行整合和迁移。

教材分析

重点：机械能守恒定律，圆周运动向心力的来源。

难点：机械能守恒定律和圆周运动向心力两个知识点的综合运用。

教学过程

前面我们学习了机械能守恒定律，那么机械能守恒的条件是什么？ 只有重力和弹簧弹力做功

只有重力做功等同于物体仅受重力吗？只有重力做功可能出现几种情况？ （课件）

只有重力做功：

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①、物体仅受重力，只有重力做功——自由落体、抛体运动；

②、物体除受重力外，还受其他外力的作用，但只有重力做功。——摆球摆动的过程、小球冲上光滑圆环。

情况2中的摆球、小球冲光滑圆环物理模型属于圆周运动，而且它们指向圆心的力都有一个共同特点——不做功，只有重力做功，满足机械能守恒定律，因而在实际运用中常把这两个知识点糅合起来，对同学们进行考查，这就是我们今天要讲的内容——机械能守恒和圆周运动的结合。

首先，让我们一起来回顾一下机械能守恒和圆周运动的一些重要的知识点，完成学案知识回顾。

一、知识回顾

1、机械能守恒定律

（1）守恒条件：只有重力和弹簧弹力做功 （2）表达式：

Ep1Ek1Ep2Ek2

1122mgh1mv1mgh2mv2

22注意：

①、h——相对于零势面的高度 ②、零势面的选取： （课件）

一般选地面；为了解题方便，很多时候选物体运动的最低点，例如摆球、圆形轨道选最低点。

③、在图中明确定位初、末位置（可用A、B、C点表示），列出对应状态下面的Ep和Ek。

（3）解题步骤

①、选取研究对象——物体系或物体。

②、根据研究对象经历的物理过程，进行受力分析、做功分析，判断机械能是否守恒。

③、恰当地选取参考平面（零势面），确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。

④、根据机械能守恒定律列方程，进行求解。 通过习题1 （1）回顾机械能守恒的解题步骤。 2、运用圆周运动向心力公式的技巧：

刚才有部分同学完成了习题1（1）后已经进入了第二问的解答，那么解答第二问时是否还是继续用机械能守恒定律？由于模型是圆周，所以要用到之前的圆周运动的公式，习题1（2）（定点A）＋最低点的向心力由什么力提供？（拉力等于重力吗？）

解答计算题时一定要对模型进行受力分析，还要有必要的文字表述 （1）公式：

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v22π2 F向＝mmω2rm()r

rT① ② ③

公式左 公式右

（2）解题技巧：

公式左：受力分析，寻找向心力的来源； 公式右；根据题目出现的v，ω，T选择公式

实际上，真正与机械能守恒有关联的是公式1

分析习题1的解答过程，知识运用：机械能守恒→圆周运动，通过习题1的解答过程，我们将曾经学到的圆周运动和机械能守恒定律这两个知识点的运用有机地结合起来。

下面我们通过习题2、3加深我们对这两个知识点的整合运用的认识。 待会请一些同学上台演示解答过程。（投影），总结解题规律。 解题的时候一定要进行模型的分析、还要有必要的文字表述。

二、习题

4、如图所示把一个质量为m的小球用细线悬挂起来，形成一个摆，摆长为L，最大偏角为θ，小球从静止释放，求：

（1） 小球运动到最低位置时的速度是多大；

θ （2） 小球运动到最低位置时绳子的拉力是多大。

解：

（1）∵整个过程指向圆心绳拉力不做功，只有小球重力做功 ——机械能守恒和圆周运动的结合

∴机械能守恒，以最低点（B）为零势面 小球离零势面高度为hLLcos

初状态——起始点A点 vA0 末状态——最低点B点

12mghmvB

2 vB2gh2gL(1cos)

a)

小球运动到最低点受重力mg，绳子的拉力T

vF向B＝TmgmB

r2Tmg(32cos)

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2如图所示，用长为L的轻绳，一端拴一个质量为m的小球，一端固定在O点，小球从最低点开始运动，若小球刚好能通过最高点，在竖直平面内做圆周运动，求：

（1） 小球通过最高点的向心力； （2） 小球通过最高点的速度； O （3） 小球通过最低点的速度。

L （4） 小球通过最低点时受到绳子的拉力。

解： v （1）∵小球恰能通过最高点（A点）

∴在最高点时小球只受重力

最高点的向心力 F向A＝mg （2）根据 F向AvmgmA

L2公式左

公式右

求得 vAgL

（3）整个过程，小球在重力和绳的拉力作用下做圆周运动，指向圆心拉力

不做功，只有重力做功。——机械能守恒和圆周运动结合 ∴机械能守恒，以最低点（B）点为零势面

1122mg2LmvAmvB

22vB5gL

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（4）F向BvTmgmB

L22vTmBmg

LT6mg

3、AB是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，在下端B与光滑水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，求

A O （1） 小球运动到B点时的速度；

（2） 小球经过光滑圆弧轨道的B点和光

滑水平轨道的C点时，所受轨道支

C B 持力FNB、FNC。

解：

（1）∵从A下滑到B的过程，轨道对小球指向圆心的支持力不做功，只有小球重力做功——机械能守恒和圆周运动结合

∴机械能守恒，以BC为零势面

12 mgRmvB

2 vB2gR

（2） 从A到B小球做圆周运动

F向B＝FNBvmgmB

R22gR3mg R 小球从B到C做匀速直线运动

FNBmgm FNCmg

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三、小结机械能守恒和圆周运动的结合的解题技巧 1、根据题意，确定研究对象，建立模型

2、对研究对象进行受力分析，做功分析，判断机械能是否守恒，分析向心力的来源（由那些力提供）

3、确定零势面，初、末状态的机械能（定点列出初、末状态的Ep和Ek）

4、根据机械能守恒和圆周运动的规律列方程联合求解

小结：解题中易漏易错点

四、知识迁移

这节课我们介绍了如何将两个知识点有机地结合起来解答题目的方法，其实机械能守恒定律、圆周运动这些知识点还可以跟更多的其他类型的知识点整合在一起，例如平抛运动、牛顿第二运动定律。

今天的作业是练习卷的习题4、5，导学，同学们尝试一下自己能否独立地把上述的知识点糅合在一起，综合解题。

4一质量m=2Kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R=1m的光滑圆环，如图所示，试求（g=10m/s2）

（1） 小球滑至圆环底部时对环的压力；

A C （2） 小球滑至圆环顶点时对环的压力；

（3） 小球至少应从多高处由静止滑下才能刚好越过h R B 圆环最高点．

解：

图5-25 （1）∵从A下滑到B的过程，斜面对小球的支持力不做功，只有小球重力做功

∴机械能守恒，以B点所在的水平面为零势面

初状态——起始点A vA0

末状态——最低点B

12 mghmvB

2 vB2gh

v F向B＝NBmgmB

R2 NBmgm2gh2h23.5mg(1)210(1)160(N) RR1（2）∵从A到C的过程，只有小球重力做功

∴机械能守恒，以B点所在的水平面为零势面

初状态——起始点A vA0

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末状态——圆环最高点C

12 mghmg2RmvC

2v F向C＝NCmgmC

R2v2h23.5 NCmCmgmg(5)210(5)40(N)

RR12 （3）刚好能越过最高点，小球在最高点只受重力

v2 根据 F向mgm

R 求得 vgR

1 mgh/mg2Rmv2

2 h/2.5R2.512.5(m)

5、如图所示，半径R＝0.4m的光滑半圆环轨道处于竖

B 直平面内，半圆环与粗糙的水平面相切于圆环的顶点A。

一质量m＝0.10kg的小球以初速度v0＝7.0m/s在水平地面上向左做加速度的大小为3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环，求（g=10m/s2）

（1） 小球到达端点A时的速度；

（2） 小球是否能到达圆环的最高点B；

A （3） 如果小球能够到达圆环的最高点，求小球通

过B点的速度和小球对B点的压力；

（4） 小球冲上竖半圆环，最后落在C点，求A、C间的距离。 解：

（1）∵小球在水平面做匀减速直线运动 ∴a＝－3.0m/s2

vAv02as

22v C vAv02as722(3)45(m/s) （2）假设小球能冲上光滑圆环，根据机械能守恒定律

1122mvAmg2RmvB 22代入数字可得

vB3m/s

2设小球到达最高点B的最小速度为vB最小，此时小球重力充当向心力

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v根据 F向mgmB最小

R2 求得 vB最小gR2m/s

∵ vBvB最小

∴ 小球能到达最高点B

（3）vB3m/s

v F向＝NmgmB

Rv NmBmg1.25N

R22根据牛顿第三定律 N’=N=1.25N 方向：竖直向上

（4））小球冲上半圆环从B点以水平速度抛出，在重力的作用下，做平抛运动，最终落在C点

1h2Rgt2

2t4Rt40.40.4(s) 10xBCvBt30.41.2(m)

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