隆化县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

一、选择题

1． 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（ ） A．0

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ B．0或

C．

或

D．0或

2． 自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果： ①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟 ②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟 ③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟 ④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟 根据上述调查结果，下列结论错误的是（ ） A．没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生 B．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C．报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟 D．报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟

xy03． 已知不等式组xy1表示的平面区域为D，若D内存在一点P(x0,y0),使ax0y01，则a的取值

x2y1范围为（ ）

A．(,2) B．(,1) C．(2,) D．(1,)

4． 从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

，则

的值是（ ）

5． 已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且A．

B．

C．

D．0

6． 设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4=5S2，则的值为（ ）

A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±2或﹣1 D．±1或2

7． 若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A．3

B．2

C．3

D．4

8． 若集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x＞2}，则A∩B=（ ） A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞1}

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9． 在等差数列{an}中，a3=5，a4+a8=22，则{A．

B．

C．

D．

}的前20项和为（ ）

10．设f(x)是偶函数，且在(0,)上是增函数，又f(5)0，则使f(x)0的的取值范围是（ ） A．5x0或x5 B．x5或x5 C．5x5 D．x5或0x5 11．已知F1，F2分别是双曲线C：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C上存在点P使

∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（ ） A．

+1

B．2

C．

D．

12．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A．

B．y=x2 C．y=﹣x|x| D．y=x﹣2

二、填空题

13．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则数列的通项an= ．

14．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时．

15．对于集合M，定义函数

对于两个集合A，B，定义集合A△B={x|fA（x）fB（x）

=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为 ． 16．已知线性回归方程 17．抛物线

的准线与双曲线

=9，则b= ．

的两条渐近线所围成的三角形面积为__________

18．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一 个红球的概率为 ．

三、解答题

19．已知函数f（x）=sinx﹣2（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间[0，

sin2

]上的最小值．

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20．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长 线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；

（2）求证：PA是圆O的切线．

21．已知数列{an}满足a1=，an+1=an+（Ⅰ）

＜

；

**

（n∈N）．证明：对一切n∈N，有

（Ⅱ）0＜an＜1．

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ax12f()是定义在（-1，1）上的函数,

1x225（1）求a的值并判断函数f(x)的奇偶性

22．已知函数f(x)（2）用定义法证明函数f(x)在（-1，1）上是增函数；

23．已知数列{an}的首项a1=2，且满足an+1=2an+3•2n+1，（n∈N*）． （1）设bn=

，证明数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}的前n项和Sn．

24．（本题满分13分）已知函数f(x)（1）当a0时，求f(x)的极值；

（2）若f(x)在区间[,2]上是增函数，求实数a的取值范围.

【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题，本题渗透了分类讨论思想，化归思想的考查，对运算能力、函数的构建能力要求高，难度大.

25．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|． （Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；

2

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣log2（a﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．

12ax2xlnx. 213第 4 页，共 16 页

26．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为．

（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；

（Ⅱ）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．

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隆化县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

2

【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x，

22

∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）=（﹣x）=x=f（x），

又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，

又直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：

当a=0时，直线y=x+a变为直线l1，其方程为：y=x，显然，l1与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；

当a≠0时，直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y=x+a与函数y=f（x）相切，切点的横坐标x0∈[0，1]． 由

2

得：x﹣x﹣a=0，由△=1+4a=0得a=﹣，此时，x0=x=∈[0，1]．

综上所述，a=﹣或0 故选D．

2． 【答案】D

【解析】集合A表示报考“北约”联盟的学生，集合B表示报考“华约”联盟的学生， 集合C表示报考“京派”联盟的学生，集合D表示报考“卓越”联盟的学生，

ABADBCA 由题意得，∴BC， ðDBDCDUðUDB选项A．BD，正确； 选项B．BC，正确；

选项C．AD，正确． 3． 【答案】A

B=C第 6 页，共 16 页

【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D如图所示，先求zaxy的最小值，当a时，a1211111（,），zaxy在点A取得最小值a；当a时，a，zaxy在点B取（1,0）222331a11得最小值a．若D内存在一点P(x0,y0),使ax0y01，则有zaxy的最小值小于1，∴2或

33a11a2，∴a2，选A． 11a133y11B(,)33OA(1,0)x 4． 【答案】B

【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到， 这三个事件是相互独立的， 第一次不被抽到的概率为， 第二次不被抽到的概率为， 第三次被抽到的概率是，

∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是故选B．

5． 【答案】A

【解析】解：取AB的中点C，连接OC，∴sin

=sin∠AOC=

=

，则AC=

，OA=1

=，

所以：∠AOB=120° 则

•

=1×1×cos120°=

．

故选A．

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6． 【答案】C

【解析】解：由题设知a1≠0，当q=1时，S4=4a1≠10a1=5S2；q=1不成立． 当q≠1时，Sn=

，

4222

由S4=5S2得1﹣q=5（1﹣q），（q﹣4）（q﹣1）=0，（q﹣2）（q+2）（q﹣1）（q+1）=0，

解得q=﹣1或q=﹣2，或q=2．

=

=q，

∴=﹣1或=±2．

故选：C．

【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解决本题的关键．

7． 【答案】A

=3

，

【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线， ∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0， ∴两直线的距离为

=

，

+

∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值

∴AB的中点M到原点的距离的最小值为故选：A

【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．

8． 【答案】A

【解析】解：∵A={x|1＜x＜3}，B={x|x＞2}， ∴A∩B={x|2＜x＜3}，

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故选：A．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

9． 【答案】B

【解析】解：在等差数列{an}中，由a4+a8=22，得2a6=22，a6=11． 又a3=5，得d={=

故选：B．

10．【答案】B

}的前20项和为：

=

，∴a1=a3﹣2d=5﹣4=1．

．

考

点：函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y轴对称，单调性在y轴两侧相反，即在x0时单调递增，当x0时，函数单调递减.结合f(5)0和对称性，可知f(5)0，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1

11．【答案】A

【解析】解：如图，∵∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1， ∴∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°， 设|PF2|=x，则|PF1|=∴2a=

，|F1F2|=2x，

，2c=2x，

=

．

∴双曲线C的离心率e=故选：A．

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【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．

12．【答案】D 【解析】解：函数

为非奇非偶函数，不满足条件；

函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件； 函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；

函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件； 故选：D

【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】 2n﹣1 ．

n

【解析】解：∵a1=1，an+1=an+2， ∴a2﹣a1=2， a3﹣a2=22， …

an﹣an﹣1=2n﹣1，

23n1

相加得：an﹣a1=2+2+2+2…+2﹣，

an=2n﹣1，

n

故答案为：2﹣1，

14．【答案】 0.9

【解析】解：由题意，

故答案为：0.9

15．【答案】 {1，6，10，12} ．

=0.9，

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【解析】解：要使fA（x）fB（x）=﹣1， 必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A} ={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}， 所以A△B={1，6，10，12}． 故答案为{1，6，10，12}．

【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题． 16．【答案】 4 ．

【解析】解：将代入线性回归方程可得9=1+2b，∴b=4 故答案为：4

【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．

17．【答案】

【解析】【知识点】抛物线双曲线 【试题解析】抛物线双曲线所以故答案为：18．【答案】【

的准线方程为：x=2;

的两条渐近线方程为：

8 9解

析

】

【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用P(A)1P(A)求解较好．

复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，(x,y)可以看成是有序的，如1,2与2,1不同；有

三、解答题

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19．【答案】

【解析】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2=sinx﹣2=sinx+

×cosx﹣）﹣

=2π；

sin2

）﹣．

∈[﹣

，2﹣

]，

=2sin（x+

∴f（x）的最小正周期T=（2）∵x∈[0，∴x+

∈[

]，

，π]，

∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+

]上的最小值为：﹣

∴可解得f（x）在区间[0，

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．

20．【答案】

又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．

可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC． ∴

∵G是AD的中点，即DG=AG． ∴BF=EF．

（2）连接AO，AB．

∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．

由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点， ∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB． 又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO． ∵BE是圆O的切线，

∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°， ∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．

，得

．

【解析】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．

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【点评】本题求证直线是圆的切线，着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质和圆的切线判定定理等知识，属于中档题．

21．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）∵数列{an}满足a1=，an+1=an+∴an＞0，an+1=an+∴

*

∴对一切n∈N，

（n∈N），

*

＞0（n∈N），an+1﹣an=

*

＞0，

， ＜

*

．

＜

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对一切k∈N，∴

∴当n≥2时， =＞3﹣[1+=3﹣[1+=3﹣（1+1﹣=

，

， ）

] ]

，

∴an＜1，又

*

∴对一切n∈N，0＜an＜1．

【点评】本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用，注意不等式性质的灵活运用．

22．【答案】（1）a1，fx为奇函数；（2）详见解析。

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【解析】

1ax2212试题分析：（1）f所以a1，则函数fx，函数fx的定义域为1,1，a，211x25514xx关于原点对称，又fxfx，所以函数fx为奇函数；（2）设x1,x2是区间221x1x1,1上两个不等是实数，且x1x2，则xx2x10，yfx2fx1x21x12x11x22x2x1

1x221x121x1x2221x2x1x1x2x1x2x2x11x1x2，因为

1x1x22211x1x22212221x11,1，x21,1，

且x1x2，所以1x1x21，则1x1x20，所以区间1,1上为增函数。

x2x11x1x201x1x，即y0，所以函数fx在

122试题解析：（1）fa所以a=1， 255定义域为1,1,关于原点对称，且fxx1x2xfx,所以fx为奇函数； 21x（2）设x1,x2是区间1,1上两个不等是实数，且x1x2，则xx2x10

因为x11,1，x21,1，且x1x2， 所以1x1x21，则1x1x20，所以即y0，

x21x12x11x22x2x11x1x2x2x1 yfx2fx12222221x21x11x21x11x21x1x2x11x1x201x1x2221，

所以函数fx在区间1,1上为增函数。 考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性。 23．【答案】 【解析】解：（1）∵∴数列{bn}是以（2）由（1）可知∴

①

②

①﹣②得：

为首项，3为公差的等差数列．

，

=

，

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，

∴

．

【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用定义法和错位相减法是解决本题的关键．

24．【答案】

【解析】（1）函数的定义域为(0,)，因为f(x)12ax2xlnx，当a0时，f(x)2xlnx，则2111.令f'(x)20，得x.…………2分 xx2所以x,f'(x),f(x)的变化情况如下表：

111x (0,) (,) 222f'(x) 0 － ＋ f'(x)2f(x) 所以当x↘ 极小值 ↗ 11时，f(x)的极小值为f()1ln2，函数无极大值.………………5分

22

25．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）原不等式等价于或或

，

解得：＜x≤2或﹣≤x≤或﹣1≤x＜﹣， ∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤2}． （Ⅱ）不等式f（x）﹣

＞2恒成立⇔

+2＜f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|恒成立⇔

+2＜f（x）min恒成立，

∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4， ∴f（x）的最小值为4， ∴即

+2＜4， ，

解得：﹣1＜a＜0或3＜a＜4．

∴实数a的取值范围为（﹣1，0）∪（3，4）．

26．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A，B， ∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为， ∴

，

和

．

，

∴甲队以4：2，4：3获胜的概率分别为

（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7， ∴

，P（X=6）=

7 ，P（X=7）=

，

∴随机变量X的分布列为

X 5 6 p ． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，独立重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．

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