第２２卷第５期 商洛学院学报 Ｖｏ１．２２ ＮＯ．５ ２００８年１Ｏ月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈｓｎｇｌｕｏ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｏｃｔ．２０ｏ８ 振幅相干态的量子相位密度分布 李 英 （商洛学院量子光学与量子信息研究所、物理系，陕西商洛７２６０００） 摘要：研究了振幅相干态的Ｐｅｇｇ—Ｂａｒｎｅｔｔ量子相位密度分布，结果发现，１）影响振幅相干 态的量子相密度分布Ｐ（ ， 的物理条件有：真空态ＩＯ＞与是相干态Ｉ ）相叠加的角度 ，平均 光子数和量子相位角０与相干态移动相位角 的相对值 。２）量子相密度分布相对 、 作周期变化；它随平均光子数的增大而增大；一定条件下 、 影响振幅相干态的量子相密 度分布的极值。 关键词：量子光学；振幅相干态：量子相位密度 中图分类号：０４３１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—００３３（２００８）０５—００１８—０４ ０ 引言 示这束激光的量子态就是相干态与真空态相叠 量子相位的概念最初由Ｄｉｒａｃ提出，后来经 加，即振幅相干态旧。文献［１２１对这种量子光场的 由Ｓｕｓｓｋｉｎｄ，Ｇｌｏｇｏｗｅｒ，Ｐｅｇｇ和Ｂａｒｎｅｔｔ等人的发展 非经典性作了详细的研究，但是关于振幅相干 和完善【１１，使它成为描述量子光场性质的重要概 态的相位分布问题未见相关报道。本文应用 念之一。它不仅能够用Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ算符表示，通过 Ｐｅｇｇ和Ｂａｒｎｅｔｔ等人提出的，表征量子光场相 实验测量［２－３１，还可以作为量子信息的存储与提取 位的方法来研究振幅相干态的相位分布。 的载体［４１，是量子光学领域内人们不断讨论和研 １ 振幅相干态的量子相密度表示 究的热点问题之一【ｌ＿ 。Ｋｉｙｏｔａｋａ Ｋａｋａｚｕ等人在 Ｐｅｇｇ—Ｂａｒｎｅｔｔ量子相位态ｌ ＞被定义为 理论提出进一步完善了量子相位态的方法嘲；文 献【５—６】研究了存在Ｋｅｒｒ介质的广义Ｊａｙｎｅｓ— ＩＯ）＝ｌｉｍ（ｓ＋１） ｅｘｐ（ｉｍ０）ｌｍ） （１） ’ 脚 Ｃｕｍｍｉｎｇｓ模型非线性偶合强光对光场量子相位 （１）式中ｓ＋ｌ表示Ｈｅｒｂｔ空间的维数， 表示 特性的影响和一种新的偶奇非线性相干态中测 量子相位角，Ｉｍ）表示Ｆｏｃｋ态（ｍ＝Ｏ，１，２，…）。 让 量相位算符的压缩效应；Ｇ．Ｍ Ａｂｄ ＡＩ—Ｋａｄｅｒ用 ｓ趋向于无穷大，（１）式写为： Ｗｉｇｎｅｒ函数表示了压缩平移Ｆｏｃｋ叠加态 （ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｑｕｅｅｚｅｄ ｄｉｓｐｌａｃｅｄ Ｆｏｅｋ ｓｔａｔｅｓ） 的量子相位分布【 ｏｌ；文献【７，８】讨论了热相位压缩 。 ） 刍ｅｘｐ（ｉｍ０）ｌｍ） （２） 态（ｔｈｅｒｍａｌ ｐｈａｓｅ—ｓｑｕｅｅｚｅｄ ｓｔａｔｅｓ）的相位分布和 如果一个量子态Ｉ．厂）在Ｆｏｃｋ态中展开为 Ｒｏｙ一型偶奇非线性相干态的相位概率分布等等。 根据量子光场的测量理论，激光光束通过 Ｉｆ）＝ ｃ ｌｎ＞ （３） ｎ＝０ 任何一个光学器件都会引入一个真空态，即描 （３）式中ｃ 量子态ｌ厂）在中展开的展开系数，Ｉ 述通过光学器件的出射光束的量子态是入射光 ｎ）表示Ｆｏｅｋ态的态矢量（ ０，１，２，…）。那么ｌ ＞的 束的量子态与真空态的线性叠加组成。 典型激 量子相位密度１３１是 光器输出的激光光束光场用相干态表示，当激 Ｐ（ ＝Ｉ １０＞Ｉ 光束经过透镜、反射镜等任何一个光学器件后表 振幅相干态表示为【 ４１ 收稿日期：２００８－０９—０５ 基金项目：陕西省教育厅专项科研基金资助项目（０３ＪＫ２１２、ｏ４ＪＫ１２５） 作者简介：李英（１９６５－），男，陕西山阳人，商洛学院量子光学与量子信息研究所、物理系副教授 第５期 李英：振幅相干态的量子相位密度分布 １９ Ｉ ）＝Ｎ（１０）＋ｅｘｐ（／￣）ｌｃｔ）） 和相干态相叠加的角度，Ｎ归一化常数： Ｎ＝｛２［１＋ｃｏｓ￣ｐ・ｅｘｐ（－ｒ２／２）］｝一 （５） 其中Ｊｏ）是真空态， 是相干态＇’，是真空态 相干态 在Ｆｏｃｋ中被展开为： Ｏ． Ｐ（ｅ） Ｏ ｌｅｄ：ｅｘｐ（一 ）∑．ｒ＂ｅｘｐ一（ｉｎｙ）Ｉｎ）， ：ｒｅｘｐ（ （６） ｎ＝Ｏ Ｖ，ｌ！ （６）式中ｒ， 相干态由真空态被平移的距 离，是移动的相位角，在量子光场中ｒ２表示相 干态的平均光子数。令Ｉｆ）＝Ｉ ），由（２），（４），（５）， （６）的表示振幅相干态的量子相位密度函数 Ｐ（Ｏ，‘ｐ）为： ｌ∞ ｌ ２ №） ｐ（－ ∑ｎ－－Ｏ ｝ｌｌ（７） 由（７）式可知，振幅相干态的量子相位密度分 布函数与平均光子数ｒ２、真空态和相干态相叠加 的角度 的函数；量子相位角０与相干态移动 相位角ｙ的相对值 ｙ也影响着Ｐ（Ｏ， ）。下面具 体分析各物理条件是怎样影响振幅相干态的量 子相位密度分布的。 ２振幅相干态的量子相密度分布分析 ２．１ 叠加角对量子相密度分布的影响 参数‘ｐ仅仅表示真空态１０）与是相干态ｌ ） 相叠加的相对角度，却影响着振幅相干态的量子 相密度分布。取ｎ＝ｌＯ０，ｒ＝ｌ，通过对（７）式进行数 值模拟得振幅相干态的量子相密度分布Ｐ ， ） 随 和 的变化规律，如图１所示。其特点是： １）Ｐ（Ｏ， 是‘Ｐ和０一 的周期性函数，变化周期为 ２叮Ｔ，在￣ｐ＝２ｋ＇ｔｒ且Ｏ．－－Ｔ＝２ｋ＇ｒｒ（ｋ＝０，１，２，…，下同）附 近有极大值，使得量子相密度分布呈现”山”状 结构，并且在 方向上量子相密度分布有余玄 函数的变化趋势，则在在 — 方向上没有这种 趋向；２）若 和 — 变化在区间（２ｋ＇ｔｒ，２ｋ＂ｔｒ＋ ２＂ｔｒ），‘Ｐ不同，量子相密度分布Ｐ（０， ）也就不 同。 如图２给出了 为０、叮ｒ，２和订（即，振幅 相干态的形式为：１０）＋ｌａ）、１０）＋ ｌ仅）、１０）一Ｉ ）） 三种情况下量子相密度分布曲线分别用实现、 虚线和点曲线表示出来，当‘ｐ＝０，在 一 ＝０处 Ｐ（Ｏ， ）满足极大值出现的条件，Ｐ（Ｏ， ）曲线不但出 现了极大值，并且量子相密度分布关于；当‘ｐ＝ ＂ｔｒ／２时量子相密度分布极值变小。且偏离了 一 ｙ＝Ｏ的位置；当ｔｐ＝＇ｉｒ量子相密度分布以８－ｙ＝Ｏ 对称，呈现马鞍型。 图１当ｒ＝ｌ ， ）随妒和 的分布 Ｒ Ｌ） ｜・秘 ｛ ｌ＼＼ 一 ５ 、 ～ ／，／１ ’ ｎ… ５ ｛ｌ● ．— ～．， ． 图２当ｒ＝ｌ，不同 对ｐ（Ｏ，‘Ｐ）分布的影响 ２．２平均光子数对量子相密度分布的影响 对量子光场内的光子数进行量子统计平均 就是平均光子数。它是量子光场重要特征参数之 一，不同的量子光场具有不同的平均光子数。相 干态的平均光子数与相干态光场的强度成正比， 即平均光子数的值越大，光场强度越大；但是，当 平均光子数小到一定的程度，不仅意味着光场强 度小，光线微弱，还体现在光场的性质由原来的 相干态突变到Ｆｏｃｋ态。通过对（７）式的分析发现， 相干态的平均光子数的大小对振幅相干态的量 子相密度分布影响存在以下几个方面： 首先，在ｒ 空间内，１）振幅相干态的量子 相密度分布随 作周期性变化的同时，周期为 １Ｔ；一定范围内振幅相干态的量子相密度分布随 平均光子数的增大而增大，如图３所示，其中 ＝ ０，近似计算求和取４０１项。２）平均光子数、 一ｙ的 值影响振幅相干态的量子相密度分布的极值点： 平均光子数比较小，或平均光子数比较大且 — ＝后 时，极值点在 ＝ｊ￣ｒＯ＝ｏ，１，２，…，下同）处；平 均光子数比较大且 —ｙ＃ｋ＇ｒｒ时，极值点偏离‘ｐ： 竹．图４、图５、图６分别显示Ｏ－ｙ＝＇ｔｒ／４＋ｋ￣ｒ、 ＋ １Ｔ、＇ｒｒ＋ｋ＇ｒｒ，平均光子数为ｌ（实线所示）、１０（虚线 所示）条件下极值点偏离情况；平均光子数大到 商洛学院学报 一２００８年１Ｏ月 定程度，振幅相干态的量子相密度分布为一定 ）＝ １丁，如图４、图５、图６中加点虚线所 其次，在卜 叫空间内，１）振幅相干态的量 子相密度非常狭窄分布Ｏ－－，ｙ＝ｋ＇ｒｒ附近，随 ｙ作 周期性变化的同时，周期为盯；在一定范围内振 值： 示，其中ｒ￣＝４００。 ｐ（ｅ） ３０ 圈３当Ｏ－ｙ＝Ｏ，ｐ 随ｒ和 的分布 Ｐ（ｅ）． ． 图４当 ＂ｒｔ／４，ｐ（ ）随ｒ和 的分布 Ｐ（ ）． 圈５当Ｏ－．ｙ＝￣／２。ｐ（Ｏ。妒）随ｒ和 的分布 Ｐ（ｅ）． 圈６当８＿１，＝丌，ｖ（ｏ， ）随ｒ和妒的分布 幅相干态的量子相密度分布随平均光子数的增 大而增大，如图７所示，其中￣ｐ－－Ｏ 近似计算求和 取１０１项。２）平均光子数越小，振幅相干态的量 子相密度分布的极值点偏离Ｏ－Ｔ＝ｋＴｒ，并且分布 平滑，如图８所示。图８中实线所示平均光子数 为１、虚线所示平均光子数为３、加点虚线所示平 均光子数为５。 图７当 ＝０，ｐ 随ｒ和９－１，的分布 Ｐ（ｅ）． ；２ 譬 Ｉ， ＇ 。 ｔ ．．ｓ ＇ｔ 山－・ ．－ －：｜｜＝， 一 ．图８当Ｏ－－－／＇＝＇ｔｒ／４，ｖ（ｏ， ）随ｒ和 的分布 ３结论 影响振幅相干态的量子相密度分布Ｐ（Ｏ，ｍ） 的物理条件主要有：１）真空态ＩＯ）与相干态１０ｃ）相 叠加的相对角度 ，和量子相位角０与相干态移 动相位角 的相对值 。 ）对 作周期变 化，周期为２订，在 ＝ 订且Ｏ－－ｙ＝２ｋ＇ｒｃ（ｋ＝０，１，２，…， 下同）附近有极大值，使得量子相密度分布呈现” 山”状结构，并且在 方向上量子相密度分布有 余玄函数的变化趋势，则在在 方向上没有 这种趋向；若 和 变化在区间（２ｋ，ｔｒ，２ｋ＇ｒｒ＋ ２叮ｒ）， 不同，量子相密度分布ｐ（ｏ， ）也就不同。 第５期 李英：振幅相干态的量子相位密度分布 ２１ ２）振幅相干态的量子相密度分布随 ， 作周 ２００３，９（４）：１５８—１６１． 期性变化的同时，一定范围内振幅相干态的量子 【７】Ｚｉａｄ Ｈ Ｍｕｓｓｌｉｍａｎｉ，Ｙ Ｂｅｎ－Ａｒｙｅｈ．Ｑｕａｎｔｕｍ ｐｈａｓｅ 相密度分布随平均光子数的增大而增大，平均光 ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅｒｍａｌ ｐｈａｓｅ－ｓｑｕｅｅｚｅｄ ｓｔａｔｅｓ【Ｊ】． 子数、０一ｙ和 一定条件下影响振幅相干态的量 Ｐｈｙｓ Ｒｅｖ Ａ，１９９８，５７（２）：１４５１－１５４３． 子相密度分布的极值点。 ［８王继锁，８］刘堂昆，冯健．Ｒｏｙ一型偶奇非线性相干态的 相位概率分布【Ｊ】．物理学报，２００４，５３（１ １）：３７２９—３７３２． 【９】Ｋｉｙｏｔａｋａ Ｋａｋａｚｕ．Ｅｘｔｅｎｄｅｄ Ｐｅ￣Ｂａｒｎｅｔｔ ｐｈａｓｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ 参考文献： 【Ｊ］． Ｄｇ ｏｆ Ｔｈｅｏ Ｐｈｙｓ，２００１，１０６（４）：７２１－７２８． 【１】Ｐｅｇｇ，ＤＴ Ｂａｒｎｅｔｔ ＳＭ．Ｐｈａｓｅ ｐｒｏｐｅｒｉｔｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｉｚｅｄ ［，１０】Ｇ．Ｍ Ａｂｄ ＡＩ－Ｋａｄｅｒ．Ｐｈａｓｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｆｅｌｄ［Ｊ１．Ｐｈｙｓ Ｒｅｖ Ａ，１９８９，３９（４）：１６６５． Ｗｉｇｎｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉ．ｉｔｏｎ ｏｆ ｓｑｕｅｅｚｅｄ ［２】Ｓａｍｕｅｌ Ｌ Ｂｒａｕｎｓｔｅｉｎ，Ａｌｉｓｔａｉｒ Ｓ Ｌａｎｅ，Ｃａｒｌｔｏｎ Ｃａｖｅｓ． ｄｉｓｐｌａｃｅｄ Ｆｏｃｋ ｓｔａｔｅｓ［Ｊ１．Ｊ ｐｏｔ Ｂ，２００３，５（ｓ）：２２８－２３２． Ｍａｘｉｍｕｍ－ｌｉｋｅｈｏｏｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｐｈａｓｅ 【１ ｌ】Ｖ Ｐｅ￣ｉｎｏｖ６ ａｎｄ Ａ ＬｕｋｇＱｕａｎｔｕｍ ｐｈａｓｅ ｆｒｏｍ Ｓ— Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎ 脚ｓ Ｒｅｖ Ｌｅｔｔ，１９９２，６９（１２）：２１５３－２１５６． ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚｅｄ ｑｕａｓｉｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ【Ｊ】．Ｊ ｏｐｔ Ｂ，２００５，７ ［３】Ｓａｍｕｅｌ Ｌ Ｂｒａｕｎｓｔｅｉｎ．Ｓｏｍｅ ｌｉｍｉｔｓ ｔｏ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｐｈａｓｅ （ｓ）：５５７－５６２． ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ【Ｊ】．Ｐｈｙｓ Ｒｅｖ Ａ，１９９４，４９（１）：６９－７５． 【１２１ Ｗａｎｇ Ｊｉｎａ—Ｗｅｉ．Ｎｏｎ－ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ 【４］Ａｈｎ Ｊ，Ｗｅｉｎａｃｈｔ Ｔ Ｃ，Ｂｕｃｈｓｂａｕｍ Ｐ Ｈ．ＩｎｆｏｒｍａｔｉＯＨ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｓｔａｔｅ ｃＪ】．Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２００２，２１ ｓｔｏｒａｇｅ ａｎｄ ｒｅｔｒｉｅｖａｌ ｔｈｒｏｕｇｈ ｑｕａｎｔｕｍ ｐｈａｓｅ【Ｊ】． （６）：ｌ９—２１． ｓｃｉｎｃｅ，２０００，２８７（２１）：４６３－－４６５． 【１３】陈永庄，李英，张继良，等．领头项相干态的量子相 【５】范安辅，范欣，周 昕．存在Ｋｅｒｒ介质的广义Ｊａｙｎｅｓ－ 位密度分布【Ｊ】．商洛师范专科学校学报，２００６，２０（２）： Ｃｕｍｍｉｎｇｓ模型非线性偶合强光对光场量子相位特性 １＿４． 的影响【Ｊ】．量子光学学报，２０００，６（１）：３６－４２． 【ｌ４］汪仲清，万鹏．激发压缩真空态的相位概率分布【Ｊ】． 【６】于国臣，孙红，张海新，等．一种新的偶奇非线性相干 光子学报，２００８，３７（３）：５８９—５９３． 态中测量相位算符的压缩效应［Ｊ］．量子光学学报， （责任编辑：张国春） Ｑｕａｎｔｕｍ Ｐｈａｓｅ Ｄｅｎｓｉｔｙ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ Ｃｏｈｅｒｅｎｔ Ｓｔａｔｅｓ ＬＩ Ｙｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｑｕａｎｔｕｍ Ｏｐｔｉｃｓ＆Ｑｕａｎｔｕｍ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｓｈａｎｇｌｕｏ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ． Ｓｈａｎｇｌｕｏ，Ｓｈａａｎｘｉ ７２６０００ Ａｂｓｔｒａｃｔｓ：Ｐｅｇｇ－Ｂａｒｎｅｔｔ Ｑｕａｎｔｕｍ ｐｈａｓｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｓｔａｔｅｓ ａｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｉｔ ｉＳ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ：１．ｔｈｅ Ｑｕａｎｔｕｍ ｐｈａｓｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｓｔａｔｅｓ ｐ 确ｉｓ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｄ ｂｙ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｎｇｌｅ‘Ｐ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｖａｃｕｕｍ ｓｔａｔｅ ｔｏ＞ｓｕｐｅｒｐｏｓｅｄ ｂｙ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｓｔａｔｅｌ ，ａｖｅｒａｇｅ ｐｈｏｔｏｎ ｎｕｍｂｅｒ ａｎｄ ｈｔａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｐｈａｓｅ ０ ｍｉｎｕｓ ｄｉｓｐｌａｃｅ ａｎｇｌｅ ｏｆ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｓｔａｔｅ ｙ． ２．ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｐｈａｓｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｃｈａｎｇｅｓ ｔＩｌ ａｎｄ — ｐｅｒｉｏｄｉｃａｌｌｙ；ｉｔ ｂｅｃｏｍｅｓ ｌｒａｇｅ ｗｉｈｔ ｉｎｃｒｅａｓｅ ｏｆ ａｖｅｒａｇｅ ｐｈｏｔｏｎ ｎｕｍｂｅｒｓ．Ｕｎｄｅｒ ｃｅｒｔａｉｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｅｘｔｒｅｍｕｍｓ ｏｆ ｑｕａｎｔｕｍ ｐｈａｓｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ ａｒｅ ｒｅｓｔｉｒｃｔｅｄ ｂｙ ａｎｄ ｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｑｕａｎｔｕｍ ｏｐｔｉｃｓ；ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｓｔａｔｅ；ｑｕａｎｔｕｍ ｐｈａｓｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
