高三数学复习集合与函数

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 高考风向标

本讲的主要内容是：集合的有关概念和运算，含有绝对值的不等式及一元二次不等式的解法，逻辑关联词，四种命题，充要条件．映射的概念，函数的概念，函数的单调性，反函数的概念，分数指数幂的概念和性质，指数函数的图象和性质，对数的定义和运算性质，对数函数的图象与性质，函数的一些应用．  典型题选讲

例１ 在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的什么条件？

讲解 在ABC中，角A、B的对边分别是a,bR是ABC的外接圆的半径． 一方面，因为 A即2RsinA2RsinB ，亦即 sinAsinB ，从而ABC中 A所以2RsinA2RsinB ，即 ab ，得A从而ABC中，sinAsinBA故ABC中，“AB”是“sinAsinB” 的充要条件．

点评 试问：在ABC中，“AB”是“cosAcosB”的什么条件？

例２ 试构造一个函数f(x),xD，使得对一切xD有|f(x)||f(x)|恒成立，但

22是f(x)既不是奇函数又不是偶函数，则f(x)可以是 .

讲解 f(x)的图像部分关于原点对称，部分关于y轴对称，如

x2 |x|1f(x)．

x |x|1点评 本题是一道开放题，你能给出其它的答案吗？请不妨一试． 例３ 某种细胞时，由1个成2个，2个成4个，…，一直下去．

（１） 用列表表示，1个细胞1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；

（２）用图像表示1个细胞的次数n(nN＋)与得到的细胞个数y之间的关系；

（３）写出得到的细胞个数y与次数n之间的关系式，试用计算器算算细胞

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15次、20次得到的细胞个数．

讲解 （１） 利用正整指数幂的运算法则，可以算出1个细胞1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下

次数 细胞个数

（２）细胞个数y与次数n之间的关系式是

y＝2n，nN＋．

利用计算器可以算得

215＝32768，220＝1048576．

故细胞15次、20次得到的细胞个数分别是32768个和1048576个．

点评 细胞是一种很有趣的数学问题，我们也可以思考下面的类似的问题： 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过 ______ 分钟，该病毒占据MB内存（1MB=210KB）.

例４ 已知函数f(x)3x1的反函数yf1(x)，g(x)log9(3x1) （１）若f1(x)g(x)，求x的取值范围D； （２）设函数H(x)g(x)讲解 ∵ f(x)3x1， ∴ f1(x)log3(x1)．

（１）∵f1(x)g(x) 即log3(x1)log9(3x1)． ∴log9(x1)2log9(3x1)，

11f(x)，当xD时，求H(x)的值域． 21 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 7 8 128 256 (x1)23x1, ∴

x10. 解之得 0x1，

∴xD0,1． （２） ∵ H(x)g(x)11f(x) 212 log9(3x1)log3(x1) log9(3x1)log9(x1)

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log93x1． x0,1

x13x12 令t ，显然在[0，1]递增， 3x1x1则有 1t2．

∴0H(x)log92，即H(x)的值域为{y0ylog92}．

例５ 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：

196x(1xc,xN) （其中c为小于96的正常数） P2(xc,xN)3注：次品率P次品数，如P0.1表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品． 生产量已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损

A元，故厂方希2望定出合适的日产量．

（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

讲解 （1）当xc时，P当1xc时，P12A2，所以，每天的盈利额TxAx0;

3323

11，所以，每日生产的合格仪器约有1x件，次品96x96x约有1x件．故，每天的盈利额 96x13x1AT1xAxxA. 296x96x96x2

综上，日盈利额T（元）与日产量x（件）的函数关系为：

3xxA, 1xc T296x0, xc

（2）由（1）知，当xc时，每天的盈利额为0．

3xA． 当1xc时，Tx296x令96xt，则096ct95．故

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1396t1441441471T96tA97tA972tAA02t2t2t2144，即t12即x88时，等号成立． t147所以（i）当c88时，Tmax． A（等号当且仅当x88时成立）

2 （ii） 当1c88时，由1xc得1296ct95，

144易证函数gtt在t(12,)上单调递增（证明过程略）．

t．当且仅当t

所以，g(t)g96c．所以，

1441c2c214414411T97tA0， A9796cA2t296c1922c即Tmax1441c2c2（等号当且仅当xc时取得） A．

1922c综上，若88c96，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若1c88，则当日产量为c时，可获得最大利润．

点评 分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待．

例６ 设二次函数f(x)x2bxc(b,cR)，已知不论α，β为何实数，恒有

f(sin)0和f(2cos)0.

（1）求证：bc1;

（2）求证：c3;

（3）若函数f(sin)的最大值为8，求b，c的值．

讲解 （1）由f(x)x2bxc(b,cR)产生b+c，只要消除差异x，这可令x1.

1sin1且f(sin)0恒成立,f(1)0.

12cos3且f(2cos)0恒成立,f(1)0.

从而知 f(1)0.1bc0.即bc1. （2）由

f(2cos)0,知f(3)0,93bc0.

又因为bc1.c3.

（3）f(sin)sin2(1c)sinc(sin1c21c2)c(), 22中小学课外辅导机构 http://www.zgjhjy.com

当sin1时,[f(sin)]max8. 由1bc8,1bc0. 解得 b4,c3.

点评 注意：ab且abab, 这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视.

12x(n1)xanx例７ 设f(x)=lg,aR, nN且n2.若f(x)当x(-,1)有

n意义，求a的取值范围．

xxx讲解 f(x)当x(-,1)有意义，当且仅当1＋2＋…＋(n-1)＋an>0 对x(-,1)恒成立．即函数

g(x)=()＋()＋…＋(1nx2nxn1x)＋a>0 n对于任意的x(-,1)恒成立．

因为g(x)在(-,1)上是减函数，其最小值为g(1)= a，

所以g(x) >0对x(-,1)恒成立的充要条件是

12n11＋＋…＋＋a=(n－1)＋nnn2n11n＋a>0，即a>． 22故所求实数a的范围为（

1n，+）． 2点评 构造函数是应用函数思想解题的基础，怎么构造，构造怎样的函数完全因题而定．请读者注意，恒成立问题在高考中多次出现，其解题方法，很值得探究．

例８ 函数f(x)是定义在［0，1］上的增函数，满足f(x)2f()且f(1)1，在每个区间(一部分．

（１）f(0)及f()，f()的值，并归纳出f( （２）直线xx211,]（i1，2……）上，yf(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的2i2i1121411)(i1,2,)的表达式; i21，xi1，x轴及yf(x)的图象围成的矩形的面积为ai（i1，2i2中小学课外辅导机构 http://www.zgjhjy.com

2……），记S(k)lim(a1a2an)，求S(k)的表达式，并写出其定义域和最小值．

n讲解 （１）为了求f(0)，只需在条件f(x)2f()中，令x0，即有 f(0)2f(0)，得f(0)0．

x21111f(1)．

2222111 同理，f()f()．

422411 归纳得f(i)i(i1,2,)．

2211 （２）ixi1时,

2211 f(x)i1k(xi1)

221111111 ai[i1i1k(ii1)](i1i)

2222222k (1)2i1(i1,2,).

421k1 故 {an}是首项为(1)，公比为的等比数列,

2441k(1)42(1k). 所以 S(k)lim(a1a2an)2n134141 S(k)的定义域为0k1，当k1时取得最小值.

2 由f(1)2f()及f(1)1，得f()点评 本题是２００４年北京高考数学第１８题，将函数与数列综合在一起，体现了数学知识交汇性，是一道既知识、又考能力的活题．  针对性演练

１．合P若aP，bP，则abP，则运算可能是 （ ） 1,4,9,16,，

(A)加法

(B)减法

(C) 除法

(D)乘法

B{1,0,1}，２．已知集合A{1,2,3}，则满足条件f(3)f(1)f(2)的映射f:AB的个数是 ( )

（A）2 （B）4 （C）5 （D）7

３．某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了. 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是 ( )

体温(℃) 体温(℃) 体温(℃) 体温(℃) 37 http://www.zgjhjy.com 37 37 37中小学课外辅导机构 0 6 121824 时 0 6 121824 时 0 6 121824 时

0 6 121824 时

(A ) (B) (C) (D)

４．定义两种运算：aba2b2，ab(ab)2，则函数f(x)2x为（ ）

(x2)2（A）奇函数 （B）偶函数

（C）奇函数且为偶函数 （D）非奇函数且非偶函数

５．偶函数f(x)loga|xb|在(,0)上单调递增，则f(a1)与f(b2)的大小关系是

（A）f(a1)f(b2)

（B）f(a1)f(b2)

( )

（C）f(a1)f(b2) （D）f(a1)f(b2)

６．已知函数yf(x),xD,yR，且正数C为常数．对于任意的x1D，存在一个

x2D，使

fx1fx2C，则称函数yf(x)在D上的均值为C. 试依据上述定义，

写出一个均值为９的函数的例子：________________.

7. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶。请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？

８．已知yf(x)定义域为R，且对任意的x、yR，恒有f(xy)f(x)f(y)，x1时，f(x)0．

1（１）求f(1)的值，并证明f()f(x)；

x（２）求证：在yf1(x)的定义域内恒有f1(x1x2)f1(x1)f1(x2)． ９．已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：

（1）对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0； （2）f(1)=1

（3）若x10，x20，x1x21，则有f(x1x2)f(x1)f(x2) （Ⅰ）试求f(0)的值；

（Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；

（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有f(x)≤2x.. 10. 设a、b为常数，M{f(x)|f(x)acosxbsinx};F：把平面上任意一点

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（a，b）映射为函数acosxbsinx.

（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；

（2）证明：当f0(x)M时，f1(x)f0(xt)M，这里t为常数；

（3）对于属于M的一个固定值f0(x)，得M1{f0(xt),tR}，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？

答案：

１．D．２．D．３．C．４．A．５．D．6．f(x)9，f(x)9e， f(x)9a7．450．８．略． ９．（I）令x1x20，

依条件（3）可得f(0+0) ≥f(0)+f(0)，即f(0) ≤0.

又由条件（1）得f(0) ≥0，则f(0)=0.

（Ⅱ）任取0x1x21，可知x2x1(0,1], 则f(x2)f[(x2x1)x1]f(x2x1)f(x1), 即f(x2)f(x1)f(x2x1)0，故f(x2)f(x1) 于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1 因此，当x=1时，f(x)有最大值为1， （Ⅲ）证明：

研究①当x(,1]时，f(x) ≤1<2x ②当x(0,]时，

首先，f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴f(x)显然，当x(xsinx（0a1）．

12121f(2x). 211,]时， 22211111f(x)f()f(2)f(1)成立.

222222,k112k2假设当x(111]f(x)时，有成立，其中k＝1，2，… kk2212k1那么当x(,]时，

f(x)f(12)k11111111f(2k1)f(k)kk1 2222222中小学课外辅导机构 http://www.zgjhjy.com

可知对于x(2,n1111]f(x)，总有，其中n=1，2，… nn22而对于任意x(0,]，存在正整数n，使得x(此时f(x)1212,n11]， n212x, n2③当x=0时，f(0)=0≤2x..

综上可知，满足条件的函数f(x)，对x∈[0，1]，总有f(x) ≤2x成立.

10. (1)假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即F(a,b)acosxbsinx与F(c,d)ccosxdsinx相同，

即 acosxbsinxccosxdsinx对一切实数x均成立。

特别令x=0，得a=c；令x2，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假

设不成立.

故不存在两个不同点对应同函数。

（2）当f0(x)M时，可得常数a0，b0，使f0(x)a0cosxb0sinx

f1(x)f0(xt)a0cos(xt)b0sin(xt) (a0costb0sint)cosx(b0costa0sint)sinx。

由于a0,b0,t为常数，设a0costb0sintm,b0costa0sintn,则m,n是常数. 从而f1(x)mcosxnsinxM。

（3）设f0(x)M，由此得f0(xt)mcosxnsinx （其中ma0costb0sint，nb0costa0sint） 在映射F下，f0(xt)的原象是（m，n），则M1的原象是

{(m,n)|ma0costb0sint,nb0costa0sint,tR}

22222222消去t得mna0b0，即在映射F下，M1的原象{(m,n)|mna0b0}是以原点为圆心，a0b0为半径的圆．

22中小学课外辅导机构 http://www.zgjhjy.com