大兴区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1)

一、选择题

1． 已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（ A．为直角三角形

B．为锐角三角形

C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能　　

2． 方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0表示的图形是（ A．两个点

B．四个点

）

）

C．两条直线D．四条直线

　3． 若等边三角形ABC的边长为2，N为AB的中点，且AB上一点M满足CMxCAyCB，

14则当取最小值时，CMCN（ ）

xyA．6 4． 有以下四个命题：①若=，则x=y．②若lgx有意义，则x＞0．③若x=y，则

=

．

）C．②③

D．③④

+x）=f（﹣x），则f（

）=（

）

④若x＞y，则 x2＜y2．则是真命题的序号为（ A．①②

B．①③

B．5

C．4

D．3

5． 若函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有f（A．2或0

B．0

C．﹣2或0

D．﹣2或2

6． 阅读如下所示的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（ A．39

B．21

）

D．102

C．81

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7． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）间的关系为PP0e的污染物，则需要（ A.8 B.10课标的这一重要思想.

8． 某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（

）

kt（P0，k均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%C. 15D. 18

）小时.

【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新

A．4B．5C．6D．7

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9． 空间直角坐标系中，点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C的坐标为（ A．（4，1，1）B．（﹣1，0，5）C．（4，﹣3，1）D．（﹣5，3，4）

）

10．已知函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），则{an}的前2之和S28=（ A．7

B．14

C．28

D．56

）

11．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ A．

B．y=x2C．y=﹣x|x|

D．y=x﹣2

）

12．已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（

）

B．M∩NC．∁IM∪∁IND．∁IM∩∁IN

A．M∪N

二、填空题

13．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为　　　　　　．　

14．若函数f（x）=logax（其中a为常数，且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），则f（2x﹣1）＜f（2﹣x）的解集是　　．15．一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B层中每个个体被抽到的概率都为

，则总体的个数为　　　　　　．　

16．向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x，y），且∥，则x﹣y=　　　　　　．17．函数y=ax+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点　　　　　　（填点的坐标）　

18．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　．（用区间表示）　

三、解答题

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19．在2014﹣2015赛季CBA常规赛中，某篮球运动员在最近5场比赛中的投篮次数及投中次数如下表所示：

2分球

第1场第2场第3场第4场第5场

10投5中13投5中8投4中9投5中10投6中

3分球4投2中5投2中3投1中3投0中6投2中

（1）分别求该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率和3分球的平均命中率；

（2）视这5场比赛中2分球和3分球的平均命中率为相应的概率．假设运动员在第6场比赛前一分钟分别获得1次2分球和1次3分球的投篮机会，该运动员在最后一分钟内得分ξ分布列和数学期望．　

20．已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．

（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；

（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．　

21．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f（y）（1）求f（1）的值，

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（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．

22．已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；

（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值．

23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．　

24．已知正项等差{an}，lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn=（1）求证{bn}为等比数列．

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（2）若{bn}前3项的和等于

，求{an}的首项a1和公差d．

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大兴区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：设A（x1，x12），B（x2，x22），将直线与抛物线方程联立得消去y得：x2﹣mx﹣1=0，根据韦达定理得：x1x2=﹣1，由得到则

⊥

=（x1，x12），

，

=（x2，x22），

=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，

，

∴△AOB为直角三角形．故选A

【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．　

2． 【答案】B

【解析】解：方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0则x2﹣4=0并且y2﹣4=0，即解得：

，，

，

，

，

得到4个点．故选：B．

【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．　

3． 【答案】D【解析】

试题分析：由题知BMCMCBxCA(y1)CB，BACACB；设BMkBA，则

1414144xyxk,y1k，可得xy1，当取最小值时，xy5，最小值在

xyxyxyyx第 7 页，共 16 页

1y4x21CACB代入，则时取到，此时y,x，将CMxCAyCB,CNxy3321212xy12CMCNxCAyCBCACB3xy33.故本题答案选D.

22233考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式．4． 【答案】A

【解析】解：①若=，则

，则x=y，即①对；

②若lgx有意义，则x＞0，即②对；③若x=y＞0，则

=

，若x=y＜0，则不成立，即③错；

④若x＞y＞0，则 x2＞y2，即④错．故真命题的序号为①②故选：A．

5． 【答案】D

【解析】解：由题意：函数f（x）=2sin（ωx+φ），∵f（

+x）=f（﹣x），

=

，

可知函数的对称轴为x=根据三角函数的性质可知，当x=∴f（

时，函数取得最大值或者最小值．）=2或﹣2

故选D．　

6． 【答案】D111.Com]【解析】

试题分析：第一次循环：S3,n2；第二次循环：S21,n3；第三次循环：S102,n4．结束循环，输出S102．故选D. 1考点：算法初步．7． 【答案】15 【

解

析

】

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8． 【答案】 C

【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S

k

1

是否继续循环是

循环前 100 0/第一圈100﹣20

第二圈100﹣20﹣21 2 是…

第六圈100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25＜0 6 则输出的结果为7．故选C．

【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．　

9． 【答案】C

【解析】解：设C（x，y，z），

∵点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C，

是

∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，

∴C（4，﹣3，1）．故选：C．　

10．【答案】C

【解析】解：∵函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．∴函数f（x）关于直线x=1对称，

∵数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），

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∴a6+a23=2．

则{an}的前2之和S28=故选：C．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

11．【答案】D【解析】解：函数

为非奇非偶函数，不满足条件；

=14（a6+a23）=28．

函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件；函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；

函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件；故选：D

【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．　

12．【答案】D

【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，∴M∪N={1，2，3，6，7，8}，M∩N={3}；

∁IM∪∁IN={1，2，4，5，6，7，8}；∁IM∩∁IN={2，7，8}，故选：D．　

二、填空题

13．【答案】　　．

【解析】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为1，则B1E=B1F=∴cos∠EB1F=，故答案为

，EF=

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【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．　

14．【答案】　（1，2）　．

【解析】解：∵f（x）=logax（其中a为常数且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），∴0＜a＜1，x＞0，若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），则

解得：1＜x＜2，故答案为：（1，2）．

【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．　

15．【答案】　300　．

【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，所以总体中的个体的个数为15÷故答案为：300．

【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．　

16．【答案】　﹣12　．

【解析】解：∵向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x，y），且∥，∴

==

，

=300．

，

解得x=﹣6，y=6，x﹣y=﹣6﹣6=﹣12．

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故答案为：﹣12．

【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．　

17．【答案】　（0，2）　

【解析】解：令x=0，得y=a0+1=2

∴函数y=ax+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点 （0，2）故答案为：（0，2）．

【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质，确定指数为0时，求函数的图象必过的定点　

18．【答案】　（1，+∞）　

【解析】解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，当命题p是假命题时，

命题￢p：∀x∈R，x2+2x+a＞0是真命题；即△=4﹣4a＜0，∴a＞1；

∴实数a的取值范围是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．

【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题，也考查了二次不等式恒成立的问题，是基础题目．　

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率为：

=，

3分球的命中率为：

=．

（2）依题意，该运动员投一次2分球命中的概率和投一次3分球命中的概率分别为，，ξ的可能取值为0，2，3，5，P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=2）=

=，

P（ξ=3）=（1﹣）×=，

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P（ξ=5）==，

3 5∴该运动员在最后1分钟内得分ξ的分布列为：

0 2 ξ

P

∴该运动员最后1分钟内得分的数学期望为Eξ=

=2．

【点评】本题考查相互事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想．　

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1），∴c=1，又b2=1，∴∴椭圆方程为：

+x2=1． …

（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，

设直线l1：y=kx﹣1由

消去y并化简得x2﹣4kx+4=0

∵直线l1与抛物线C2相切于点A．∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．…∵切点A在第一象限．∴k=1…∵l∥l1

∴设直线l的方程为y=x+m由

，消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0，…

△=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0，解得

．

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设B（x1，y1），C（x2，y2），则

，

．…

又直线l交y轴于D（0，m）∴=当

，即

．…

时，

．…

…

所以，所求直线l的方程为

【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．　

21．【答案】

【解析】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中，令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1），∴f（1）=0；

（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6），∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2

等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6），∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6），即f（

）＜f（6），

∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，∴

，解得﹣3＜x＜9，

即不等式的解集为（﹣3，9）．　

22．【答案】

【解析】解：（1）∵f（x）=ex﹣ax﹣1（a＞0），∴f'（x）=ex﹣a，

由f'（x）=ex﹣a=0得x=lna，

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由f'（x）＞0得，x＞lna，此时函数单调递增，由f'（x）＜0得，x＜lna，此时函数单调递减，即f（x）在x=lna处取得极小值且为最小值，最小值为f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，等价为f（x）min≥0，

由（1）知，f（x）min=a﹣alna﹣1，设g（a）=a﹣alna﹣1，则g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，由g'（a）=0得a=1，

由g'（x）＞0得，0＜x＜1，此时函数单调递增，由g'（x）＜0得，x＞1，此时函数单调递减，∴g（a）在a=1处取得最大值，即g（1）=0，因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．　

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）原不等式等价于

或

或

，

解得：＜x≤2或﹣≤x≤或﹣1≤x＜﹣，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤2}． （Ⅱ）不等式f（x）﹣

＞2恒成立⇔

+2＜f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|恒成立⇔

+2＜f（x）min恒成立，

∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，∴f（x）的最小值为4，∴即

+2＜4，，

解得：﹣1＜a＜0或3＜a＜4．

∴实数a的取值范围为（﹣1，0）∪（3，4）．

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24．【答案】

【解析】（1）证明：设{an}中首项为a1，公差为d．∵lga1，lga2，lga4成等差数列，∴2lga2=lga1+lga4，∴a22=a1a4．

即（a1+d）2=a1（a1+3d），∴d=0或d=a1．当d=0时，an=a1，bn=当d=a1时，an=na1，bn=综上可知{bn}为等比数列．（2）解：当d=0时，S3=当d=a1时，S3=

=

=

，所以a1=

；

==，∴

，∴

=1，∴{bn}为等比数列；

=，∴{bn}为等比数列．

，故a1=3=d．

【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用，涉及数列的公式多，复杂多样，故应多下点功夫记忆．　

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