一元二次不等式知识点讲解及习题

1、概念：形如

（其中a不等于0）的不等式叫做一元二次不等式；

2、解集的求法：求一般的一元二次不等式

的解集，我们可以由二次函数的零点与相应一元二次方程的根的关系，先求出一元二次方程的解集。

= 0的根，再根据函数图像与x轴的相关位置确定一元二次不等式的

3、列表如下：

3、一元二次不等式解法的逆向思维：给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程的两根，由韦达定理可知a,b,c之间的关系。

4、含有参数的不等式的解法：解含有参数的一元二次型的不等式。

（1） 要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行讨论。

（2） 转化为标准形式的一元二次不等式（即二次项系数大于零）后，再用判别式与零的大小关系作为分类标准进行讨论

（3） 如果判别式大于零，但两根式不能确定，此事再以两根的大小作为分类标准在进行分类讨论；

5、分式不等式的解法：解分式不等式的思想是把分式不等式转化为整式不等式，即：

f(x)g(x)>0转化为 f(x)g(x)>0

f(x)g(x)转化为 f(x)g(x)<0

注意：解此类分时式不等式时，转化为整式不等式后，应注意分子可以取零，但是分母不可以取零。

6、一元高次不等式的解法：数轴穿根法

（1）将f(x)最高次项的系数化为正数

（2）将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积。

（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意：重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过）

（4）根据曲线显现出的f(x)值得符号变化规律，写出不等式的解集

（解普通一元二次不等式）

例1、(1) x+3x-10<0; (2)3 x+5x-2>0

22（跟踪训练）(1)- x+4x-5>0 （2）9 x-6x+1>0

22 (3) -3x-2x+8≤0

2 (不等式恒成立问题)

例2、(1)3x+x-4>0 (2) x

22+2x+3＞0

(含有绝对值的不等式)

例3、(1)x2-2|x|-3>0 （跟踪训练）

（1）︱2x-1︱＜3 (含有参数的不等式)

例4、(1)56 x2-ax-a2<0 （3）ax2-(a+1)x+1＜0

（分式不等式）

3x1例5、（1）x2≤-1 （一元高次不等式）

x23x2例6（1）x22x30 (2) 2x2+|4x+3|＜0

(2)︱2x2-x-1︱≥1

(2) -x2+(a-1)x+ a>0

x1 42x＞0

(2) (x-2)2(x-3)3(x+1)>0.

(跟踪训练)

24xx122（1）(x-3)(x+1)(x+4x+4)0. (2)x3x2

(思考) (x-x2+12)(x+a)<0.

（韦达定理与一元二次方程）

12例7、已知一元二次不等式ax+bx+1＞0的解集为｛x︱-1＜x＜3｝，则ab的值为

（一些恒成立问题）

例8、已知不等式x+ax+4＜0解集为空集，求a的取值围

2（跟踪训练1）当a为何值时，不等式（a-1）x-(a-1)x-1＜0的解集是全体实数。

22（跟踪训练2）若对x∈R，ax+4x+a≥-2x+1恒成立，数a的取值围。

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