高中数学教案选修2-2《2.3 数学归纳法(1)》

教学目标：

1．理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤．

2．通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法．

教学重点：

掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法． 教学难点：

能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

教学过程：

一、预习

1．问题：很多同学小时候都玩过这样的游戏，（教具摆设）就是一种码放砖头的游戏，码放时保证任意相邻的两块砖头，若前一块砖头倒下，则一定导致后一块砖头也倒下，这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下（这种游戏称为多米诺骨牌游戏）．

思考 这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下：

（1）__________________________________________________； （2）__________________________________________________． 思考 你认为条件（2）的作用是什么？

思考 如果条件（1）不要，能不能保证全部的骨牌都倒下？

a2．我们知道对于数列{an}，已知a1＝1，且an＋1＝n（n＝1，2，3…）通

1＋an1过对n＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为an＝，但归

n纳推理得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明．

要证明这个猜想，同学们自然就会从n＝5开始一个个往下验证，当n较小时可以逐个验证，但当n较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n取所有正

整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．

1思考？你认为证明数学的通项公式是an＝，这个猜想与上述多米诺骨牌游戏

n有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？

多米诺骨牌游戏原理 （1）第一块骨牌倒下． 1通项公式an＝的证明方法 n（1）当n＝ 时，猜想成立 （2）若当n＝ 时，猜想成立，即 ，则当n＝ 时，猜想也成立，即 ． 根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立． （2）若第k块倒下时，则相邻的第k＋1块也倒下． 根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下． 证明：（1） ． （2）假设 ，

3．小结．

数学归纳法的定义：

一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立．

（2）（归纳递推）假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数都成立．

上述证明方法叫做数学归纳法． 用框图表示为：

验证n＝n0时命题成立． 若n＝k (k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立． 归纳奠基 归纳递推

注 这两个步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步骤（2），就做出判断可能得出不正确的结论，因为单靠步骤（1），无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤（2）而缺少步骤（1），也可能得出不正确的结论，缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了．

二、课堂训练

例1 证明等差数列通项公式an＝a1＋(n－1)d．

例2 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2． 例3 用数学归纳法证明 12＋22＋32＋…＋n2＝练习：

用数学归纳法证明：－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn． 三、巩固练习

n(n＋1)(2n＋1)（n∈N*）．

6命题对从n0从开始所有的正整数n都成立． 1－an＋21．用数学归纳法证明：“1＋a＋a＋＋a＝a≠1，n∈N”

1－a2n＋1在验证n＝1成立时，左边计算所得的结果是 ．

111＋＋＋1)等于 ． ，则f(k＋n＋1n＋23n＋113．用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)．

3n(n＋1)4．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1．

22．已知：f(n)＝四、小结

重点：两个步骤、一个结论；

注意：奠基基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉． 五、作业

课本P94第1，2，3题．