2021-2022学年浙江省金华市义乌后宅中学高二数学文上学期期末试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 在区间

上随机取一个数x,则事件“

”发生的概率为（ ）

A． B. C. D.1 参：

C 略

2. 椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为（ ）

A．

B． C． D．

参：

C

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】根据三角形的周长求出a的值，再根据勾股定理求出c的值，最后根据离心率公式计算即可．

【解答】解：设椭圆方程为， ∵△PF2Q的周长为36， ∴PF2+QF2+PQ=36=4a， 解得a=9，

∵过F1的最短弦PQ的长为10 ∴PF2=QF2=（36﹣10）=13，

在直角三角形QF1F2中，根据勾股定理得，

=

，

∴c=6， ∴

故选：C．

3. 函数的定义域为 （ ）

A. (－

，2 ) B.

C.

D.

参：

A 【分析】

根据函数有意义，得到不等式组，即可求解．

【详解】由题意，函数有意义，满足，

解得

，即函数

的定义域为

，故选A．

【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

4. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下，根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,.5〕的学生人数是

（ ）

A 20 B 30 C 40 D 50

参：

C

5. （x2+x+y）5的展开式中，x7y的系数为（ ）

A．10 B．20 C．30 D．60

参：

B

【考点】二项式定理的应用．

【专题】转化思想；综合法；二项式定理．

【分析】只有当其中一个因式取y，一个因式取x，其余的3个因式都取x2

时，才能可得到含x7

y的项，由此得出结论．

【解答】解：∵（x2+x+y）5表示5个因式（x2+x+y）的乘积，当只有一个因式取y，一个因式取x， 其余的3个因式都取x2

，即可得到含x7

y的项． 故x7y的系数为?

?

=20，

故选：B．

【点评】本题主要考查排列组合、二项式定理的应用，乘方的意义，属于基础题．

6. 在同一坐标系中，方程与的图象大致是（ ）

参：

D

7. 总体容量为102，现用系统抽样法抽样，若剔除了2个个体，则抽样间隔可以是( )

A．7 B．8 C．9 D．10

参：

D

考点：系统抽样方法． 专题：概率与统计．

分析：根据系统抽样的定义进行判断即可．

解答： 解：剔除了2个个体之后，样本为100，

∵100能被10整除，

∴样本间隔可以是10， 故选：D

点评：本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．

8. 将甲,乙,丙,丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲,乙两名学生不能分到同一个班，

则不同的分法的种数有 （ ） A.18 B.24 C.30 D.36

参：

C

9. 已知三棱柱的6个顶点都在球

的球面上,若

,

,

,

则球

的半径为（ ）

A． B． C． D．

参：

C

10. 过原点且倾斜角为

的直线被圆

所截得的弦长为（ ）

A．

B． C． 2 D．

参：

A

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|= ______ ．

参：

12

12. 如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为 ．

参：

0.38

13. 已知

时，则

参：

14. 已知集合M={（x，y）| }和集合N={（x，y）|y=sinx，x≥0}，若M∩N≠?，则实数a

的最大值为 ．

参：

﹣

作出函数y=sinx（x≥0）的图象，以及不等式组

表示的可行域，由直线x﹣2y+a=0与

y=sinx相切时，设切点为（m，sinm），求出导数和直线的斜率，解方程可得切点和此时a的值，由图象可得a的最大值．

解：作出函数y=sinx（x≥0）的图象，

以及不等式组表示的可行域，

当直线x﹣2y+a=0与y=sinx相切时，设切点为（m，sinm）， 即有cosm=，解得m=，

切点为（，）， 可得a=2×

﹣

=﹣

， 由题意可得a≤﹣

，即有M∩N≠?， 可得a的最大值为﹣，

故答案为：

﹣

．

15. 幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是______．

参：

9

16. 在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；

③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面； ④共面的三个向量是指平行于同一个平面的的三个向量；

⑤已知空间的三个不共线的向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正确命题是 .

参：

－y2

＝1. ④

17. 已知点P(1,1)在圆(x－a)2+(y+b)2=4的内部，则实数a的取值范围为__________．

参：

因为在圆

内部，

∴

，

， ， ， ∴

，

．

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. (本小题13分) 已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半

轴长为半径的圆与直线相切。

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线

与椭圆C相交于A、B两点，且

，判断△AOB的面积是否

为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

参：

（Ⅰ）由题意知

，∴

，即

，

又

，∴

，故椭圆的方程为

. ……………………………………………………………4分

（Ⅱ）设

，由得

， ，

.

…………………………………………………………7分

....................................9分

,,

,

,

13分

19. （本小题12分）已知R为全集，，，求（RA）

参： 解：

，于是

R

……………4分

……………………8分

故 （RA）……………………12分

略

20. 已知命题

；命题

，使得

。若“p或q”为

真，“p且q”为假，求实数a的取值范围。

参：

p真，则

---------2分

q真，则即 ----------4分 “

”为真，为假

中必有一个为真，另一个为假----5分

当时，有

-------8分

当时，有 --------11分

实数a的取值范围为.--------12分

略

21. 【题文】（本小题满分9分）在一个特定时段内，以点E为中心的10海里以内海域被设为警戒水域.点E正北40海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距100海里的位置B，经过2小时又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距20海里的位置C.

（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由.

参：

（1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位为10海里

则坐标平面中AB = 10，AC = 2 A(0,0)，E(0, －4)

再由方位角可求得：B(5,5)，C(3,

)

所以|BC| =

所以BC两地的距离为20海里

所以该船行驶的速度为10海里/小时

（2）直线BC的斜率为

所以直线BC的方程为：

即

所以E点到直线BC的距离为 = < 1

所以直线BC会与以E为圆心，以一个单位长为半径的圆相交， 所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。 答：该船行驶的速度为

海里/小时，若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。

22. 在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点． （1）求证：四边形AEC1F为平行四边形；

（2）求直线AA1与平面AEC1F所成角的正弦值．

参：

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质． 【专题】转化思想；等体积法；空间位置关系与距离；空间角．

【分析】（1）取CC1的中点H，连接BH，EH，运用平行四边形的判定和性质，即可得证；

（2）设A1到平面AEC1F的距离为d，运用等积法，可得式，计算即可得到所求值．

【解答】解：（1）取CC1的中点H，连接BH，EH，

=，运用三棱锥的体积公

在正方形BCC1B1中，BF∥HC1，BF=HC1，可得BFC1H为平行四边形， 即有BH∥FC1，BH=FC1，

又AB∥EH，AB=EH，可得四边形ABHE为平行四边形， 即有AE∥BH，AE=BH，

则AE=FC1，AE∥FC1，可得四边形AEC1F为平行四边形； （2）设A1到平面AEC1F的距离为d，

直线AA1与平面AEC1F所成角θ的正弦值为， 由

=

，可得d?S△AEF=a?

，

即为d?=a?a2，即有d==a，

即有直线AA1与平面AEC1F所成角的正弦值为．

【点评】本题考查空间线线的位置关系的判断和线面角的求法，注意运用平行四边形的判定和性质，以及体积转换法，考查运算能力，属于中档题．