2017年全国高考理科数学试题与答案-全国卷3

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔全国卷3〕

理科数学

一、选择题：此题共12小题，每题

5分，共 60分。在每题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．集合A {( x, y) x2

A． 3 ．设复数 2

y2 1} ，B {( x, y) y x} ，那么A

B． 2

2i ，那么 | z

C． 1

B 中元素的个数为

D．0

满足 (1 i) z

|

z

A．

2

1

B．

2 2

C．2

D．2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游效劳质量， 收集并整理了 2021年 1月至 2021

年 12月期间月接待游客量〔单位：万人〕的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，以下结论错误的选项是

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量顶峰期大致在7， 8月

D．各年 1月至 6月的月接待游客量相对于

7月至 12月，波动性更小，变化比拟平稳

4．

( x y)(2 x y)5的展开式中 x3 y3的系数为〔〕

A． -80

B． -40 C． 40

D．80

5 ．双曲线

C : x

2

y2

1(a 0, b

0) 的一条渐近线方程为

y

5

2

x ，且与椭圆

a2

x2 12

y2 3

b2

1 有公共焦点．那么C 的方程为〔〕

A． x2

8

6．设函数

y2 10

1

B． x2 y2

4 5

1

C． x2 y2

5

1

D． x2 y2 1

4

4 3

f (x) cos( x

)

，那么以下结论错误的选项是

...

...

〔〕

3

...

...

． f ( x) 的一个周期为

A

2

． y f ( x) 的图像关于直线

B

x

C

． f ( x

)

8 3

对称

的一个零点为 x

D． f ( x) 在 (

, ) 单调递减

6

2

7．执行右图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，那么输入的正整数

N 的最小值为

A． 5

B． 4

C． 3

D． 2

8．圆柱的高为

1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的

球面上，那么该圆柱的体积为〔〕

A．B．

3

4

C．D．

24

9．等差数列{ an}的首项为 1，公差不为 0．假设a2, a3,a6成等比数列，那么

A． -24 10．椭圆C :

2 2

{ an } 前6项的和为

D．8

2

B． -3

C． 3

x

a

y 2 1〔a b

b 0 〕的左、右顶点分别为

A1, A2 ，且以线段 A1A2为直

径的圆与直线 bx A． 6

3

ay 2ab 0 相切，那么 C 的离心率为〔〕

B． 3 3

C．

2

D．

1

３

e x 1 ) 有唯一零点，那3

11．函数f ( x)

A． 1

x2 2x a(ex 1 么

a 〔〕

B．1

C．

1

D．1

BD 相切的圆上．假

12

2

ABCD

3 1, AD

P

C

2

．在矩形

中， AB

，那2 ，动点

在以点 为圆心且与 设

AD 么

AP AB

的最大值为

A． 3 二、填空题：〔此题共

B．2 2 C．5

D．2

4小题，每题 5分，共 20分〕

13．假设件

x, y

x y 0,

满足约束条

x y 2 y 0

0, 那么

z 3x

4y

的最小值为 ________．

...

...

14．设等比数列{ an} 满足 a1 a 21,a1 a33 ，那么 a4________．

...

...

15．设函数f ( x)

x 1, x 2x ,

x

0, 0

那么满足 f ( x) f (x 1)

1 的x的取值X围是________．

ABC 的直角边 AC 所在直线与a, b

2

16．a, b为空间中两条互相垂直的直线， 等腰直角三角形

都垂直，斜边AB 以直线AC为旋转轴旋转，有以下结论： ①当直线 AB 与a成60 角时， AB 与b成30 角； ②当直线 AB 与a成60 角时， AB 与b成60 角； ③直线 AB 与a所成角的最小值为 ④直线 AB 与a所成角的最大值为

45 ； 60 ．

其中正确的选项是 ________〔填写所有正确结论的编号〕

三、解答题：〔共 70分．第 17-20 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第

考题，考生根据要求作答〕

〔一〕必考题：共 60分． 17．〔 12分〕

22， 23题为选

ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c ，sin A 3cos A

〔 1〕求c；

0, a

2 7, b 2

〔 2〕设D为BC边上一点，且

AD AC ，求△ABD的面积．

18．〔 12分〕某超市方案按月订购一种酸奶，每天进货量一样，进货本钱每瓶

瓶 6元，未售出的酸奶降价处理， 以每瓶 2元的价格当天全部处理完． 每天需求量与当天最高气温〔单位：℃〕有关．如果最高气温不低于 瓶；如果最高气温位于区间

4元，售价每

根据往年销售经历，

25，需求量为 500

20，需求量

[20,25) ，需求量为300瓶；如果最高气温低于

为 200瓶，为了确定六月份的订购方案，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温

天数

10 ，15

2

15 ，20

16

20 ，25

36

25 ，30

25

30 ，35

7

35 ，40

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． 〔 1〕求六月份这种酸奶一天的需求量 〔 2〕设六月份一天销售这种酸奶的利润为 进货量〔单位：瓶〕为多少时，

X 〔单位：瓶〕的分布列；

Y 〔单位：元〕．当六月份这种酸奶一天的

Y 的数学期望到达最大值？

19．〔 12分〕如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD

是直角三角形． ? ABD 〔 1〕证明：平面

D

?CBD ，AB= BD．

ACD ^ 平面 ABC ； E

〔 2〕过AC的平面交 BD 于点 E ，假设平面 AEC 把四面体

C

B

A

...

...

ABCD 分成体积相等的两局部．求二面角

2

D- AE- C 的余弦值．

20．〔 12分〕抛物线

C : y = 2 x ，过点〔 2，0〕的直线l交C于A，B两点，圆M是以

线段 AB 为直径的圆．

（ 1〕证明：坐标原点O在圆M上；

（ 2〕设圆M过点P〔 4，- 2〕，求直线l与圆M的方程． 21．〔 12分〕函数

f (x)

x 1a ln x ．

〔 1〕假设 f (x) ≥ 0 ，求a的值； 〔 2〕设m为整数，且对于任意正整数

n ，(1 + )(1 +

1 2

1 2

2 )鬃?(1

1 2

n ) < m ，求m的最

小值．

〔二〕选考题：共

题计分。

10分。请考生在

第 22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一

22． [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程

] 〔 10分〕

在直角坐标系 xOy 中，直线l1 的参数方程为

x 2 t , y kt

〔 t 为参数〕，直线 l 2的参数方

x

程为

y

2 m,

m k

〔 m 为参数〕，设 l1与 l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲

线 C ．

（ 1〕写出C的普通方程：

（ 2 〕 以 坐 标 原 点 为 极 点 ，x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 设l3：

(cossin )2 0 ，M为 l3与C的交点，求M的极径．

23． [ 选修 4-5 ：不等式选讲] 〔 10分〕

函数

f ( x) | x | | x| ．

（ 1〕求不等式 f ( x) 的解集；

（ 2〕假设不等式f ( x) x x m的解集非空，求m的取值X围．

...

...

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔全国3〕

理科数学参

一、选择题

1． B 7． D

二、填空题

13．

2． C 8． B

3． A 9． A

4． C 5． B 6． D

10． A 11． C 12． A

1

14． 8

15．(

1 , 4

)

16．②③

三、解答题 17．解：

〔1〕由可得tan A

3 ，所以 A

2 3

2

在 ABC 中，由余弦定理得

28 4 c

4c cos

2

，即 c2

2c 24 0

3

解得 c

〔2〕由题设可得

6 〔舍去〕， c 4

CAD

，所以

BAD

BAC CAD

2

1

6

AB AD sin

故

ABD 面积与

ACD 面积的比值为 2

1

ACAD

6 1

2

2 3，所以

又

ABC 的面积为

1

4 2sin

BAC

ABD 的面积为 3

2

18．解：

〔1〕由题意知，

PX 200

X 所有可能取值为200,300,500

2

，由表格数据知 36 90

0.4， P X 500

16 90

0.2，P X

300

25

7 4

0.4 .

90

因此 X 的分布列为：

X P

当 300 n 500 时，

200 0.2

300 0.4

500 0.4

〔2〕由题意知， 这种酸奶一天的需求量至多为

500，至少为 200，因此只需考虑 200 n

500

假设最高气温不低于25，那么Y6n 4n 2n ；

...

...

Y假设最高气温位于区间 [20,25 〕，那么 6 300 2( n 300) 4n 1200 2n ；

，那么 假设最高气温低

Y 6 200 2( n 200) 4n 800 2 n 于 20

因此 EY 2n

0.4 (1200 2n) 0.4 (800 2n) 0.2 0 0.4n

当 200 n 300 时，

假设最高气温不低于 20，那

么Y 6n 4n 2n ； 假设最高气温低

20，那么Y 6 200 2( n 200) 4n 于

因此 EY 所以 n

19．解：

800 2 n

2n (0.4 0.4) (800 2n) 0.2 160 1.2n

300 时， Y 的数学期望到达最大值，最大值为

520元。

〔1〕由题设可得，

ABD CBD ，从而 AD DC

ADC

又 ACD 是直角三角形，所以 取 AC 的中点 O ，连结 DO,BO ，

90

D

则 DO AC,DO AO 又由于

ABC 是正三角形，故 BO

AC

C

E

所以

DOB 为二面角 D

2

AC

B 的平面角

在 Rt AOB 中，BO又 AB

O

AO 2 AB 2

B

BD ，所以

A

BO2 DO 2 BO 2 AO2

平面 ABC

AB 2

BD 2，故 DOB

90

所以平面 ACD

〔2〕由题设及〔 1〕知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方

向， | OA | 为单位长，建立如下图的空间直角坐标系 O xyz ，那么

z D

A(1,0,0), B(0, 3,0), C ( 1,0,0), D (0,0,1)

由题设知， 四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的

1

2

，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到

平面 ABC 的距离的

1

C

O

E

，即 E 为 DB 的中点，得

2

y

E(0,

31,)，故

2

2

B

A

x

AD ( 1,0,1), AC ( 2,0,0), AE

( 1, ,)

2 2

31

...

...

(x, y, z) 是平面 DAE 的法向量，那

么

m AC m AE

0,

同理可取 m (0, 1, 3)

设 n

0

那么 cos

n, m

n m | n ||m |

AE

7 7

所以二面角 D

C 的余弦值为

7 7

20．解：

〔1〕设A( x1, y1), B( x2, y2),l : x my 2

x my 2,

由 又

2

可得 y

2 2my 4 0 ，那么 y1 y2

4

y x1

12x

y22 ，故 x1 x2 ( y1 y2 ) 2 4 2 4 2

y1 y2

因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为

x1 x2

故坐标原点 O 在圆 M 上

y2, x2

4 4

1 ，所以 OA OB

〔2〕由〔 1〕可得y1 y2 2m, x1 x2 m( y1 y2 ) 4

2m2

4

故圆心 M 的坐标为(m2+2, m)，圆 M 的半径 r 由于圆 M 过点 P(4, 故 ( x1 即 x1 x2

(m2 +2) 2 m2

，

2) ，因此AP BP

0

4)( x2 4) ( y1 2)( y2 2) 0，

4(x1 x2 ) y1 y2 2( y2 y2 ) 20 0

4, x1x2 4

1

由〔 1〕可得y1y2 所以 2m

2

m

1 0 ，解得 m

或 m

1 2

当 m

1时，直线 l 的方程为 x y 1 0 ，圆心 M 的坐标为 (3,1) ，圆 M 的半径为

10，圆 M 的方程为( x

当 m

3)2 ( y 1)2 10

1

时，直线 l 的方程为 2 x y

4 0 ，圆心 M 的坐标为 (

9 4

,

1 2

)，圆M 的

2

半径为

85

4

，圆M 的方程为 ( x 9 )2 ( y 1 )2

4

2

85 16

21．解：

〔1〕f ( x)的定义域为(0, )

...

...

(a, )

①假设 a 0 ，因为 f ( )

2 ②假设 a 0 ，由 f (x) 1

1

1 a ln 2 0 ，所以不满足题意；

2 a

x a

x a 是

x

x

x(0, a) f

知，当 时，(x)

0 ；当 x

时， f (x) 0 。所以 f ( x) 在 (0, a) 单调递减，在 ( a,

) 单调递增。故

f ( x) 在 (0, ) 的唯一最小值点。

由于 f (1) 0 ，所以当且仅当 a 1 时， f (x) 故 a

0

1

〔2〕由〔 1〕知当x (1,

令 x

) 时， x 1 ln x 1 2

)n

0

1

1

n

，得 (1

1 2

n ，从而

n

2

ln(1

故

1 1 1

) ln(1 2 ) ... ln(1 n ) 2 2 2 1 1 1

1 2

1

2

...

1

n

1

1 2

1

2

2

(1

而 (1 )(1

2)(1 22 11

2

)...(1

2 )(1

2n 1

)

e

3 )

2 ，所以 m 的最小值为3

2

2

22．解：

〔 1 〕 消 去 参 数t得l1的 普 通 方 程l1: yk (x2) ； 消 去 参 数 m t 得 l2的 普 通 方 程

l2 : y

1 k

( x 2)

设

P(x, y)

y k ( x 2),

，由题设得 消去 k 得x2 y2 1

y ( x 2).

k

y2 4( y 0)

sin2 )

得 cos

4( y 0)

所以 C 的普通方程为x2

〔2〕C的极坐标方程为

2

2

(cos2

4(2

sin

2 ,

2(cos

)

sin

联立

(cos2

sin2 ) 4, sin )

2

)

(cos

故 tan

2 0

1 ，从而 cos

3

29 ,sin 2

2

10

1

10

代入

(cos2 sin 2

) 4 得 5 ，所以交点 M 的极径为 5

23．解：

...

...

3, 3,

x

x

2

1,

〔1〕f ( x)

2x 1, 1 x 2,

当 x 1时， f ( x) 1无解；

当 1 x 2 时，由 f (x) 1 得， 2x 1 1，解得 1 x

2 ；

当 x

2 时，由 f ( x) 1解得 x 2

所以 f (x)

1的解集为 { x | x

1}

〔2〕由f ( x)

x2 x m 得 m | x 1| | x

2| x2 x ，而| x 1|

| x 2| x2

x | x | 1 | x | 2 x2 | x |

(| x | 3)2

5

2 4

5

4

且当 x3

时， | x 1| | x 2 | x2

x

5

2

5

4

故 m 的取值X围为(

, ]

4

...