重难点强化练（五） 动能定理与机械能守恒定律的综合应用
1．(多选)滑块以速率v1靠惯性沿固定斜面由底端向上运动，当它回到出发点时速率变为v2，且v2 解析：选BC 由v2 2 图1 A．重力做的功为500 J B．合外力做功为50 J C．克服阻力做功为50 J D．支持力做功为450 J 解析：选AB 重力做功与路径无关，WG＝mgh＝25×10×2 J＝500 J，A项正确；合外1212 力做功有W＝ΔEk＝mv＝×25×2 J＝50 J，B项正确；W＝WG＋W阻＝50 J，所以W阻＝－ 22450 J，即克服阻力做功为450 J，C项错误；支持力始终与速度垂直，不做功，D项错误。 3．(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列说法正确的是( ) A．卫星的动能逐渐减小 B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小 C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变 D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小 解析：选BD 由于空气阻力做负功，卫星轨道半径变小，地球引力做正功，引力势能一定减小，动能增大，机械能减小，选项A、C错误B正确。根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小，所以卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小，选项D正确。 4. (多选)如图2所示，竖直弹簧下端与地面固定，上端拴接一小球，小球在竖直力F作用下，将弹簧压缩。若将力F撤去，小球将向上弹起，直到速度变为零为止。在小球上升过程中( ) 图2 A．小球动能先增大后减小 B．小球动能与弹簧弹性势能之和先减小后增大 C．小球动能与弹簧弹性势能之和不断减小 D．小球动能减小为零时，重力势能最大 解析：选ACD 撤去力F时，弹力大于重力，小球所受合外力向上，加速度向上，小球向上做加速运动，当弹力减小到与重力平衡时，加速度为零，速度最大，之后，弹力小于重力，合外力向下，加速度向下，小球向上做减速运动，直至速度减为零，故整个过程中小球动能先增大后减小，选项A正确；因上升过程中，重力始终对小球做负功，因此，小球的动能与弹簧弹性势能之和不断减小，选项B错误，C正确；由以上分析可知，小球速度减为零时，上升至最大高度，即重力势能最大，故选项D正确。 5．小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动。取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向。下列速度v和位置x的关系图像中，能描述该过程的是( ) 解析：选A 由题意知在运动过程中小球机械能守恒，设机械能为E，小球离地面高度12vE为x时速度为v，则有mgx＋mv＝E，可变形为x＝－＋，由此方程可知图像为开口向 22gmg左、顶点在 2 E，0的抛物线，故选项A正确。 mg 6.如图3所示，一滑块从半圆形光滑轨道上端由静止开始滑下，当滑到最低点时，关于滑块的动能大小和对轨道的压力，下列说法正确的是( ) 图3 A．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越大 B．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力与半径无关 C．轨道半径越大，滑块动能越大，对轨道的压力越小 D．轨道半径变化时，滑块的动能和对轨道的压力都不变 12 解析：选B 设滑块滑到最低点时的速度为v，由机械能守恒定律得mgR＝mv，故轨道 2 mv2 半径越大，滑块在最低点时的动能越大；滑块对轨道的压力FN＝mg＋＝3mg，与半径的大 R小无关。故选项B正确。 7.如图4所示，固定在竖直平面内的光滑圆轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为最高点，DB为竖直方向上的直径，AE为水平面。今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从 A处进入圆轨道运动，只要适当调节释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D(不计空 气阻力)。则小球通过D点后( ) 图4 A．一定会落到水平面AE上 B．一定不会落到水平面AE上 C．一定会再次落到圆轨道上 D．可能会再次落到圆轨道上 解析：选A 小球在轨道内做圆周运动，通过最高点时的最小速度为gr，离开轨道后小球做平抛运动，若竖直方向下落r，则水平方向的最小位移s＝gr×小球只要能通过最高点D，就一定会落到水平面AE上。故选项A正确。 8.如图5，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平。一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小。用W表示质点从P点运动到 2r＝2r，所以 g N点的过程中克服摩擦力所做的功。则( ) 图5 1 A．W＝mgR，质点恰好可以到达Q点 21 B．W>mgR，质点不能到达Q点 2 1 C．W＝mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离 21 D．W 解析：选C 设质点到达N点的速度为vN，在N点质点受到轨道的弹力为FN，则FN－mgmvN2123＝，已知FN＝FN′＝4mg，则质点到达N点的动能为EkN＝mvN＝mgR。质点由开始至NR22 1 点的过程，由动能定理得mg·2R＋Wf＝EkN－0，解得摩擦力做的功为Wf＝－mgR，即克服摩 21 擦力做的功为W＝－Wf＝mgR。设从N到Q的过程中克服摩擦力做功为W′，则W′ 9.(多选)如图6，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距 h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视 为质点，重力加速度大小为g。则( ) 图6 A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为2gh C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 解析：选BD 由题意知，系统机械能守恒。设某时刻a、b的速度分别为va、vb。此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如图。因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v∥与v∥是相等的，即vacos θ＝vb sin θ。当a滑至地面时θ＝90°，此时 ′ vb＝0，由系统机械能守恒得mgh＝mva2，解得va＝2gh，选项B正确。同时由于b初、末 速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对b先做正功后做负功，选项A错误。杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误。b的动能最大时，杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确。正确选项为B、D。 1 2 10．(多选)(全国甲卷)如图7，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、 N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<。在小球从M点运动到N点的过 程中，( ) π2 图7 A．弹力对小球先做正功后做负功 B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度 C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零 D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差 π 解析：选BCD 在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM＜∠OMN＜， 2则小球在M点时弹簧处于压缩状态，在N点时弹簧处于拉伸状态，小球从M点运动到N点的过程中，弹簧长度先缩短，当弹簧与竖直杆垂直时弹簧达到最短，这个过程中弹力对小球做负功，然后弹簧再伸长，弹力对小球开始做正功，当弹簧达到自然伸长状态时，弹力为零，再随着弹簧的伸长弹力对小球做负功，故整个过程中，弹力对小球先做负功，再做正功，后再做负功，选项A错误。在弹簧与杆垂直时及弹簧处于自然伸长状态时，小球加速度等于重力加速度，选项B正确。弹簧与杆垂直时，弹力方向与小球的速度方向垂直，则弹力对小球 做功的功率为零，选项C正确。由机械能守恒定律知，在M、N两点弹簧弹性势能相等，在 N点动能等于从M点到N点重力势能的减小值，选项D正确。 11.杂技演员甲的质量为M＝80 kg，乙的质量为m＝60 kg。跳板轴间光滑，质量不计。甲、乙一起表演节目。如图8所示。开始时，乙站在B端，A端离地面1 m，且OA＝OB。甲先从离地面H＝6 m的高处自由跳下落在A端。当A端落地时，乙在B端恰好被弹起。假设甲碰到A端时，由于甲的技艺高超，没有能量损失。分析过程假定甲、乙可看做质点。(取 g＝10 m/s2)问： 图8 (1)当A端落地时，甲、乙两人速度大小各为多少？ (2)若乙在B端的上升可以看成是竖直方向，则乙离开B端还能被弹起多高？ 1 解析：(1)甲跳下直到B端弹起到最高点的过程中，甲、乙机械能守恒，有MgH＝Mv甲 2 2 12 ＋mv乙＋mgh 2 而v甲＝v乙，h＝1 m 联立可解得v甲＝v乙＝215 m/s。 (2)乙上升到最高点的过程中，机械能守恒，有： 1 mv乙2＝mgh1，解得h1＝3 m。 2 答案：(1)215 m/s 215 m/s (2)3 m 12．(全国甲卷)轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为 5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图9所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。 图9 (1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离； (2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。 解析：(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为 Ep＝5mgl① 12 设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得Ep＝MvB＋μMg·4l2② 联立①②式，取M＝m并代入题给数据得 vB＝6gl③ 若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足 mv2 －mg≥0④ l设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得 1212 mvB＝mvD＋mg·2l⑤ 22联立③⑤式得vD＝2gl⑥ vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得 12 2l＝gt⑦ 2 P落回到AB上的位置与B点之间的距离为 s＝vDt⑧ 联立⑥⑦⑧式得 s＝22l。⑨ (2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知 5mgl＞μMg·4l⑩ 要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有 12 MvB≤Mgl⑪ 2 55 联立①②⑩⑪式得m≤M＜m。⑫ 3255 答案：(1)6gl 22l (2)m≤M＜m 32 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
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