绝对值大全(零点分段法、化简、最值)

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即|x|=x(x0)cxc(c0)，有|x|x(x0)(c0)xc或xc(c0)|x|>cx0(c0)

xR(c0)2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化|x|c(c>0)来解，如|axb|>c(c>0)可为axb>c或

axb<－c；|axb|对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a≤|x|≤ba≤x≤b或－b≤x≤－a”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。 3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x|=x可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法，是指：若数x1，x2，……，xn分别使含有|x－x1|，|x－x2|，……，|x－xn|的代数式中相应绝对值为零，称x1，x2，……，xn为相应绝对值的零点，零点x1，

22x2，……，xn将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上

的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。 5利用数形结合去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于|xa||xb|m或|xa||xb|m(m为正常数)类型不等式。对

|axb||cxd|m(或二、如何化简绝对值

绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。

（一）、根据题设条件

例1：设（A）

化简（B）

?（C）可知

的结果是（??）。

?（D）

思路分析：由可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待

合并整理后再用同样方法化去．

解：

∴应选（B）．

归纳点评?只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．

（二）、借助数轴

例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式等于（?）．

（A）

?（B）

?（C）

?（D）

的值

思路分析?由数轴上容易看出对值符号扫清了障碍．

解：原式∴应选（C）．

，这就为去掉绝

归纳点评?这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：

1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．

3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． （三）、采用零点分段讨论法 例3：化简

思路分析?本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于

的正负不能确定，由于x是不断变化的，所

以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论．

解：令部分（如图）

①当∴?原式②当∴原式

时，

时,

，

得零点：

；令

得零点：

，把数轴上的数分为三个

③当∴?原式

时，，

∴

归纳点评：虽然

的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正

是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：

1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．

3．在各区段内分别考察问题．

4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案． 误区点拨?千万不要想当然地把得出错误的结果． 三、带绝对值符号的运算

?????在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手：

?????（一）、要理解数a的绝对值的定义。

在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。

?????（二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。

等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免

从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。

?????（三）、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。

1、对于形如︱a︱的一类问题

只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。 当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a=0时，︱a︱=0(性质2：0的绝对值是0)；

当a<0时；︱a︱=–a(性质3：负数的绝对值是它的相反数)。

2、对于形如︱a+b︱的一类问题

首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。

当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b)=a+b(性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a+b=0时，︱a+b︱=(a+b)=0(性质2：0的绝对值是0)；

当a+b<0时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b(性质3：负数的绝对值是它的相反数)。

3、对于形如︱a-b︱的一类问题

同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。

但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b。

口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。

4、对于数轴型的一类问题，

根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b。

5、对于绝对值符号前有正、负号的运算

非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！ 6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算

??万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小于0的整体前面加负号。 四、去绝对值化简专题练习

（1）?设

（A）

化简?（B）

的结果是（?B?）。 ?（C）

?（D）

的值等于

(2)?实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式（?C）。 （A）(3)?已知(4)?已知(5)?已知

?（B），化简，化简

，化简

?（C）

?（D）

的结果是x-8。 的结果是-x+8。

的结果是-3x。

且

，那么

(6)已知a、b、c、d满足

a+b+c+d=0（提示：可借助数轴完成）

(7)若

（A）

，则有（?A?）。 ?（B）

?（C）

?（D）

化简结果为

?（B）

?（C）

?（D）

(8)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子（?C?）．

（A）

(9)有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，中负数的个数是（B?）．

（A）0?（B）1?（C）2?（D）3 (10)化简

=

(1)-3x(x<-4)(2)-x+8(-4≤x≤2)(3)3x(x>2) (11)设x是实数， （A）y没有最小值

（B）有有限多个x使y取到最小值 （C）只有一个x使y取得最小值

（D）有无穷多个x使y取得最小值 五、绝对值培优教案

绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：

下列四个结论中正确的是（?D?）。

a(a0)l．绝对值的代数意义：a0(a0)

a(a0)2．绝对值的几何意义从数轴上看，a表示数a的点到原点的距离(长度，非负)；

ab表示数a、数b的两点间的距离．

3．绝对值基本性质

①非负性：a0；②abab；③

aa2(b0)；④aa2a2． bb培优讲解

（一）、绝对值的非负性问题

【例1】若x3y1z50，则xyz。 总结：若干非负数之和为0，。 （二）、绝对值中的整体思想

【例2】已知a5,b4，且abba，那么ab=． 变式1.若|m－1|=m－1，则m_______1;若|m－1|>m－1，则m_______1; （三）、绝对值相关化简问题（零点分段法） 【例3】阅读下列材料并解决有关问题：

x我们知道x0xx0x0，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化x0简代数式x1x2时，可令x10和x20，分别求得x1,x2（称1,2分别为x1与x2的零点值）。在有理数范围内，零点值x1和x2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

（1）当x1时，原式=x1x22x1; （2）当1x2时，原式=x1x23； （3）当x2时，原式=x1x22x1。

2x1综上讨论，原式=32x1x11x2 x2通过以上阅读，请你解决以下问题：

（1） 分别求出x2和x4的零点值；（2）化简代数式x2x4 变式1.化简(1)2x1；(2)x1x3；

变式2.已知x3x2的最小值是a，x3x2的最大值为b，求ab的值。 （四）、ab表示数轴上表示数a、数b的两点间的距离．

【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2，3与5，2与

6，4与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___.

（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离

可以表示为______________.

（3）结合数轴求得x2x3的最小值为，取得最小值时x的取值范围为___. （4）满足x1x43的x的取值范围为______. （5） 若x1x2x3（五）、绝对值的最值问题

【例5】（1）当x取何值时，x3有最小值？这个最小值是多少？（2）当x取何值时，

x2008的值为常数，试求x的取值范围．

5x2有最大值？这个最大值是多少？（3）求x4x5的最小值。（4）求x7x8x9的最小值。

【例6】．已知x1,y1，设Mxyy12yx4，求M的最大值与最小值． 课后练习：

2(ab1)|ab1|1、若与互为相反数，求3a2b1的值。

2．若

ab12(ab1)与互为相反数，则a与b的大小关系是()．

A．abB．abC．abD．ab

3．已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，1，一l，那么A．A、B两点的距离B．A、C两点的距离

C．A、B两点到原点的距离之和D．A、C两点到原点的距离之和 4.利用数轴分析

a1表示()．

x2x3，可以看出，这个式子表示的是x到2的距离与x到3的距离

之和，它表示两条线段相加：⑴当x时，发现，这两条线段的和随x的增大而越来越大；⑵当x时，发现，这两条线段的和随x的减小而越来越大；⑶当x时，发现，无论x在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值，且比⑴、⑵情况下的值都小。因此，总结，

x2x3有最小值，即等于到的距离

5.利用数轴分析

x7x1，这个式子表示的是x到7的距离与x到1的距离之差它表示

两条线段相减：⑴当x时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；⑵当x时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；

⑶当x时，随着x增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。 因此，总结，式子

x7x1当x时，有最大值；当x时，有最小值；

9．设abc0，abc0，则

bccaababc的值是（）．

A．-3B．1C．3或-1D．-3或1 10．若x2，则

11x；若

aa，则

a1a2．

12．设a、b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且abc，则

abbcca可能取得的最大值是．

4、当b为______时，5-

2b1有最大值，最大值是_______

当a为_____时，1＋|a+3|有最小值是_________.

5、当a为_____时，3＋|2a－1|有最小值是________；当b为______时，1-|2＋b|有最大值是_______.

2、已知b为正整数，且a、b满足|2a－4|＋b＝1，求a、b的值。 7.化简：⑴

x1x3；⑵

2x1x3

4、如果2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4恒为常数，求x的取值范围。 7、若|x5||x2|7，求x的取值范围。