2020年江西省赣州市高一(下)期中数学试卷解析版

题号

得分

一二三总分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.若角α的终边经过点P（-1，1），则（　　）

A. sinα=1

2.

B. tanα=-1C. D.

，则x=（　　）

已知A（-1，-1），B（1，3），C（x，5），若

A. 2

3.

B. -3C. -2D. 5

4.

大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则该数列第16项为（　　）A. 98B. 112C. 144D. 128在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a＝1,，B＝45°，则角A＝ ( )A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量=（　　）

5.

A. B. C. D.

6.

函数y=sin2x是（　　）

A. 最小正周期为2π的偶函数C. 最小正周期为π的偶函数

B. 最小正周期为2π的奇函数D. 最小正周期为π的奇函数

7.

在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，asinBcosC+csinBcosA=b，且c＞b，则∠B=（　　）

A.

8.

B. C. D.

若将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴方程为（　　）

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A. x=C. x=

9.

（k∈Z）（k∈Z）

B. x=D. x=

（k∈Z）（k∈Z）

在△ABC中，已知∠C=，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2-13x+40=0的两根，则AB

的长度为（　　）A. 2B. 4C. 6D. 7

，则得到的新三角形的形10.如果把Rt△ABC的三边a，b，c的长度都增加m（m＞0）

状为（　　）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 由增加的长度决定11.在△ABC中，

cos∠EAF=（　　）

，AB=AC，E、F分别为BC的三等分点，则

A. B. C. D.

B，C所对的边分别为a，b，c，角A，若b2=a（a+c），则12.已知锐角△ABC中，

的取值范围是（　　）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知

，若sin2α=sin2α，则tanα=______．

B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2-a2=bc，则 A=______14.已知△ABC的三个内角A，．15.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，

______．16.已知△ABC中，

=______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量

（1）若（2）若

满足

，

．；

|的最小值为

，则S21的值为

的夹角θ为，求

，求与的夹角θ．

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18.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且asinB-（1）求角A；（2）若a=，b=3，求△ABC的面积．

bcosA=0．

19.在等差数列{an}中，a5=4，a3+a8=9．（1）求数列的{an}通项公式；

（2）令bn=2an-1，求数列{bn}的前n项和Sn．

20.已知函数f（x）=2sin2x-4cos2x+2．

（1）求函数f（x）的单调减区间；

（2）若

，求函数f（x）的值域．

21.如图，已知两条公路AB，AC的交汇点A处有一学校，

现拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，在两公路旁M，N（异于点A）处设两个销售点，且满足

∠A=∠PMN=75°，

（千米），

（

千米），设∠AMN=θ．

（1）试用θ表示AM，并写出θ的范围；

（2）当θ为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）．（注：

）

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22.已知两个不共线的向量，的夹角为θ，且||=3，||=1，x为正实数．

（1）若+2与-4垂直，求tanθ；（2）若系；

（3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x-|=|m|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围．

，求|x-|的最小值及对应的x的值，并指出此时向量与x-的位置关

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：∵角α的终边经过点P（-1，1），∴tanα==-1，故选：B．

由题意利用任意角的三角函数的定义，得出结论．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.【答案】A

【解析】解：A（-1，-1），B（1，3），C（x，5），∴=（2，4），=（x-1，2）；若

，则2×2-4（x-1）=0，解得x=2．

故选：A．

根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出x的值．

本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．3.【答案】D

【解析】解：奇数项为：偶数项为：，，，，依次规律有：第16项为：

，，，，，…，

，…，=128．

故选：D．

根据前10项的奇数项和偶数项的规律可得．本题考查了进行简单的合情的推理，属中档题．4.【答案】A

【解析】解：∵a=1，b=∴由正弦定理可得：sinA=

，B=45°，=

=，

∵a=1＜b=，由大边对大角可得：A∈（0，45°），∴解得：A=30°．故选：A．

由正弦定理可解得sinA=

=，利用大边对大角可得范围A∈（0，45°），从而解得A

的值．

本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围．5.【答案】C

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【解析】解：∵D是△ABC的边AB的中点，则向量=

=-=

故选：C．

结合平面向量加法及减法的三角形法则及向量的基本定理即可求解本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础试题6.【答案】C

【解析】解：函数f（x）=sin2x则f（-x）=sin2（-x）=f（x）∴函数y=sin2x为偶函数函数y=sin2x=

=-cos2x，

∴最小正周期为T==π，故选：C．

首先由f（-x）=f（x）判断函数为偶函数；利用二倍角的余弦化简原式=-cos2x，根据求最小周期公式得出结论．

本题考查二倍角公式、三角函数周期性的求法，求最小周期公式T=是解题关键，属于基础题．7.【答案】B

【解析】解：△ABC中，asinBcosC+csinBcosA=b，

由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，且sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=，∴sin（A+C）=；又A+B+C=π，

∴sin（A+C）=sin（π-B）=sinB=；又c＞b，∴B=．

故选：B．

利用正弦定理与两角和的正弦公式，结合三角形内角和定理，求出sinB的值，即可求得角B的大小．

本题考查了正弦定理与两角和的正弦公式以及三角形内角和定理的应用问题，属于基础题．

8.【答案】D

【解析】解：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得y=sin（2x-）的图象，令2x-=kπ+，求得x=+，k∈Z，则平移后的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，

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故选：D．

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求出平移后的图象的对称轴方程．

本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9.【答案】D

【解析】解：∵a，b是方程x2-13x+40=0的两根，∴a=5，b=8，或a=8，b=5，

由余弦定理AB2=c2=a2+b2-2abcosC=25+64-2×8×5×=49，则AB=7，故选：D．

求出方程的解，根据余弦定理即可求出AB的长度．本题考查了方程的解和余弦定理，属于基础题．10.【答案】A

【解析】解：设增加同样的长度为m，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+m、b+m、c+m，知c+m为最大边，其对应角最大．而（a+m）2+（b+m）2-（c+m）2=m2+2（a+b-c）m＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=

＞0，则为锐角，

那么它为锐角三角形．故选：A．

先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，可得所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，可得最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力，属于基础题．11.【答案】B

【解析】解：由

以A为原点建立坐标系如图，不妨设AB=AC=3，∵E，F为三等分点，

∴E（2，1），F（1，2），∴cos∠EAF=

=

=，

可得AB⊥AC，

故选：B．

由题意判定AB，AC互相垂直，以A为原点建立坐标

系，利用三等分点的E，F的坐标，利用向量数量积求得余弦值．此题考查了向量加减法，数量积等，难度不大．12.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．由b2=a（a+c）利用余弦定理，可得c-a=2acosB，正弦定理边化角，再消去C，可得sin

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（B-A）=sinA，利用三角形ABC是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．【解答】

解：由b2=a（a+c），

,又

,所以

化简可得c-a=2acosB，

利用正弦定理边化角，得sinC-sinA=2sinAcosB，∵A+B+C=π，

∴sin（B+A）-sinA=2sinAcosB，∴sin（B-A）=sinA，∵△ABC是锐角三角形，∴B-A=A，即B=2A．∵0＜B＜，＜A+B＜π，那么＜A＜，则

=sinA∈（，）．

故选：C．13.【答案】2

【解析】解：由，且sin2α=sin2α，

得2sinαcosα=sin2α，

∴2cosα=sinα，即tanα=2．故答案为：2．

把已知等式左边展开二倍角正弦，结合α的范围及同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．14.【答案】60°

【解析】解：∵b2+c2-a2=bc，∴根据余弦定理得：cosA=

=

=，

又A为三角形的内角，则A=60°．故答案为：60°

利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．

此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入得数学思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15.【答案】231

【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，则：当n≥2时，an-1+an=2n-1②，

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，①

①-②得：an+1-an-1=2（常数），

①当n为奇数时，数列的项为：1，3，5，…2n-1．②当n为偶数时，数列的项为：2，4，6，…2n．故：数列的通项公式为：an=n，则：S21=1+2+3+…+21，=

，

故答案为：231

首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前n项和公式的应用求出结果．

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】1

【解析】

解：设表示方向上的单位向量，

∵t+1-t=1，∴

所对应的点E在直线BD上，

即B，D，E三点共线，如图，

的最小值即

，

的最小值，

为点A到直线BD的距离∴△ABD为等腰直角三角形，∴首先清楚

．

是单位向量，而

对应点点E与B，D共线，当AE⊥BD时得

=

得解．

最小值，从而确定三角形BAD为等腰直角三角形，使此题考查了单位向量，三点共线，数量积等，难度适中．

17.【答案】解：（1）由已知，得

∴∴（2）∵

=

；

，

=5，

==1，

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∴∴即∴

，，，

．

又θ∈[0，π]，∴

，

即与的夹角为．

【解析】（1）利用数量积求得，在通过求得；

（2）利用向量垂直数量积为0得到，进而求得夹角余弦值．

此题考查了向量数量积，模，向量垂直等，难度适中．18.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵asinB-bcosA=0．

∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBcosA，∵sinB≠0，

∴sinA=cosA，即tanA=，∵0＜A＜π，∴A=…6分（2）∵a=

，b=3，A=，

，可得：c2-3c-4=0，

∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得：13=9+c2-2×∴解得：c=4，（负值舍去），∴S△ABC=bcsinA=

=3

…12分

【解析】（1）由正弦定理可得sinAsinB=合范围0＜A＜π，可求A=．

sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA=，结

（2）由已知利用余弦定理可得c2-3c-4=0，解得c的值，根据三角形面积公式即可计算得解．

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

19.【答案】解：（1）等差数列{an}的公差设为d，a5=4，a3+a8=9，可得a1+4d=4，2a1+9d=9，解得a1=0，d=1，

可得an=a1+（n-1）d=n-1；

（2）由（1）知bn=2an-1=2n-3，

所以数列{bn}是首项为-1，公差为2的等差数列，

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所以前n项和Sn=n（-1+2n-3）=n2-2n．

【解析】（1）等差数列{an}的公差设为d，运用等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；

（2）由（1）知bn=2an-1=2n-3，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和．

本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

20.【答案】解：

，

（1）由得

∴f（x）的减区间为（2）当∴

∴f（x）的值域为

时，

，

．

，，

；，

【解析】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，属于基础题．

利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积：（1）利用复合函数的单调性求函数的减区间；

（2）由x的范围求得相位的范围，进一步得到函数的值域．21.【答案】解：（1）因为∠AMN=θ，在△AMN中，

，

因为

，sin75°=

，

所以AM=2sin（75°+θ），（0°＜θ＜105°）；（2）在△APM中，AM=2sin（75°+θ），所以AP2=AM2+MP2-2AM⋅MPcos∠AMP=

=2[1-cos（2θ+150°）]-2sin（2θ+150°）+3=5-2[sin（2θ+150°）+cos（2θ+150°）]

=5-4sin（2θ+180°）=5+4sin2θ，（0°＜θ＜105°）；

当且仅当2θ=90°，即θ=45°时，AP2取得最大值9，即AP取得最大值3．所以当θ=45°时，工厂产生的噪声对学校的影响最小．

【解析】（1）在△AMN中，运用正弦定理可得AM，由图象可得θ的范围；（2）在△APM中，运用余弦定理和三角函数的恒等变换和正弦函数的值域，可得所求AP的最大值．

本题考查解三角形在实际问题中的运用，考查正弦定理和余弦定理的运用，以及三角函数的恒等变换和正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．

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22.【答案】解：（1）∵+2与-4垂直，

∴（+2）•（-4）=0∴

∵||=3，||=1，∴9-6cosθ-8=0∴cosθ=∵θ∈[0，π]∴sinθ=∴（2）∴

；

，|x-|2=

时，|x-|的最小值为

=

此时•（x-）=9x-3•=0，∴与x-垂直；

（3）方程|x-|=|m|，等价于9x2-6cosθx+1-9m2=0∵关于x的方程|x-|=|m|有两个不同的正实数解，

∴

∴-＜m＜0或0＜m＜，∵m＞0，∴0＜m＜．

【解析】（1）利用+2与-4垂直，（+2）•（-4）=0，可得，化简，即可求出tanθ；

（2）将模平方，结合二次函数的性质，可求|x-|的最小值及对应的x的值，利用数量积公式，可确定向量与x-的位置关系；

（3）方程|x-|=|m|，等价于9x2-3cosθx+1-9m2=0，利用关于x的方程|x-|=|m|有两个

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不同的正实数解，建立不等式，即可确定结论．

本题考查向量的数量积公式，考查方程根的研究，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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