2018-2019学年安徽省定远重点中学高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版

安徽省定远重点中学2018-2019学年度上学期期末考试

高二数学（理科）试题

本试卷满分150分，考试时间120分钟。请在答题卷上作答。

第I卷 选择题 （共60分）

一、选择题（本大题共12题，每题5分，满分60分，每小题只有一个正确答案） 1.命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题是( ) A．若x，y都是偶数，则x＋y不是偶数 B．若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数 C．若x，y都不是偶数，则x＋y是偶数 D．若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数

2.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )

2

2

A．x＋y＝2 B．x＋y＞2 C．x＋y＞2 D．xy＞1

3.已知：p：|x－1|≥2，q：x∈Z，若p∧q，q同时为假命题，则满足条件的x的集合为( ) A．{x|x≤－1或x≥3，x∉Z} B．{x|－1≤x≤3，x∉Z} C．{x|x＜－1或x＞3，x∈Z} D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}

4.已知椭圆＋=＝1(a>b>0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[A．[D．[

，，

]

，]，则该椭圆的离心率e的取值范围为( )

，

] C．[

，

] B．[]

5.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线C′：

－＝

1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为( )

- 1 -

A．k(a＋m) B．2k(a＋m) C．k(a－m) D．2k(a－m)

6.已知P为抛物线y2＝4x上一动点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值为( ) A．4 B．

C．

－1 D．＝a，

＝b，

＝c，则〈

，

－1 〉

7.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，设等于( )

A．30° B．60° C．90° D．120°

8.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则

等于( )

A．D．

B． C．

9.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱，两两夹角都为60°，且AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M、N分别为BB1、B1C1的中点，则MN与AC所成角的余弦值为( )

- 2 -

A． B． C． D．

10.已知曲线C的方程为y＝xlnx，则C上点x＝1处的切线的倾斜角为( ) A．D．

B．

C．

11.设函数f(x)＝cos(x＋φ)(－π<φ<0)．若f(x)＋f′(x)是偶函数，则φ等于( )

A． B．－ C． D．－

12.函数y＝sin(2x＋x)的导数是( )

A．y′＝cos(2x2＋x) B．y′＝2xsin(2x2＋x)

C．y′＝(4x＋1)cos(2x2＋x) D．y′＝4cos(2x2＋

2

x)

二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 13.已知函数f(x)＝2sin 3x＋9x，则

2

2

________.

14.过点P(8,1)的直线与双曲线x－4y＝4相交于A，B两点，且P是线段AB的中点，则直线

AB的方程为________________．

15.沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为________________．(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)

16.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，MN分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈值为________．

，

〉的

三、解答题(共6小题,共70分) 17.（12分）已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l. (1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；

- 3 -

(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．

18. （10分）已知命题p：函数f(x)＝x2－2mx＋4在[2，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的不等式mx2＋4(m－2)x＋4＞0的解集为R.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．

19. （12分）如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且

＝2

，求椭圆的方程．

20. （12分）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若△F1AB的面积等于6

，求直线l的方程．

，

21. （12分）如下图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠

BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值； (3)是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．

22. （12分）已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－.若拋物线C：y＝2px(p>0)上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2. (1)求抛物线C的方程；

(2)若以拋物线上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N，试问在x轴上是否存在定点

2

- 4 -

Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

- 5 -

答案

1.D 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.D 8.C 9.B 10.B 11.B 12.C

13.6cos 3＋9 14.2x－y－15＝0 15.x＝－2 16.

17.解 (1)y′＝

＝3x2－3.

则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率

k1＝f′(1)＝0，

∴所求直线方程为y＝－2. (2)设切点坐标为(x0，－3x0)， 则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3－3，

∴直线l的方程为y－(－3x0)＝(3－3)(x－x0)， 又直线l过点P(1，－2)，

∴－2－(－3x0)＝(3－3)(1－x0)，

- 6 -

∴－3x0＋2＝(3－3)(x0－1)， 解得x0＝1(舍去)或x0＝－， 故所求直线斜率k＝3－3＝－，

于是y－(－2)＝－(x－1)，即y＝－x＋.

18.若命题p为真，因为函数的对称轴为x＝m，则m≤2.

若命题q为真，当m＝0时，原不等式为－8x＋4＞0，显然不成立． 当m≠0时，则有

⇒1＜m＜4.

因为p∨q为真，p∧q为假，所以命题p，q一真一假． 故

或

解得m≤1或2＜m＜4.

所以m的取值范围为(－∞，1]∪(2,4)．

19.(1)由∠F1AB＝90°及椭圆的对称性知b＝c，则e＝＝(2)由已知得a2－b2＝1，设B(x，y)，A(0，b)，则＝2

＝

.

＝(x－1，y)，由＝1，得a2＝3，因此b2

＝(1，－b)，

＋

，即(1，－b)＝2(x－1，y)，解得x＝，y＝－，则

＝2，椭圆的方程为＋＝1. 20. 【解析】 (1)依题意，b＝(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由(1)知F2(2,0)．易验证当直线l斜率不存在时不满足题意． 故可设直线l：y＝k(x－2)，由

消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，

，＝2⇒a＝1，c＝2，∴双曲线的方程为x－＝1.

2

当k≠±时，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，

△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝

12|k|·＝6，

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得k＋8k－9＝0，则k＝±1.

所以直线l方程为y＝x－2或y＝－x＋2. 21.以A为原点，

，

分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，

42

建立空间直角坐标系Axyz，

设PA＝a，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a，0)，C，P(0,0，a)． (1)

＝(0,0，a)，

＝

，∴

＝0，∴

⊥

，∴BC⊥AP，

又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. (2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点， ∴D，E，

∴由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E， ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵

＝

，

＝

，∴cos∠DAE＝

＝

，

∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为

.

(3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC， 又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，

∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角． ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP＝90°， 故存在点E，使得二面角A－DE－P是直二面角． 22.(1)由定义知l2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标为F

由抛物线定义，知抛物线上点到直线l2的距离等于其到焦点F的距离．

所以抛物线上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1的距离． 所以2＝

，则p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.

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(2)设M(x0，y0)，由题意知直线l斜率存在，设斜率为k，且k≠0， 所以直线l方程为y－y0＝k(x－x0)，

代入y2＝4x，消x得ky2－4y＋4y0－k＝0.由Δ＝16－4k(4y0－k)＝0，得k＝. 所以直线l方程为y－y0＝(x－x0)，

令x＝－1，又由＝4x0，得N.

设Q(x1,0)，则＝(x0－x1，y0)，＝，

由题意知·＝0，即(x0－x1)(－1－x1)＋＝0，

把＝4x0代入上式，得(1－x1)x0＋＋x1－2＝0. 因为对任意的x0，等式恒成立，所以

解得x1＝1，即在x轴上，存在定点Q(1,0)，在以MN为直径的圆上．

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