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2018年北京市高考数学试卷(理科)解析

来源:华佗健康网


2018年北京市高考数学试卷(理科)

参与试题解析

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1.(5分)已知集合A={x||x|<2},B={﹣2,0,1,2},则A∩B=( ) A.{0,1} B.{﹣1,0,1}

C.{﹣2,0,1,2} D.{﹣1,0,1,2}

【分析】根据集合的基本运算进行计算即可.

【解答】解:A={x||x|<2}={x|﹣2<x<2},B={﹣2,0,1,2}, 则A∩B={0,1}, 故选:A.

【点评】本题主要考查集合的基本运算,根据集合交集的定义是解决本题的关键.比较基础.

2.(5分)在复平面内,复数A.第一象限

B.第二象限

的共轭复数对应的点位于( ) C.第三象限

D.第四象限

【分析】利用复数的除法运算法则,化简求解即可. 【解答】解:复数

=

=

共轭复数对应点的坐标(,﹣)在第四象限. 故选:D.

【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算,复数的几何意义,是基本知识的考查.

3.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的s值为( )

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A. B. C. D.

【分析】直接利用程序框图的应用求出结果. 【解答】解:执行循环前:k=1,S=1. 在执行第一次循环时,S=1﹣=. 由于k=2≤3,

所以执行下一次循环.S=k=3,直接输出S=, 故选:B.

【点评】本题考查的知识要点:程序框图和循环结构的应用.

4.(5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献,十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于率为( ) A.

f B.

f

C.

f D.

f

.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频,

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【分析】利用等比数列的通项公式,转化求解即可.

【解答】解:从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于

=

若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为:故选:D.

【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法,考查计算能力.

5.(5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个

数为( )A.1

B.2

C.3

D.4

【分析】画出三视图的直观图,判断各个面的三角形的情况,即可推出结果. 【解答】解:四棱锥的三视图对应的直观图为:PA⊥底面ABCD, AC=

,CD=

,可得三角形PCD不是直角三角形.

PC=3,PD=2

所以侧面中有3个直角三角形,分别为:△PAB,△PBC, △PAD. 故选:C.

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【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用,是基本知识的考查.

6.(5分)设,均为单位向量,则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【分析】根据向量数量积的应用,结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可. 【解答】解:∵“|﹣3|=|3+|” ∴平方得|

|2

+9||2﹣6•=9|

|2

+||2+6•,

即1+9﹣6•=9+1+6•, 即12•=0, 则•=0,即⊥,

则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的充要条件, 故选:C.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键.

7.(5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x﹣my﹣2=0的距离.当θ、m变化时,d的最大值为( ) A.1

B.2

C.3

D.4

=

,当sin(θ+α)=

【分析】由题意d=

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﹣1时,dmax=1+≤3.由此能求出d的最大值.

【解答】解:由题意d=tanα==,

∴当sin(θ+α)=﹣1时, dmax=1+

≤3.

=,

∴d的最大值为3. 故选:C.

【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法,考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.

8.(5分)设集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2},则( ) A.对任意实数a,(2,1)∈A B.对任意实数a,(2,1)∉A

C.当且仅当a<0时,(2,1)∈A D.当且仅当a≤时,(2,1)∉A 【分析】利用a的取值,反例判断(2,1)∈A是否成立即可.

【解答】解:当a=﹣1时,集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2}={(x,y)|x﹣y≥1,﹣x+y>4,x+y≤2},显然(2,1)不满足,﹣x+y>4,x+y≤2,所以A,C不正确;

当a=4,集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2}={(x,y)|x﹣y≥1,4x+y>4,x﹣4y≤2},显然(2,1)在可行域内,满足不等式,所以B不正确; 故选:D.

【点评】本题考查线性规划的解答应用,利用特殊点以及特殊值转化求解,避免可行域的画法,简洁明了.

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

9.(5分)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为 an=6n﹣3 .

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【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1=3,d=6,由此能求出{an}的通项公式.

【解答】解:∵{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36, ∴

解得a1=3,d=6,

∴an=a1+(n﹣1)d=3+(n﹣1)×6=6n﹣3. ∴{an}的通项公式为an=6n﹣3. 故答案为:an=6n﹣3.

【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

10.(5分)在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切,则a= 1+ .

【分析】首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程,进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果. 【解答】解:圆ρ=2cosθ, 转化成:ρ2=2ρcosθ,

进一步转化成直角坐标方程为:(x﹣1)2+y2=1,

把直线ρ(cosθ+sinθ)=a的方程转化成直角坐标方程为:x+y﹣a=0. 由于直线和圆相切,

所以:利用圆心到直线的距离等于半径. 则:

=1,

.a>0

解得:a=1±则负值舍去. 故:a=1+

故答案为:1+.

【点评】本题考查的知识要点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线与圆相切的充要条件的应用.

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11.(5分)设函数f(x)=cos(ωx﹣的实数x都成立,则ω的最小值为

)(ω>0),若f(x)≤f( .

)对任意

【分析】利用已知条件推出函数的最大值,然后列出关系式求解即可. 【解答】解:函数f(x)=cos(ωx﹣实数x都成立, 可得:

则ω的最小值为:. 故答案为:.

【点评】本题考查三角函数的最值的求法与应用,考查转化思想以及计算能力.

12.(5分)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y﹣x的最小值是 3 .

【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义进行求解即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 设z=2y﹣x,则y=x+z, 平移y=x+z,

由图象知当直线y=x+z经过点A时, 直线的截距最小,此时z最小, 由

,即A(1,2),

,k∈Z,解得ω=

,k∈Z,ω>0

)(ω>0),若f(x)≤f(

)对任意的

此时z=2×2﹣1=3, 故答案为:3

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【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键.

13.(5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是 f(x)=sinx . 【分析】本题答案不唯一,符合要求即可. 【解答】解:例如f(x)=sinx,

尽管f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立, 当x∈[0,

)上为增函数,在(

,2]为减函数,

故答案为:f(x)=sinx.

【点评】本题考查了函数的单调性,属于基础题.

14.(5分)已知椭圆M:

+

=1(a>b>0),双曲线N:

=1.若双

曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;双曲线N的离心率为 2 .

【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标,代入椭圆方程,求出椭圆的离心率;利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可. 【解答】解:椭圆M:

+

=1(a>b>0),双曲线N:

=1.若双曲线

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N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,

可得椭圆的焦点坐标(c,0),正六边形的一个顶点(,可得

),可得:

,可得e4﹣8e2+4=0,e∈(0,1),

解得e=.

,即

同时,双曲线的渐近线的斜率为可得:

,即

可得双曲线的离心率为e=故答案为:

;2.

=2.

【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15.(13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣. (Ⅰ)求∠A;

(Ⅱ)求AC边上的高.

【分析】(Ⅰ)由正弦定理结合大边对大角进行求解即可.

(Ⅱ)利用余弦定理求出c的值,结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可. 【解答】解:(Ⅰ)∵a<b,∴A<B,即A是锐角, ∵cosB=﹣,∴sinB=

=

=

由正弦定理得则A=

=得sinA===,

(Ⅱ)由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB, 即=49+c2+2×7×c×,

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即c2+2c﹣15=0, 得(c﹣3)(c+5)=0, 得c=3或c=﹣5(舍), 则AC边上的高h=csinA=3×

=

【点评】本题主要考查解三角形的应用,利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决本题的关键.

16.(14分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEF;

(Ⅱ)求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值; (Ⅲ)证明:直线FG与平面BCD相交.

,AC=AA1=2.

【分析】(I)证明AC⊥BE,AC⊥EF即可得出AC⊥平面BEF; (II)建立坐标系,求出平面BCD的法向量,通过计算与的大小; (III)计算

与的数量积即可得出结论.

的夹角得出二面角

【解答】(I)证明:∵E,F分别是AC,A1C1的中点,∴EF∥CC1, ∵CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC, 又AC⊂平面ABC,∴EF⊥AC, ∵AB=BC,E是AC的中点, ∴BE⊥AC,

又BE∩EF=E,BE⊂平面BEF,EF⊂平面BEF,

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∴AC⊥平面BEF.

(II)解:以E为原点,以EB,EC,EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示: 则B(2,0,0),C(0,1,0),D(0,﹣1,1), ∴

=(﹣2,1,0),

=(0,﹣2,1),

,即

设平面BCD的法向量为=(x,y,z),则令y=2可得=(1,2,4),又EB⊥平面ACC1A1, ∴

=(2,0,0)为平面CD﹣C1的一个法向量,

>=

=

=

∴cos<,

由图形可知二面角B﹣CD﹣C1为钝二面角, ∴二面角B﹣CD﹣C1的余弦值为﹣

=(2,0,﹣1),

(III)证明:F(0,0,2),(2,0,1),∴∴∴

•=2+0﹣4=﹣2≠0, 与不垂直,

∴FG与平面BCD不平行,又FG⊄平面BCD, ∴FG与平面BCD相交.

【点评】本题考查了线面垂直的判定,二面角的计算与空间向量的应用,属于中档题.

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17.(12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型 电影部数 好评率

第一类 140 0.4

第二类 50 0.2

第三类 300 0.15

第四类 200 0.25

第五类 800 0.2

第六类 510 0.1

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互.

(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;

(Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;

(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢.“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系. 【分析】(Ⅰ)先求出总数,再求出第四类电影中获得好评的电影的部数,利用古典概型概率计算公式直接求解.

(Ⅱ)设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”,第四类获得好评的有50部,第五类获得好评的有160部,由此能求出从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率. (Ⅲ)由题意知,定义随机变量如下:ξk=

,则

ξk服从两点分布,分别求出六类电影的分布列及方差由此能写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.

【解答】解:(Ⅰ)设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影”,

总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部, 第四类电影中获得好评的电影有:200×0.25=50部,

∴从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为: P(A)=

=0.025.

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(Ⅱ)设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”,

第四类获得好评的有:200×0.25=50部, 第五类获得好评的有:800×0.2=160部,

则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率: P(B)=

=0.35.

(Ⅲ)由题意知,定义随机变量如下: ξk=

则ξk服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影:

ξ1 1 P

0.4

E(ξ1)=1×0.4+0×0.6=0.4,

D(ξ1)=(1﹣0.4)2×0.4+(0﹣0.4)2×0.6=0.24. 第二类电影:

ξ2 1 P

0.2

E(ξ2)=1×0.2+0×0.8=0.2,

D(ξ2)=(1﹣0.2)2×0.2+(0﹣0.2)2×0.8=0.16. 第三类电影:

ξ3 1 P

0.15

E(ξ3)=1×0.15+0×0.85=0.15,

D(ξ3)=(1﹣0.15)2×0.15+(0﹣0.85)2×0.85=0.1275. 第四类电影:

ξ4 1 P

0.25

E(ξ4)=1×0.25+0×0.75=0.15,

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0 0.6

0 0.8

0 0.85

0 0.75

D(ξ4)=(1﹣0.25)2×0.25+(0﹣0.75)2×0.75=0.1875. 第五类电影:

ξ5 P

E(ξ5)=1×0.2+0×0.8=0.2,

D(ξ5)=(1﹣0.2)2×0.2+(0﹣0.2)2×0.8=0.16. 第六类电影:

ξ6 P

E(ξ6)=1×0.1+0×0.9=0.1,

D(ξ5)=(1﹣0.1)2×0.1+(0﹣0.1)2×0.9=0.09. ∴方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系为: Dξ6<Dξ3<Dξ2=Dξ5<Dξ4<Dξ1.

【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的方差的求法,考查古典概型、两点分布等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.

18.(13分)设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex.

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a; (Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.

【分析】(Ⅰ)求得f(x)的导数,由导数的几何意义可得f′(1)=0,解方程可得a的值;

(Ⅱ)求得f(x)的导数,注意分解因式,讨论a=0,a=,a>,0<a<,a<0,由极小值的定义,即可得到所求a的范围.

【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex的导数为 f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]ex.

由题意可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0, 可得(a﹣2a﹣1+2)e=0, 解得a=1;

(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]ex=(x﹣2)(ax﹣1)ex,

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1 0.2

0 0.8

1 0.1

0 0.9

若a=0则x<2时,f′(x)>0,f(x)递增;x>2,f′(x)<0,f(x)递减. x=2处f(x)取得极大值,不符题意;

若a>0,且a=,则f′(x)=(x﹣2)2ex≥0,f(x)递增,无极值; 若a>,则<2,f(x)在(,2)递减;在(2,+∞),(﹣∞,)递增, 可得f(x)在x=2处取得极小值;

若0<a<,则>2,f(x)在(2,)递减;在(,+∞),(﹣∞,2)递增,

可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意;

若a<0,则<2,f(x)在(,2)递增;在(2,+∞),(﹣∞,)递减, 可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意. 综上可得,a的范围是(,+∞).

【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和极值,考查分类讨论思想方法,以及运算能力,属于中档题.

19.(14分)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.

(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围; (Ⅱ)设O为原点,

,求证:

+

为定值.

【分析】(Ⅰ)将P代入抛物线方程,即可求得p的值,设直线AB的方程,代入椭圆方程,由△>0,即可求得k的取值范围;

(Ⅱ)根据向量的共线定理即可求得λ=1﹣yM,μ=1﹣yN,求得直线PA的方程,令x=0,求得M点坐标,同理求得N点坐标,根据韦达定理即可求得定值.

【解答】解:(Ⅰ)∵抛物线C:y2=2px经过点 P(1,2),∴4=2p,解得p=2, 设过点(0,1)的直线方程为y=kx+1,

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+为

设A(x1,y1),B(x2,y2) 联立方程组可得

消y可得k2x2+(2k﹣4)x+1=0,

∴△=(2k﹣4)2﹣4k2>0,且k≠0解得k<1, 且k≠0,x1+x2=﹣

,x1x2=

故直线l的斜率的取值范围(﹣∞,0)∪(0,1); (Ⅱ)证明:设点M(0,yM),N(0,yN), 则因为

=(0,yM﹣1),=λ

=(0,﹣1)

,所以yM﹣1=﹣yM﹣1,故λ=1﹣yM,同理μ=1﹣yN,

(x﹣1)=

(x﹣1)=

(x﹣1),

直线PA的方程为y﹣2=

令x=0,得yM=因+

=

+

,同理可得yN=,

=+===

===2,

∴+=2,∴+为定值.

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【点评】本题考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理的应用,考查转化思想,计算能力,属于中档题.

20.(14分)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n},对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…yn),记 M(α,β)=[(x1+y1﹣|x1﹣y1|)+(x2+y2﹣|x2﹣y2|)+…(xn+yn﹣|xn﹣yn|)] (Ⅰ)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值;

(Ⅱ)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;

(Ⅲ)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0,写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由. 【分析】(Ⅰ)直接根据定义计算.

(Ⅱ)注意到1的个数的奇偶性,根据定义反证证明. (Ⅲ)根据抽屉原理即可得证.

【解答】解:(I ) M(α,α)=1+1+0=2,M(α,β)=0+1+0=1.

(II)考虑数对(xk,yk)只有四种情况:(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1),相

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应的分别为0、0、0、1,

所以B中的每个元素应有奇数个1,

所以B中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素): (1,0,0,0 )、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1), (0,1,1,1)、(1,0,1,1)、(1,1,0,1)、(1,1,1,0), 对于任意两个只有1个1的元素α,β都满足M(α,β)是偶数,

所以四元集合B={(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)}满足 题意,

假设B中元素个数大于等于4,就至少有一对互补元素, 除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α,

则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M(α,β)=1不合题意, 故B中元素个数的最大值为4.

(Ⅲ) B={(0,0,0,…0),(1,0,0…,0),(0,1,0,…0),(0,0,1…0)…, (0,0,0,…,1)},

此时B中有n+1个元素,下证其为最大.

对于任意两个不同的元素α,β,满足M(α,β)=0,则α,β中相同位置上的数字不能同时为1,

假设存在B有多于n+1个元素,由于α=(0,0,0,…,0)与任意元素β都有M(α,β)=0,

所以除(0,0,0,…,0)外至少有n+1个元素含有1,

根据元素的互异性,至少存在一对α,β满足xi=yi=l,此时M(α,β)≥1不满足题意,

故B中最多有n+1个元素.

【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系.综合性较强,难度较大.

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