工科数学分析期中考试试题及答案

 第1页 （共5页） 一、 填空题： 填空题： 331. f(x)=ln(1+sinx)+arcsin(x)在x=0处的导数f′(0)= ；2 22. 2. limx(x+100+x)= ；−50 x→−∞an+1(2n)!43. 设an=n ，则 lim= ； n→∞nn!ane±21f(x+h)−f(x−h)45==， 00x0 =4. f(x)=ln(1+x)，已知lim h→0h5225. 设f(x)=sgnx,lim[()]g(x)=1+x2，则g[f(x)]= ,x→0gfx= ； ⎧2x≠0g[f(x)]=⎨ limg[f(x)]=2 x→0⎩1x=0 6．若f(x)=limt→x⎛x−1⎞⎝⎜t−1⎠⎟1x−t，则f(x)的连续区间为 . f(x)=e1x−1 连续区间为x≠1 二、 填空题： 填空题： 1．当x→0时，下列函数中，哪一个是其它三个的高阶无穷小(    （C） ) x4 （A） 1000 ； （B）1−cosx ； （C）ln(1−x) （D）arctanx 232．若曲线y=x+ax+b和2y=−1+xy在点(1,−1)处相切，其中a,b是常数,则（ （D） ） b=−3； b=−2； （B）a=1,  （A）a=0,  b=−1 b=1； （D）a=−1,  （C）a=−3,   ⎧1x2x≠0,⎪sin,3. 设函数f(x)=⎨,则正确的结果是（ ）（C） x⎪=x0⎩0,（A）f在[0,1]上不一致连续； 处可导, x=0是f'(x)的连续点； （B）f在x=0处可导, 第2页（共5页） 页） （C）f'(x) 在(−∞,+∞)上有界，x=0是f'(x)的第二类间断点； x→0f'(x)不存在，所以f'(0)不存在 （D）因为lim4. 下列命题中正确的一个是（ 下列命题中正确的一个是（ （D） ） 中最大的数； （A）设s是数集E的上确界，则s必是数集E中最大的数； （B）若有界数列{a}中有一个子列收敛，则{a}必是收敛的数列； nn必是收敛的数列； （C）数列{a}有唯一的极限点，则{a}必是收敛的数列； nn必是收敛的数列； （D）设数列{a}单调递增，{b}nn单调递减，且an≤bn，n∈N+， 则对∀m,n∈N+， am≤bn成立. 三、 计算题 三、 计算题 1．limx→0tanx−sinx32 . 13x−tanx−sinx=6limsinx(1cosx)=6lim2=333 =lim11x→0x→0x0→xxxcos⋅tanx⋅x232 2(n)(1+tanx−1)(1+x−1)y=xxlnxxyx2.若 =y′2xln(2lnx+1)(). +x=， 求y′′=2lnx+3y(n) =(2lnx+3)⎧(n−2)=2(−1)n−3(n−3)!d2ydx2xn−2. x=f(t)3．设 ⎩⎨y=tf(t)−f(t)dy(t−1)f′(t)+f(t) =dxf′(t)′′d2y=d(t−1)f(t)+f(t)=d(t−1)f(t)+f(t)⋅dt 2dxdxf′(t)dtf′(t)dx2=2f′(t)−3f(t)f′′(t) f′(t)，其中f′′(t)存在，且f′(t)不为零， 求 第3页（共5页） 页） (e+e)tanx4．求函数f(x)=x(e−e)1x1x在区间[-π, π]内的间断点,并判断其类型. 并判断其类型. 间断点：x=0，x=1，x=±f(0+0)=lim+x→0π2 f(0−0)=lim+x→0(e+e)tanx11x=1,(e+e)tanx1x1x=−1 f(x)=lim limxx→1→1x(e−e)(e+e)tanx1xxx(e−e)1x=∞,x(e1−e)(ex+e)tanxlim=∞.πf(x)=limπ1x→±x→±22x(ex−e) ⎧1−cosaxx<0,,⎪xx=0,在(−∞,+∞)内处处可导，b的值，使函数f(x)=⎨0, 5．确定a, ⎪ln(b+x2)⎪,x>0x⎩并求它的导函数. 并求它的导函数. ln(b+x2)2→0+→0+ln(b+x)=0，则b=1x=f(0)=0，所以，xlim因f(0+0)=xlim ⎧axsinax−1+cosaxx<0,,⎪2x⎪⎪f′(x)=⎨ 22x2⎪xln(1)−+⎪1+x2x2,x>0⎪⎩+−cosax12)ln(11x′=1f−′(0)=lim=a2 由f′(0)f′(0)af+(0)=lim+−22，=±2 =−+x→0x→0xx2f′(0)=1 第4页（共5页） 页） 四、 证明题 四、 证明题 xxx1x2,恒有f(x1+x2)=ef(x2)+ef(x1)，且f′(0)=2，证1.设可导函数f(x)对任意实数12x明：f′(x)=f(x)+2e. x1=x2=0⇒f(0+0)=e0f(0)+e0f(0)⇒f(0)=0 x1=x,x2=∆x⇒ ∆x∆xxxf(x+∆x)−f(x)ef(∆x)+ef(x)−f(x)e[f(∆x)−f(0)]+(e−1)f(x) ==∆x∆x∆xf(x+∆x)−f(x)exf(∆x)+e∆xf(x)−f(x)f′(x)=lim =limx0∆x→0∆→∆x∆xx[(∆)−(0)]+(e∆x−1)f(x)efxf=lim=exf′(0)+f(x) ∆x→0∆x 2．根据柯西收敛原理，叙述{a}n发散的充要条件，并应用它证明数列111󰀢+α当α≤1时发散． α+α+n23ε{a}发散⇔∃ε>0,∀n∈N,∃p∈N,∂a−a>=nnpn00 +++an=1+∵an−an+p=1α+󰀢+1α≥1+󰀢+1≥p n1n+pn+p(n+1)(n+ap)+1nNpna ∴∃0=,∀∈+,∃=,n−n+p>=22nNmN{a}发散⇔∃ε>0,∀∈,∃∈,∂a−a>=ε nmn00++ a13．设数列{x}满足条件x>0，x=(2x+),(n=1,2,...)，其中a>0为常数，ε1n1n+1n2xn3证明limxn存在，并求出极限值． n→+∞a1∵xn+1=(2xn+2)≥3a,(n=1,2,...)∴{xn}有下界 xn3xn+11axxn又 ∵=(2+3)≤1,(n=1,2,...) ∴n+1≤n,(=1,2,...) xx3a1设limxn=A，将xn+1=(2xn+2),n→+∞xn3a1A=(2A+2)⇒A=3a A3故nlimxn存在。 存在。 →+∞nn(n=1,2,...)两边求极限 第5页（共5页） 页） 4． 设f(x)∈C[a, x→+∞+∞)， 若xlimf(x)=A，且存在x0∈[a,+∞)，使得→+∞→+∞f(x0)>A， 证明f(x)在[a,+∞)上有最大值． 上有最大值． f(x)0,∂x>X,∂显然x0∈[a,X]，又f(x)∈C[a,X]，故 ，故 ∃x1∈[a,X]f(x1)=maxf(x)≥f(x0) 故f(x)在[a,+∞)上有最大值． 上有最大值．

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