动力学中的临界问题

动力学中的临界问题

一.几类问题的临界条件

1、相互接触的两物体脱离的临界条件是相互作用的弹力为零，即N=0。 2、绳子松弛的临界条件是绳中张力为零，即FT=0。

3、存在静摩擦的连接系统，相对静止与相对滑动的临界条件是静摩擦力达最大值，即f静=fm。

二.在动力学问题中，常常会出现临界状态，对于此类问题的解法一般有以下三种方法：

（1）极限法： 在题目中如果出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题，处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来，达到尽快求解的目的。

例1.如图所示，光滑水平面上有小车A，质量mA = 2 kg．小车上放有物体B，质量mB = 1 kg，A、B间有摩擦，若对B加一个水平推力F1，如图甲，当F1从零逐渐增大到3N时，B开始相对A滑动．若撤去F1，对A加一水平推力F2，如图乙，要使B与A间不发生滑动，F2最大值为多少？

解析：由于A和B间不发生相对滑动，故A和B的加速度相同，可用整体法。但是在图A和图B中所受外力F的对象不同，两种情况的加速度是不同的，它们都受制于A与B的最大静摩擦力．当F1推B时，是B对A的静摩擦力带动A与B一起作加速直线，当静摩FB B F擦力达到或超过最大值时，A与B间将发生相A A 对滑动；当F2推A时，也会发生相类似的情况，找出A、B间的最大静摩擦力是解决问题的关

甲 乙

键。把A和B看作一个整体作为研究对象，A 与B不发生相对滑动时，具有相同的加速度。

F1(mAmB)a1, a1= 1 m/s2fmBmAa121N = 2N.在图乙中，A与B间最大静摩

擦力也是2N，取B为研究对象有fm =mBa2 得a2=2 m/s2。即要使A和B间不发生相对滑动，故F2的最大值为6N。

（2）假设法：

有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界状态，也可能不会出现临界状态，解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，物体的受力情况及运动

状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。

例2、一斜面放在水平地面上，倾角为= 53°，一个质量为0.2kg的小球用细绳吊在斜面顶端，如图所示。斜面静止时，球紧靠在

2﹚θ ma 斜面上，绳与斜面平行，不计斜面与水平面的摩擦，当斜面以10m/s

的加速度向右运动时，求细绳的拉力及斜面对小球的弹力。

【解析】根据题意，先分析物理情景：斜面由静止向右加速运动

1

过程中，斜面对小球的支持力将会随着a的增大而减小，当a较小时（a→0），小球受到三个力（重力、细绳拉力和斜面的支持力）作用，此时细绳平行于斜面；当a足够大时，斜面对小球的支持力将会减少到零，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于角。而题中给出的斜面向右的加速度a10m/s，到底是属于上述两种情况的哪一种，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定，这是解决此类问题的关键所在。

设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a0，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图所示。

易知：mgctgma0 ∴ a0gctg7.5m/s2 ∵ a10m/s＞a0

2

2∴ 小球已离开斜面，斜面的支持力N = 0， 同理，由图的受力分析可知，（注意：此时细绳与斜面的夹角大于）

22细绳的拉力： T = (mg)(ma)222.83牛 方向沿着细绳向上。

（3）数学方法：

将物理过程转化为数学表达式，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件。如二次函数、不等式、三角函数等等。

例3、如图所示，质量为M=2kg的木块与水平地面的动摩擦因数=0.4，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N的恒力F，使木块沿地面向右作直线运动，定滑轮离地面的高度h=10cm，木块M可视为质点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？

【解析】设当轻绳与水平方向成角时，M的加速度最大，对M有，

﹚θ

Fcos(MgFsin)Ma ①

整理得：F(cossin)MgMa ② 令cossinA ③

由上式可知，当Acossin取最大值时，a最大。

A12(112cos12sin)12sin() ④

2

其中arcsin(112)

2而Amax1，与此相对应的角为：2arcsin(112) ⑤

∴ 加速度a的最大值：amax解得：amax6.8m/s2

F12g ⑥

M此时木块离定滑轮的水平距离：shcot ⑦ 解得：s25cm

[说明]此题并非在任何条件下都能达到上述最大加速度的，因为当达到一定值时，就有可能使物体脱离地面，因此，F、M、

必须满足一定的取值，即Fsin≤Mg。

例4、如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹

A 簧相连接的物块A 、B ．它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度

系数为k , C为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒

C 力F沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开CB θ 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d。重力加速度为g。

【解析】令x1表示未加F时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知 mAgsinθ=kx1 ①

令x2表示B 刚要离开C时弹簧的伸长量，a表示此时A 的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知

kx2=mBgsinθ ② F－mAgsinθ－kx2=mAa ③ F－(mA+mB)gsinθ

由② ⑧ 式可得a= ④

mA由题意 d=x1+x2 ⑤

(mA+mB)gsinθ

由①②⑤式可得d= ⑥

k

例5.如图所示，质量M=8 kg的小车放在水平光滑的平面上，在小车左端加一水平推力F=8 N，、当小车向右运动的速度达到1.5 m/s时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计，质量为m=2 kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数=0.2，小车足够长.求 （1）小物块放后，小物块及小车的加速度各为多大？ （2）经多长时间两者达到相同的速度？

3

（3）从小物块放上小车开始，经过t=1.5 s小物块通过的位移大小为多少？(取g=l0 2

m/s).

(2m/s2,0.5m/s2,1s,2.1m)

学生作业:

1.如图所示，mA=1kg，mB=2kg，A、B间静摩擦力的最大值是5N，水平面光滑。用水平力F拉B，当拉力大小分别是F=10N和F=20N时，A、B的加速度各多大？

F

2.一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a(a＜g＝匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。

分析与解：设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg，弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有：

mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma

当N=0时，物体与平板分离，所以此时x因为xm(ga) k

12at，所以t22m(ga)。

ka3.如图所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为，对物体施加一个与水平方向成角的力F，试求：

（1）物体在水平面上运动时力F的值；

（2）物体在水平面上运动所获得的最大加速度。

【解析】要使物体能够运动，水平方向的力必须要大于最大静摩擦力（近似等于此时的滑动摩擦力），当力F有极小值时，物体恰好在水平面上做匀速直线运动，对物体的受力如图所示，由图示得：

FmincosN ① FminsinNmg ②

解得：Fmin﹚θ mg ③

cossin

当力F有最大值时，物体将脱离水平面，此时地面对物体的支持力恰好为零，根据受力分析得：

Fy Fmaxcosma ④ Fmaxsinmg ⑤

﹚θ FX

4

解得：Fmaxmg ⑥ sin

∴物体在水平面上运动所获得的最大加速度： agctg ⑦

则物体在水平面上运动时F的范围应满足：

mgmg≤F≤

sincossin 5