人教版九年级数学上册 第二十三章 旋转解答题拔高练习题

旋转解答题拔高训练

1、在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（I）如图，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC． 求证：（1）△BAD≌△CAE； （2）BC＝DC+EC．

（Ⅱ）如图，D为△ABC外一点，且∠ADC＝45°，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，ED． （1）△BAD≌△CAE的结论是否仍然成立？并请你说明理由； （2）若BD＝9，CD＝3，求AD的长．

【答案】解：（Ⅰ）（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

ABAC在△BAD和△CAE中，BADCAE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；

ADAE（2）∵△BAD≌△CAE∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD； （Ⅱ）（1）△BAD≌△CAE的结论仍然成立，

理由：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD，

∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，

ABAC在△BAD与△CAE中，BADCAE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；

ADAE（2）∵△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝9， ∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°， ∴DE＝CE2CD2＝62， ∵∠DAE＝90°，∴AD＝AE＝

2DE＝6． 22、如图1，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD；∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H． (1)求证：CF＝CH；

(2)如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．

【答案】（1）首先证出∠1=∠2，然后证出△ACF≌△DCH,从而得出CF=CH；

（2）先证出四边形ACDM是平行四边形，然后根据AC=CD得出四边形ACDM是菱形。 3、（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b.

填空：当点A位于__________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为______（用含a，b的式子表示） （2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．（备注：当△ABD是等边三角形时，AB=BD=AD，∠DAB=∠ABD=60°） ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最大值．

【答案】（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，

∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b， 故答案为：CB的延长线上，a+b；

（2）①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，

在△CAD与△EAB中，AD=AB，∠CAD=∠EAB，AC=AE，∴△CAD≌△EAB， ∴CD=BE；

②DC的最大值即BE的最大值.

当B、C、D三点共线时取得最大值，最大值为4.

4、在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45° (1) 将△ADF绕点A顺时针旋转90 °，得到△ABG（如图1），求证：BE+DF=EF；

(2) 若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N（如图2），求证：

(3) 将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图3），直接写出线段EF、BE、DF之间的数量关系.

【答案】（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG， ∴AF=AG，∠FAG=90°，

∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，

＝

在△AGE与△AFE中， ＝ ＝ ，∴△AGE≌△AFE（SAS）；

＝

（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．

将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．

则△ADF≌△ABG，DF=BG． 由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．

∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形， ∴CE=CF，BE=BM，NF= DF，∴a-BE=a-DF， ∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°， ∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，

∵EG=EF，MG= BM= DF=NF，∴EF2=ME2+NF2； （3）解：EF2=2BE2+2DF2．

如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点， 将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．

由（1）知△AEH≌△AEF，

则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2， 即（GH+BE）2+（BM-GM）2=EH2

又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE-GH）2=EF2， 即2（DF2+BE2）=EF2

5、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转角， 旋转后的矩形记为矩形

．在旋转过程中，

（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为 ； （2）当

是等边三角形时，旋转角的度数是 （为锐角时）；

（3）如图②，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标． (4) 如图③，当旋转角90时，请判断矩形

的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．

【答案】 （1）

（4，

）

（2）（3）设在Rt△解得∴

（4，

，则中，∵，即

.

，

，∴

，

，

）. …………………………………………………………4分 为顶点的抛物线的解析式为

.

.

（4）设以点把

（0，6）代入得，

.

解得，

∴此抛物线的解析式为∵矩形∴由题意可知当∴点

时，

不在此抛物线上.

的对称中心为对角线的坐标为（7，2）.

.……………………………………6分 、

的交点

，

，

6、问题背景

如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF（1）特殊情景

在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______． （2）类比猜想

类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题

1α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系． 2

如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD写出DE的长．

2，请直接

【答案】（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG， ∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线． 由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG． ∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣

1∠BAD=90°-45°＝45°， 2∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，∴∠EAF＝∠FAG， ∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG． 又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，

故答案为：BE+DF＝EF．

（2）成立．如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH， 可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH． ∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°， ∴点C，D，H在同一直线上． ∵∠BAD＝α，∠EAF11α，∴∠BAE+∠FADα， 22

∴∠DAH+∠FAD1α，∴∠FAH＝∠EAF， 2又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS）， ∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；

（3）DE52，如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′． 3

可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB， 在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝42， ∴CD=BC=BD=32，

∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°， ∴E′B2+BD2＝E′D2． 易证△AE′D≌△AED， ∴DE＝DE′，

22∴DE2＝BD2+EC2，即DE2(2)(32DE)，

解得DE52． 37、如图所示，正方形ABCD中，点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，连接EP、FG． （1）如图1，直接写出EF与FG的关系____________；

（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH，连接EH．

①求证：△FFE≌△PFG；②直接写出EF、EH、BP三者之间的关系；

（3）如图3，若点P为CB延长线上的一动点，连接FP，按照(2)中的做法，在图(3)中补全图形，并直接写出EF、EH、BP三者之间的关系．

【答案】解：（1）如图1所示：

∵点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，∴AE=AF=BF=BG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AFE=∠AEF=∠BFG=∠BGF=45°，

∴∠EFG=180°-∠AFE-∠BFG=180°-45°-45°=90°， ∴EF⊥FG，

AEBG在△AEF和△BFG中，AB90，∴△AEF≌△BFG（SAS），

AFBF∴EF=FG，

故答案为：EF⊥FG，EF=FG；

（2）如图2所示：

①证明：由（1）得：∠EFG=90°，EF=FG，

∵将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH， ∴∠PFH=90°，FP=FH，

∵∠GFP+∠PFE=90°，∠PFE+∠EFH=90°， ∴∠GFP=∠EFH， 在△HFE和△PFG中，

FHFPEFHGFP， EFFG∴△HFE≌△PFG（SAS）；

②解：由①得：△HFE≌△PFG，∴EH=PG， ∵AE=AF=BF=BG，∠A=∠B=90°， ∴EF=2AF=2BG，

∴BG=

2EF， 2∵BG+GP=BP，

∴

2EF+EH=BP； 22EF+BP=EH．理由如下： 2（3）解：补全图形如图3所示，

由（1）得：∠EFG=90°，EF=FG，

∵将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH， ∴∠PFH=90°，FP=FH，

∵∠EFG+∠GFH=∠EFH，∠PFH+∠GFH=GFP， ∴∠GFP=∠EFH， 在△HFE和△PFG中，

FHFPEFHGFP， EFFG∴△HFE≌△PFG（SAS）， ∴EH=PG，

∵AE=AF=BF=BG，∠A=∠ABC=90°， ∴EF=2AF=2BG，

∴BG=

2EF， 2∵BG+BP=PG，

∴

2EF+BP=EH． 28、问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．

（发现证明）小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论． （类比引申）如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF＝BE+FD．

（探究应用）如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，∠EAF＝75°且AE⊥AD，DF＝40（3﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

【答案】[发现证明]根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可． [类比引申]∠BAD＝2∠EAF.如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，

证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；

[探究应用]如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．

∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝60°． 又∵∠B＝60°，

∴△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝80米．

根据旋转的性质得到：∠ADG＝∠B＝60°， 又∵∠ADF＝120°，

∴∠GDF＝180°，即点G在CD的延长线上． 易得，△ADG≌△ABE，

∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE， 又∵∠EAG＝∠BAD＝150°，∠FAE＝75° ∴∠GAF＝∠FAE， 在△GAF和△FAE中，

AG＝AE，∠GAF＝∠FAE，AF＝AF，

∴△AFG≌△AFE（SAS）． ∴GF＝EF． 又∵DG＝BE， ∴GF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF＝80+40（3﹣1）≈109（米）， 即这条道路EF的长约为109米．

9、折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念. 今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸. 实践操作

如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B'落在矩形ABCD所在平面内，B'C和AD相交于点E，连接B'D. 解决问题

（1）在图1中，①B'D和AC的位置关系是_____；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是____；

（2）若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明；若不成立，请说明理由； 拓展应用

（3）在图2中，若∠B=30o，AB=43，当AB'⊥AD时，BC的长度为_____.

【答案】解：（1）①BD′∥AC．②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形； 故答案为BD′∥AC，菱形； （2）①选择②证明如下： 如图2，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB，

∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C， ∴∠ACB′=∠ACB， ∴∠DAC=∠ACB′， ∴AE=CE，

∴△AEC是等腰三角形；

∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等， ∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形．②选择①证明如下，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，

∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C， ∵B′C=BC， ∴B′C=AD， ∴B′E=DE， ∴∠CB′D=∠ADB′，

∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD

∴∠ADB′=∠DAC， ∴B′D∥AC．

（3）∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D，

∴四边形ACB′D是等腰梯形， ∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°， ∵△AB′D是直角三角形，

当∠B′AD=90°，AB＞BC时，如图3中，

设∠ADB′=∠CB′D=y， ∴∠AB′D=y-30°， 解得y=60°， ∴∠AB′D=y-30°=30°， ∵AB′=AB=43 AD33434 ∴BC=4，

当∠ADB′=90°，AB＞BC时，如图4，

∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D，

∴四边形ACB′D是等腰梯形， ∵∠ADB′=90°，

∴四边形ACB′D是矩形， ∴∠ACB′=90°， ∴∠ACB=90°， ∵∠B=30°，AB=43 BC32AB32436 当∠B′AD=90°，AB＜BC时，如图5，

∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，

B30,AB43

∴∠AB′C=30°， ∴AE=4，BE′=2AE=8， ∴AE=EC=4， ∴CB′=12，

当∠AB′D=90°时，如图6，

∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D，

∴四边形ACDB′是平行四边形， ∵∠AB′D=90°，

∴四边形ACDB′是矩形， ∴∠BAC=90°，

B30,AB43 BCAB38 2∴已知当BC的长为4或6或8或12时，△AB′D是直角三角形． 故答案为：4或6或8或12；

10、在矩形ABCD中，AB2，BC1，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为(0180)，得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．

1如图①，当点E落在DC边上时，直写出线段EC的长度为______；

2如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，

①求证：ACD≌CAE；

②直接写出线段DH的长度为______．

3如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，

存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．

BEP的面积是否存在最大值？若

【答案】1四边形ABCD是矩形，

ABCD2，BCAD1，D90，

矩形AEFG是由矩形ABCD旋转得到，

AEAB2，

在RtADE中，DE22123，

CE23，

故答案为：23．

2①当点E落在线段CF上，

AECADC90，

在RtADC和RtAEC中，

CDAE，

ACCARtACD≌RtCAEHL；

②ACD≌CAE，

ACDCAE，

AHHC，设AHHCm，

在RtADH中，

AD2DH2AH2，

12(2m)2m2，

m5， 453， 443故答案为：；

4DH23存在．理由如下：

如图③中，连接PA，作BMPE交PE的延长线于M，

由题意：PFPC1，

AGEF1，GF90， PAPE2，

S12PEBMBM， 22PBE当BM的值最大时，PBE的面积最大，

BMPB，PBABPA，

PB22， BM22，

BM的最大值为22，

PBE的面积的最大值为21．

11、请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：

（1）探究1，如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D做BC边上的高DE，则DE与BC的数量关系是 ，△BCD的面积为 ； （2）探究2，如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由；

（3）探究3：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．

【答案】（1）如图1，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E，∴∠BED＝∠ACB＝90°，由旋转知：AB＝BD，∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠DBE＝90°． ∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DBE．

ACBBED在△ABC和△BDE中，∵ADBE，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝DE＝3．

ABBD911BC•DE，∴S△BCD×32=；

22212（2）△BCD的面积为a．理由如下：

2∵S△BCD如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，∴∠BED＝∠ACB＝90°．

∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB＝BD，∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠DBE＝90°． ∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DBE．

ACBBED在△ABC和△BDE中，∵ADBE，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝DE＝a．

ABBD∵S△BCD121a； BC•DE，∴S△BCD2211BCa，22（3）如图3，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，∴∠AFB＝∠E＝90°，BF∴∠FAB+∠ABF＝90°．

∵∠ABD＝90°，∴∠ABF+∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD． ∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB＝BD．

AFBE1在△AFB和△BED中，∵FABEBD，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF＝DEa．

2ABBD∵S△BCD111112BC•DE•a•aa2，∴△BCD的面积为a． 22244

12、已知，如图1，正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE=DF，连接EF． （1）证明：EF⊥AC；

（2）将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．

（3）若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，试说明点P的运动路径并求线段PC的取值范围．

【答案】（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠DAC=∠BAC， ∵BE=DF，

∴AD+DF=AB+BE，即AF=AE， ∴AC⊥EF；

（2）解：FH2+GE2=HG2，理由是：

如图2，过A作AK⊥AC，截取AK=AH，连接GK、EK，

∵∠CAB=45°， ∴∠CAB=∠KAB=45°， ∵AG=AG， ∴△AGH≌△AGK， ∴GH=GK，

由旋转得：∠FAE=90°，AF=AE， ∵∠HAE=90°， ∴∠FAH=∠KAE， ∴△AFH≌△AEK，

∴∠AEK=∠AFH=45°，FH=EK， ∵∠AEH=45°，

∴∠KEG=45°+45°=90°， Rt△GKE中，KG2=EG2+EK2， 即：FH2+GE2=HG2； （3）解：如图3，

∵AD=AB，∠DAF=∠BAE，AE=AF， ∴△DAF≌△BAE， ∴∠DFA=∠BEA， ∵∠PNF=∠ANE， ∴∠FPE=∠FAE=90°，

∴将△AEF绕点A旋转一周，总存在直线EB与直线DF垂直， ∴点P的运动路径是：以BD为直径的圆，如图4，

当P与C重合时，PC最小，PC=0， 当P与A重合时，PC最大为52， ∴线段PC的取值范围是：0≤PC≤52．

13、如图①，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A，B的坐标分别为（5，0），（9，0），点D是x轴正半轴上一个动点，连接CD，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE． （1）直接写出点C的坐标，并判断△CDE的形状，说明理由；

（2）如图②，当点D在线段AB上运动时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长及此时点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）当△BDE是直角三角形时，求点D的坐标．（直接写出结果即可）

【答案】（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，

∵△ABC是等边三角形，CH⊥AB于点H，

11∴∠AHC=90°，AH=AB=（9﹣5）=2，

22∴OH=OA+AH=7， ∵AC=AB=4，

∴在Rt△ACH中，CH=422223，

?23)； ∴ C(7，∵△CBE是由△CAD绕点C逆时针旋转60°得到的， ∴∠DCE=60°，DC=EC， ∴△CDE是等边三角形；

（Ⅱ）存在，理由如下：如图2，由（Ⅰ）知，△CDE是等边三角形， ∴DE=CD，

由旋转知，BE=AD，

∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE=4+CD，

由垂线段最短可知，CD⊥AB于D时，△BDE的周长最小，此时，由（1）可知CD=23，OD=7， ∴△BDE的周长最小值为4+23，点D（7，0）；

（Ⅲ）如图3，

∵由旋转知，∠CBE=∠CAD=120°， ∵∠ABC=60°， ∴∠DBE=60°≠90°， ∵△BDE是直角三角形，

∴存在∠BED=90°或∠BDE=90°（如图3，∠BD'E'=90°）两种情况， ①当∠BED=90°时， ∵△CDE是等边三角形， ∴∠CED=60°， ∴∠BEC=30°， ∵∠CBE=∠CAD=120°， ∴∠BCE=30°， ∴BE=BC=AB=4，

在Rt△BDE中，∠DBE=∠CBE﹣∠ABC=60°， ∴BD=2BE=8， ∵OB=9， ∴OD=OB﹣BD=1， ∴D（1，0）， ②当∠BD'E'=90°时， ∵△CD'E'是等边三角形， ∴∠CD'E'=60°， ∴∠BD'C=30°， ∵∠ABC=60°， ∴∠BCD'=30°=∠BD'E， ∴BD'=BC=6， ∵OB=9，

∴OD'=OB+BD'=13， ∴D'（13，0），

即：存在点D使△BDE是直角三角形，此时点D的坐标分别为：（1，0）或（13，0）．

14、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），点B（﹣2，0），把△ABO绕点A逆时针旋转，得△AB′O′，点B、O旋转后的对应点为B′、O′．

（1）如图①，若旋转角为60°时，求BB′的长； （2）如图②，若AB′∥x轴，求点O′的坐标；

（3）如图③，若旋转角为240°时，边OB上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+AP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）

【答案】（1）∵点A（0，4），点B（﹣2，0），∴OA=4，OB=2，∴AB= =2 ． 在图①中，连接BB′．

由旋转可知：AB=AB′，∠BAB′=60°，∴△ABB′为等边三角形，∴BB′=AB=2 ． （2）在图②中，过点O′作O′D⊥x轴，垂足为D，交AB′于点E． ∵AB′∥x轴，O′E⊥x轴，∴∠O′EA=90°=∠AOB．

由旋转可知：∠B′AO′=∠BAO，AO′=AO=4，∴△AO′E∽△ABO，=∴点O′的坐标为（

=

，即=

= ，∴AE=

，O′E=，∴O′D=+4，

， +4）．

（3）作点A关于x轴对称的点A′，连接A′O′交x轴于点P，此时O′P+AP′取最小值，过点O′作O′F⊥y轴，垂足为点

F，过点P′作PM⊥O′F，垂足为点M，如图3所示．

由旋转可知：AO′=AO=4，∠O′AF=240°﹣180°=60°，∴AF= AO′=2，O′F= AO′=2 ，∴点O′（﹣2 ，6）． ∵点A（0，4），∴点A′（0，﹣4）．

设直线A′O′的解析式为y=kx+b，将A′（0，﹣4）、O′（﹣2 ，6）代入y=kx+b，得：

，解得： x﹣4． ，∴直线A′O′的解析式为y=﹣

当y=0时，有﹣

x﹣4=0，解得：x=﹣，∴点

P（﹣

，0），∴OP=O′P′=．

，P′M=O′P′=，∴点

在Rt△O′P′M中，∠MO′P′=60°，∠O′MP′=90°，∴O′M= O′P′=即（﹣

，）．

P′的坐标为（﹣2 +

，6+），