动力学中的临界问题
一.几类问题的临界条件
1、相互接触的两物体脱离的临界条件是相互作用的弹力为零,即N=0。 2、绳子松弛的临界条件是绳中张力为零,即FT=0。
3、存在静摩擦的连接系统,相对静止与相对滑动的临界条件是静摩擦力达最大值,即f静=fm。
二.在动力学问题中,常常会出现临界状态,对于此类问题的解法一般有以下三种方法:
(1)极限法: 在题目中如果出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时,一般隐藏着临界问题,处理这类问题时,常常把物理问题或过程推向极端,从而将临界状态及临界条件显露出来,达到尽快求解的目的。
例1.如图所示,光滑水平面上有小车A,质量mA = 2 kg.小车上放有物体B,质量mB = 1 kg,A、B间有摩擦,若对B加一个水平推力F1,如图甲,当F1从零逐渐增大到3N时,B开始相对A滑动.若撤去F1,对A加一水平推力F2,如图乙,要使B与A间不发生滑动,F2最大值为多少?
解析:由于A和B间不发生相对滑动,故A和B的加速度相同,可用整体法。但是在图A和图B中所受外力F的对象不同,两种情况的加速度是不同的,它们都受制于A与B的最大静摩擦力.当F1推B时,是B对A的静摩擦力带动A与B一起作加速直线,当静摩FB B F擦力达到或超过最大值时,A与B间将发生相A A 对滑动;当F2推A时,也会发生相类似的情况,找出A、B间的最大静摩擦力是解决问题的关
甲 乙
键。把A和B看作一个整体作为研究对象,A 与B不发生相对滑动时,具有相同的加速度。
F1(mAmB)a1, a1= 1 m/s2fmBmAa121N = 2N.在图乙中,A与B间最大静摩
擦力也是2N,取B为研究对象有fm =mBa2 得a2=2 m/s2。即要使A和B间不发生相对滑动,故F2的最大值为6N。
(2)假设法:
有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索,但在变化过程中可能出现临界状态,也可能不会出现临界状态,解答此类问题,一般用假设法,即假设出现某种临界状态,物体的受力情况及运动
状态与题设是否相符,最后再根据实际情况进行处理。
例2、一斜面放在水平地面上,倾角为= 53°,一个质量为0.2kg的小球用细绳吊在斜面顶端,如图所示。斜面静止时,球紧靠在
2﹚θ ma 斜面上,绳与斜面平行,不计斜面与水平面的摩擦,当斜面以10m/s
的加速度向右运动时,求细绳的拉力及斜面对小球的弹力。
【解析】根据题意,先分析物理情景:斜面由静止向右加速运动
1
过程中,斜面对小球的支持力将会随着a的增大而减小,当a较小时(a→0),小球受到三个力(重力、细绳拉力和斜面的支持力)作用,此时细绳平行于斜面;当a足够大时,斜面对小球的支持力将会减少到零,小球将会“飞离”斜面,此时绳与水平方向的夹角将会大于角。而题中给出的斜面向右的加速度a10m/s,到底是属于上述两种情况的哪一种,必须先假定小球能够脱离斜面,然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定,这是解决此类问题的关键所在。
设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a0,此时斜面对小球的支持力恰好为零,小球只受到重力和细绳的拉力,且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图所示。
易知:mgctgma0 ∴ a0gctg7.5m/s2 ∵ a10m/s>a0
2
2∴ 小球已离开斜面,斜面的支持力N = 0, 同理,由图的受力分析可知,(注意:此时细绳与斜面的夹角大于)
22细绳的拉力: T = (mg)(ma)222.83牛 方向沿着细绳向上。
(3)数学方法:
将物理过程转化为数学表达式,然后根据数学中求极值的方法,求出临界条件。如二次函数、不等式、三角函数等等。
例3、如图所示,质量为M=2kg的木块与水平地面的动摩擦因数=0.4,木块用轻绳绕过光滑的定滑轮,轻绳另一端施一大小为20N的恒力F,使木块沿地面向右作直线运动,定滑轮离地面的高度h=10cm,木块M可视为质点,问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度最大?最大加速度为多少?
【解析】设当轻绳与水平方向成角时,M的加速度最大,对M有,
﹚θ
Fcos(MgFsin)Ma ①
整理得:F(cossin)MgMa ② 令cossinA ③
由上式可知,当Acossin取最大值时,a最大。
A12(112cos12sin)12sin() ④
2
其中arcsin(112)
2而Amax1,与此相对应的角为:2arcsin(112) ⑤
∴ 加速度a的最大值:amax解得:amax6.8m/s2
F12g ⑥
M此时木块离定滑轮的水平距离:shcot ⑦ 解得:s25cm
[说明]此题并非在任何条件下都能达到上述最大加速度的,因为当达到一定值时,就有可能使物体脱离地面,因此,F、M、
必须满足一定的取值,即Fsin≤Mg。
例4、如图所示,在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹
A 簧相连接的物块A 、B .它们的质量分别为mA、mB,弹簧的劲度
系数为k , C为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒
C 力F沿斜面方向拉物块A 使之向上运动,求物块B 刚要离开CB θ 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d。重力加速度为g。
【解析】令x1表示未加F时弹簧的压缩量,由胡克定律和牛顿定律可知 mAgsinθ=kx1 ①
令x2表示B 刚要离开C时弹簧的伸长量,a表示此时A 的加速度,由胡克定律和牛顿定律可知
kx2=mBgsinθ ② F-mAgsinθ-kx2=mAa ③ F-(mA+mB)gsinθ
由② ⑧ 式可得a= ④
mA由题意 d=x1+x2 ⑤
(mA+mB)gsinθ
由①②⑤式可得d= ⑥
k
例5.如图所示,质量M=8 kg的小车放在水平光滑的平面上,在小车左端加一水平推力F=8 N,、当小车向右运动的速度达到1.5 m/s时,在小车前端轻轻地放上一个大小不计,质量为m=2 kg的小物块,物块与小车间的动摩擦因数=0.2,小车足够长.求 (1)小物块放后,小物块及小车的加速度各为多大? (2)经多长时间两者达到相同的速度?
3
(3)从小物块放上小车开始,经过t=1.5 s小物块通过的位移大小为多少?(取g=l0 2
m/s).
(2m/s2,0.5m/s2,1s,2.1m)
学生作业:
1.如图所示,mA=1kg,mB=2kg,A、B间静摩擦力的最大值是5N,水平面光滑。用水平力F拉B,当拉力大小分别是F=10N和F=20N时,A、B的加速度各多大?
F
2.一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧,上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a(a<g=匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。
分析与解:设物体与平板一起向下运动的距离为x时,物体受重力mg,弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有:
mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma
当N=0时,物体与平板分离,所以此时x因为xm(ga) k
12at,所以t22m(ga)。
ka3.如图所示,质量为m的物体放在水平地面上,物体与地面间的动摩擦因数为,对物体施加一个与水平方向成角的力F,试求:
(1)物体在水平面上运动时力F的值;
(2)物体在水平面上运动所获得的最大加速度。
【解析】要使物体能够运动,水平方向的力必须要大于最大静摩擦力(近似等于此时的滑动摩擦力),当力F有极小值时,物体恰好在水平面上做匀速直线运动,对物体的受力如图所示,由图示得:
FmincosN ① FminsinNmg ②
解得:Fmin﹚θ mg ③
cossin
当力F有最大值时,物体将脱离水平面,此时地面对物体的支持力恰好为零,根据受力分析得:
Fy Fmaxcosma ④ Fmaxsinmg ⑤
﹚θ FX
4
解得:Fmaxmg ⑥ sin
∴物体在水平面上运动所获得的最大加速度: agctg ⑦
则物体在水平面上运动时F的范围应满足:
mgmg≤F≤
sincossin 5
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