2021-2022学年广东省佛山市高一(上)期末数学试卷(附详解)
2021-2022学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 设集合𝐴={1,2,3}，𝐵={2,3,4}，则𝐴∩𝐵=( )
A. {2} B. {2,3} C. {3,4} D. {1,2,3,4}
2. 下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,+∞)上递增的是( )
A. 𝑦=2|𝑥| B. 𝑦=𝑙𝑛𝑥
C. 𝑦=𝑥3
1
D. 𝑦=𝑥+𝑥 1
3. 已知点𝑃(𝑡𝑎𝑛𝜃,𝑠𝑖𝑛𝜃)是第三象限的点，则𝜃的终边位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知𝑎，𝑏∈𝑅，“𝑎>𝑏”是“𝑙𝑔𝑎>𝑙𝑔𝑏”的( )
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
5. 已知𝑥>−2，则𝑥+𝑥+2的最小值为( )
4
B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
A. 2 B. 3
3
C. 4 D. 5
6. 设𝑎=log32，𝑏=log43，𝑐=4，则( )
A. 𝑐<𝑎<𝑏 B. 𝑏<𝑎<𝑐 C. 𝑏<𝑐<𝑎 D. 𝑎<𝑐<𝑏
7. 设函数𝑓(𝑥)的定义域为𝐷，若存在𝑥0∈𝐷，使得𝑓(𝑥0)=𝑥0成立，则称𝑥0是函数𝑓(𝑥)
的一个不动点，下列函数存在不动点的是( )
A. 𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥 C. 𝑓(𝑥)=−|𝑥−2|
B. 𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥+3 D. 𝑓(𝑥)=𝑙𝑔𝑥+3𝑥−6
8. 为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40𝐿的桶中盛满纯药液，第一次将
桶中药液倒出𝑉𝐿用水补满，搅拌均匀，第二次倒出5𝑉𝐿后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则𝑉的最小值为( )
4
A. 5
B. 10 C. 15 D. 20
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 设𝑎，𝑏，𝑐∈𝑅，且𝑏<𝑎<0，则下列结论一定正确的是( )
A. 𝑏>𝑎 𝜋
1
11
B. 𝑎𝑐2>𝑏𝑐2 C. 𝑎2>𝑏2 D. 𝑎𝑏>𝑎+𝑏
10. 已知cos(6+𝛼)=3，则( )
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2√2 A. sin(𝜋+𝛼)=63
B. cos(6−𝛼)=−3 D. 角𝛼可能是第二象限角
5𝜋1
C. sin(3−𝛼)=3
𝜋1
11. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+ln(2𝑒−𝑥)，则( )
A. 𝑓(𝑥)≤2
C. 𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=𝑒对称
2
B. 𝑓(𝑥)在(0,2𝑒)上单调递增 D. 𝑓(𝑥)的图象关于点(𝑒,1)对称
1−|𝑥−2|,1≤𝑥≤3
12. 已知函数𝑓(𝑥)={1，则下列说法正确的是( )
𝑓(𝑥−2),𝑥>3
A. 𝑓(6)=4 B. 关于𝑥的方程2𝑛𝑓(𝑥)=1(𝑛∈𝑁∗)有2𝑛+3个不同的解 C. 𝑓(𝑥)在[2𝑛,2𝑛+1](𝑛∈𝑁∗)上单调递减 D. 当𝑥∈[1,+∞)时，𝑥𝑓(𝑥)≤2恒成立．
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 求值：4𝑙𝑜𝑔23+lg4−𝑙𝑔25=______．
14. 已知某扇形的弧长为2𝜋，面积为3𝜋，则该扇形的圆心角(正角)为______． 15. 已知𝑓(𝑥)=(𝑥2+2𝑥)(𝑥2+𝑎𝑥+𝑏)，若对一切实数𝑥，均有𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)，则
𝑓(3)=______．
16. 2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号𝐹遥十三运载火箭，
在酒泉卫星发射中心点火升空．约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比．已知某火箭的箭体质量为𝑚𝑘𝑔，当燃料质量为𝑚𝑘𝑔时，该火箭的最大速度为2𝑙𝑛2𝑘𝑚/𝑠，当燃料质量为𝑚(𝑒−1)𝑘𝑔时，该火箭最大速度为2𝑘𝑚/𝑠.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9𝑘𝑚/𝑠，则燃料质量是箭体质量的______倍．(参考数据：√𝑒7.9≈52)
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知集合𝐴={𝑥|𝑎−1<𝑥<2𝑎+1}，𝐵={𝑥|𝑥2−6𝑥+5<0}．
(1)若𝐴=𝐵，求实数𝑎的值；
(2)若𝐴∩𝐵=⌀，求实数𝑎的取值范围．
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1
1
18. 如图，角𝛼的终边与单位圆交于点𝑃(𝑥,
(1)求𝑡𝑎𝑛𝛼； (2)求
cos(−𝛼)−cos(𝛼+3𝜋)sin(+𝛼)+sin(−𝛼)
𝜋2𝜋2
3√10
)，且𝑥10
<0．
．
19. 已知函数𝑓(𝑥)=
2𝑥−12𝑥+1
．
(1)判断𝑓(𝑥)的奇偶性，并证明；
(2)判断𝑓(𝑥)的单调性，并用定义加以证明； (3)若𝑓(𝑙𝑛2−𝑡)+𝑓(2𝑡)<0，求实数𝑡的取值范围．
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20. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种
绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1𝑚𝑖𝑛测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间/𝑚𝑖𝑛 水温/℃ 0 85.00 1 79.00 2 73.60 3 68.74 4 64.36 5 60.42 设茶水温度从85℃开始，经过𝑡𝑚𝑖𝑛后温度为𝑦℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择： ①𝑦=𝑘𝑎𝑡+𝑏；②𝑦=𝑎𝑡2+𝑏𝑡+𝑐．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；
(2)若茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感，根据(1)中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(参考数据：𝑙𝑔2≈0.30，𝑙𝑔3≈0.48)
2𝑥+1−4,𝑥<𝑎2
21. 设𝑎∈𝑅，函数𝑓(𝑥)={2．
𝑥−5𝑎𝑥+6𝑎2,𝑥≥𝑎2
(1)当𝑎=2时，写出𝑓(𝑥)的单调区间(不用写出求解过程)； (2)若𝑓(𝑥)的有两个零点，求𝑎的取值范围．
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22. 已知函数𝑓(𝑥)=ln(𝑥+1−1)(其中𝑚∈𝑅且𝑚≠0)是奇函数．
(1)求𝑚的值；
(2)若对任意的𝑥∈[𝑙𝑛2,𝑙𝑛4]，都有不等式𝑓(𝑒𝑥)−𝑥+𝑙𝑛𝑘≥0恒成立，求实数𝑘的取值范围．
𝑚𝑥
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答案和解析
1.【答案】𝐵
【解析】解：∵𝐴={1,2,3}，𝐵={2,3,4}， ∴𝐴∩𝐵={2,3}． 故选：𝐵．
进行交集的运算即可．
本题考查了列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴.函数𝑦=2|𝑥|为偶函数，不满足条件．
B.函数的定义域为(0,+∞)，函数为非奇非偶函数，不满足条件． C.𝑦=𝑥3是奇函数，在(0,+∞)上递增，满足条件．
D.𝑦=𝑥+𝑥是奇函数，当0<𝑥<1时函数为减函数，当𝑥>1时函数为增函数，不满足条件． 故选：𝐶
根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．
1
1
3.【答案】𝐷
【解析】解：∵点𝑃(𝑡𝑎𝑛𝜃,𝑠𝑖𝑛𝜃)在第三象限， ∴{
tan𝜃<0
，∴𝜃在第四象限．
sin𝜃<0
故选：𝐷．
由于点𝑃(𝑡𝑎𝑛𝜃,𝑠𝑖𝑛𝜃)在第三象限，可得{
tan𝜃<0
，即可得出．
sin𝜃<0
本题考查了三角函数值的符号与角的关系，属于基础题．
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4.【答案】𝐵
【解析】解：𝑎>𝑏但𝑎，𝑏若不是正数，则𝑙𝑔𝑎，𝑙𝑔𝑏没有意义，
若𝑙𝑔𝑎>𝑙𝑔𝑏，则根据对数函数𝑦=𝑙𝑔𝑥在定义域内单调递增可知𝑎>𝑏>0， ∴𝑎>𝑏是𝑙𝑔𝑎>𝑙𝑔𝑏的必要不充分条件， 故选B．
根据对数函数𝑦=𝑙𝑔𝑥在定义域内单调递增可知𝑎>𝑏>0⇔𝑙𝑔𝑎>𝑙𝑔𝑏，从而可判断． 本题主要考查了对数函数的定义域及对数函数的单调性的应用，解题中一定要注意对数的定义域的限制，而本题𝑎>𝑏不能推出𝑙𝑔𝑎>𝑙𝑔𝑏即是因为定义域的限制条件要求𝑎>𝑏>0．
5.【答案】𝐴
【解析】解：∵𝑥>−2，∴𝑥+2>0， ∴𝑥+𝑥+2=𝑥+2+𝑥+2−2≥2√4−2=2， 当且仅当𝑥+2=𝑥+2，即𝑥=0时取等号， ∴𝑥+
4𝑥+2
4
4
4
的最小值为2，
故选：𝐴．
利用配凑法，再结合基本不等式求最值即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
6.【答案】𝐷
162【解析】解：由题意，可得4𝑎=4𝑙𝑜𝑔32=𝑙𝑜𝑔3=𝑙𝑜𝑔3<𝑙𝑜𝑔327=3，可得𝑎<4；
4
3
又4𝑏=4𝑙𝑜𝑔43=log481>log464=3，可得𝑏>4， 综上得𝑎<𝑐<𝑏， 故选：𝐷．
三个数𝑎，𝑏，𝑐太接近，不易找中间量比较大小，可采取放大法，比较4𝑎，4𝑏，4𝑐的大小，从而得出答案
本题考查对数值大小的比较，此类题一般借助单调性进行比较，由于本题中三个数太接
3
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近，不好直接比较，转化为它们的四倍进行比较是解答本题的关键．
7.【答案】𝐷
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于𝐴，𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥，若𝑓(𝑥)=𝑥，即2𝑥+𝑥=𝑥，变形可得2𝑥=0，方程无解，不存在不动点；
对于𝐵，𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥+3，若𝑓(𝑥)=𝑥，即𝑥2−𝑥+3=𝑥，变形可得𝑥2−2𝑥+3=0，方程无解，不存在不动点；
𝑥−(𝑥−2)=0对于𝐶，𝑓(𝑥)=−|𝑥−2|，若𝑓(𝑥)=𝑥，变形有𝑥+|𝑥−2|=0，即{或
𝑥<2𝑥+𝑥−2=0{，方程无解，不存在不动点； 𝑥≥2
𝑓(𝑥)=𝑙𝑔𝑥+3𝑥−6，对于𝐷，若𝑓(𝑥)=𝑥，即𝑙𝑔𝑥+2𝑥−6=0，设𝑔(𝑥)=𝑙𝑔𝑥+2𝑥−6，有𝑔(1)=−4<0，𝑔(3)=𝑙𝑔3>0，
则函数𝑔(𝑥)在区间(1,3)上存在零点，即方程𝑓(𝑥)=𝑥有解，存在不动点． 故选：𝐷．
根据题意，依次分析选项中函数是否存在不动点，综合可得答案． 本题考查函数与方程的关系，注意“不动点”的定义，属于基础题．
8.【答案】𝐷
【解析】解：第一次稀释后，桶中药液含量为40−𝑉， 第二次稀释后，桶中药液含量为40−𝑉−5𝑉×
4
40−𝑉40
，
∵第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%， ∴40−𝑉−𝑉×
54
40−𝑉40
≤60%𝑉，
化简得𝑉2−120𝑉+2000≤0， 解得20≤𝑉≤100， ∴𝑉的最小值为20， 故选：𝐷．
根据题意可得第二次稀释后，桶中药液含量为40−𝑉−5𝑉×
4
4
40−𝑉40
，所以40−𝑉−
𝑉×5
40−𝑉40
≤60%𝑉，从而解出𝑉的取值范围，得到𝑉的最小值．
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本题主要考查了函数的实际应用，考查了解一元二次不等式，属于基础题．
9.【答案】𝐴𝐷
【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于𝐴，𝑏<𝑎<0，则𝑏−𝑎=
1
1
𝑎−𝑏𝑎𝑏
>0，则有𝑏>𝑎，A正确；
11
对于𝐵，当𝑐=0时，𝑎𝑐2=𝑏𝑐2，B错误；
对于𝐶，𝑏<𝑎<0，𝑎2−𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)<0，则𝑎2<𝑏2，C错误， 对于𝐷，𝑏<𝑎<0，则𝑎𝑏>0>𝑎+𝑏，D正确； 故选：𝐴𝐷．
根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合可得答案． 本题考查不等式的基本性质，可以用排除法分析，属于基础题．
10.【答案】𝐵𝐶
【解析】解：因为cos(6+𝛼)=3，则cos(6+𝛼)可能取负数，A错误； cos(6−𝛼)=cos[𝜋−(6+𝛼)]=−cos(6+𝛼)=−3，B正确； sin(−𝛼)=cos(+𝛼)=，C正确；
363若𝛼是第二象限角，则3+2𝑘𝜋<𝛼+6<错误． 故选：𝐵𝐶．
cos(+𝛼)可能取负数，可判断选项A；
6𝜋
2𝜋
𝜋
7𝜋6
𝜋
𝜋
1
5𝜋
𝜋
𝜋
1
𝜋
1
𝜋
+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，此时，cos(6+𝛼)<0，D
𝜋
cos(
5𝜋6
−𝛼)=cos[𝜋−(+𝛼)]=−cos(+𝛼)，可判断选项B；
6
6
𝜋
𝜋𝜋
sin(3−𝛼)=cos(6+𝛼)，可判断选项C； 若𝛼是第二象限角，则3+2𝑘𝜋<𝛼+6<断选项D．
本题主要考查了诱导公式，同角基本关系在求解三角函数值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用．
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2𝜋
𝜋
7𝜋6
𝜋
+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，检验cos(6+𝛼)的正负可判
𝜋
11.【答案】𝐴𝐶
【解析】解：由题意得，0<𝑥<2𝑒， 𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+ln(2𝑒−𝑥)=𝑙𝑛𝑥(2𝑒−𝑥)，
令𝑔(𝑥)=𝑥(2𝑒−𝑥)，根据二次函数的性质可知，𝑔(𝑥)在(0,𝑒]上单调递增，(𝑒,2𝑒)上单调递减，
所以当𝑥=𝑒时，𝑔(𝑥)取得最大值𝑒2，此时𝑓(𝑥)取得最大值2，A正确，B错误； 因为𝑓(2𝑒−𝑥)=ln(2𝑒−𝑥)+𝑙𝑛𝑥=𝑓(𝑥)， 所以𝑓(𝑥)的图象关于𝑥=𝑒对称，C正确，D错误． 故选：𝐴𝐶．
结合二次函数的性质先检验选项A，𝐵，结合对称性检验选项C，𝐷即可判断． 本题综合考查了函数性质的应用，解题的关键是函数性质的熟练掌握，属于中档题．
12.【答案】𝐴𝐶𝐷
1−|𝑥−2|,1≤𝑥≤3
【解析】解：画出函数𝑓(𝑥)={1的图象，如图所示：
𝑓(𝑥−2),𝑥>3
2
计算𝑓(6)=2𝑓(4)=2×2𝑓(2)=4×(1−|2−2|)=4，选项A正确；
𝑛=2时，方程2𝑛𝑓(𝑥)=1可化为𝑓(𝑥)=2𝑛(𝑛∈𝑁∗)，则𝑛=1时，方程有3个不同的解，方程有5个不同的解，
由此得出方程2𝑛𝑓(𝑥)=1(𝑛∈𝑁∗)有2𝑛+1个不同的解，选项B错误； 由图象知，𝑓(𝑥)在[2𝑛,2𝑛+1](𝑛∈𝑁∗)上单调递减，选项C正确； 当𝑥∈[1,+∞)时，𝑥𝑓(𝑥)≤2可化为𝑓(𝑥)≤𝑥，
等价于2𝑛−1≤2𝑛，𝑛∈𝑁∗，即2𝑛−1≤𝑛，𝑛∈𝑁∗恒成立，所以选项D正确．
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1
2
1
1
2
1
11111
故选：𝐴𝐶𝐷．
画出函数𝑓(𝑥)的图象，结合图象，对选项中的命题真假性判断即可．
本题考查了分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了分析与判断能力，是中档题．
13.【答案】7
【解析】解：原式=4𝑙𝑜𝑔49−𝑙𝑔4−𝑙𝑔25=9−(𝑙𝑔4+𝑙𝑔25)=9−𝑙𝑔100=9−2=7． 故答案为：7．
利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：∵扇形的弧长为2𝜋，面积为3𝜋， ∴3𝜋=×2𝜋×𝑟，∴𝑟=3，
21
2𝜋
∴该扇形的圆心角(正角)为3 故答案为：3．
利用弧长公式与扇形的面积计算公式求解即可．
本题考查了弧长公式与扇形的面积计算公式，属于基础题．
2𝜋
2𝜋
15.【答案】−15
【解析】解：因为𝑓(𝑥)=(𝑥2+2𝑥)(𝑥2+𝑎𝑥+𝑏)对一切实数𝑥，均有𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)， 所以𝑓(𝑥)的图象关于𝑥=1对称，则函数的零点也关于𝑥=1对称， 由𝑓(𝑥)=0可得𝑥=0或𝑥=−2或𝑥2+𝑎𝑥+𝑏=0， 则𝑥2+𝑎𝑥+𝑏=0的解为𝑥=2或𝑥=4，
根据方程的根与系数关系得，𝑎=−6，𝑏=8，𝑓(𝑥)=(𝑥2+2𝑥)(𝑥2−6𝑥+8)， 则𝑓(3)=−15． 故答案为：−15．
𝑏，由已知得𝑓(𝑥)的图象关于𝑥=1对称，则函数的零点也关于𝑥=1对称，从而可求出𝑎，进而可求函数解析式，代入即可求解函数值．
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本题主要考查了函数值的求解，解题的关键是由已知确定出函数的对称性，进而根据对称性求出𝑎，𝑏的值，属于中档题．
16.【答案】51
【解析】解：设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为𝑘，
则2−2𝑙𝑛2=𝑘{[ln[(𝑚+𝑚(𝑒−1)]−ln(𝑚+𝑚)}, 整理的2−2𝑙𝑛2=𝑘𝑙𝑛2=𝑘(1−𝑙𝑛2)， ∴𝑘=2，
设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9𝑘𝑚/𝑠时，燃料质量是箭体质量的𝑎倍， 则7.9−2=2{ln(𝑎𝑚+𝑚)−ln[𝑚+𝑚(𝑒−1)]}， ∴7.9−2=2𝑙𝑛
𝑎+1𝑒
𝑒
=2[ln(𝑎+1)−1]，
∴2𝑙𝑛(𝑎+1)=7.9，即ln(𝑎+1)2=7.9， ∴(𝑎+1)2=𝑒7.9， ∴𝑎+1=√𝑒7.9≈52， ∴𝑎≈51，
即燃料质量是箭体质量的51倍， 故答案为：51．
设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为𝑘，根据题意可求得𝑘=2，设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9𝑘𝑚/𝑠时，燃料质量是箭体质量的𝑎倍，则7.9−2=2{ln(𝑎𝑚+𝑚)−ln[𝑚+𝑚(𝑒−1)]}，结合对数的运算性质求出𝑎的值即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．
(1)因为𝐴={𝑥|𝑎−1<𝑥<2𝑎+1}，𝐵={𝑥|𝑥2−6𝑥+5<0}={𝑥|1<17.【答案】解：𝑥<5}，
𝑎−1=1若𝐴=𝐵，则{，
2𝑎+1=5所以𝑎=2； (2)若𝐴∩𝐵=⌀，
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当𝐴=⌀时，𝑎−1≥2𝑎+1，解得𝑎≤−2， 𝑎−1<2𝑎+1𝑎−1<2𝑎+1
当𝐴≠⌀时，{或{，
𝑎−1≥52𝑎+1≤1解得，𝑎≥6或−2<𝑎≤0，
综上，𝑎的取值范围为{𝑎|𝑎≥6或𝑎≤0}．
【解析】(1)先求出集合𝐵，然后结合集合相等条件可建立关于𝑎的方程，从而可求； (2)由已知结合集合定义对𝐴是否为空集分类讨论即可求解．
本题主要考查了集合相等条件的应用，还考查了集合的交集运算的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
1018.【答案】解：(1)∵角𝛼的终边与单位圆交于点𝑃(𝑥,3√)，且𝑥<0，
10
∴𝑥2+(
3√102
)10
3√1010√10−10√10=1，∴𝑥2=10，∴𝑥=−10，
1
∴𝑡𝑎𝑛𝛼=(2)
𝜋2
=−3．
=cos𝛼−sin𝛼=
𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑡𝑎𝑛𝛼+11−tan𝛼
cos(−𝛼)−cos(𝛼+3𝜋)
𝜋sin(+𝛼)+sin(−𝛼)
2
=−2．
1
【解析】(1)利用同角三角函数间的关系即可求解．
(2)先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的关系求值即可．
本题考查运用诱导公式化简求值，同角三角函数间的关系式的应用，是中档题．
19.【答案】解：(1)𝑓(𝑥)为奇函数，证明如下：
因为𝑓(𝑥)=𝑥的定义域𝑅，
2+1𝑓(−𝑥)=2−𝑥+1=1+2𝑥=−𝑓(𝑥)， 所以𝑓(𝑥)为奇函数，
(2)函数𝑓(𝑥)在𝑅上单调递增，证明如下： 𝑓(𝑥)=2𝑥+1=1−1+2𝑥， 设𝑥1<𝑥2，则2𝑥1<2𝑥2，
𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=1+2𝑥2−1+2𝑥1=(1+2𝑥1)(1+2𝑥2)<0， 所以𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)， 所以𝑓(𝑥)在𝑅上单调递增，
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2
2
2(2𝑥1−2𝑥2)
2𝑥−1
2
2−𝑥−1
1−2𝑥
2𝑥−1
(3)若𝑓(𝑙𝑛2−𝑡)+𝑓(2𝑡)<0，则𝑓(𝑙𝑛2−𝑡)<−𝑓(2𝑡)=𝑓(−2𝑡)， 所以𝑙𝑛2−𝑡<−2𝑡， 解得，𝑡<−𝑙𝑛2，
所以不等式的解集为{𝑡|𝑡<−𝑙𝑛2}．
【解析】(1)先求出函数的定义域，然后检验𝑓(−𝑥)与𝑓(𝑥)的关系即可判断； (2)分离变形得，𝑓(𝑥)=𝑥=1−，设𝑥1<𝑥2，则2𝑥1<2𝑥2，然后利用作差法比
2+11+2𝑥较𝑓(𝑥1)与𝑓(𝑥2)的大小关系即可判断； (3)结合已知函数的奇偶性及单调性即可求解．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断及利用奇偶性及单调性求解不等式，属于中档题．
2𝑥−1
2
20.【答案】解：(1)由表格中数据可知，随着时间𝑡的增加，茶水温度𝑦一直在降低，所
以函数①𝑦=𝑘𝑎𝑡+𝑏最符合实际的函数模型， 𝑘+𝑏=85
把表格中前3组数据代入得{𝑘𝑎+𝑏=79，
𝑘𝑎2+𝑏=73.6𝑎=0.9解得{𝑏=25，
𝑘=60
∴函数模型的解析式为𝑦=60×0.9𝑡+25． (2)由(1)知𝑦=60×0.9𝑡+25， 令𝑦=55得，60×0.9𝑡+25=55， 解得0．9𝑡=2，
两边同时取常用对数得：𝑙𝑔0.9𝑡=lg2， 所以𝑡=𝑙𝑔9−1=1−2𝑙𝑔3≈1−2×0.48=7.5，
故刚泡好的茶水大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感．
【解析】(1)因为随着时间𝑡的增加，茶水温度𝑦一直在降低，所以函数①𝑦=𝑘𝑎𝑡+𝑏最符合实际的函数模型，把表格中前3组数据代入𝑦=𝑘𝑎𝑡+𝑏，解出𝑎，𝑏，𝑘的值，即可得到函数模型的解析式．
(2)由(1)知𝑦=60×0.9𝑡+25，令𝑦=55求出𝑡的值即可．
本题主要考查了函数模型的选择，考查了对数的运算性质，同时考查了学生的计算能力，
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−𝑙𝑔2
𝑙𝑔2
0.30
1
1
属于中档题．
2𝑥+1−4,𝑥<4
， 21.【答案】解：(1)当𝑎=2时，𝑓(𝑥)={2
𝑥−10𝑥+24,𝑥≥4函数𝑓(𝑥)的单调递增区间为(−∞,4)，(5,+∞)，单调递减区间为(4,5)． 2𝑥+1−4,𝑥<𝑎2
(2)函数𝑓(𝑥)={2，
𝑥−5𝑎𝑥+6𝑎2,𝑥≥𝑎2
当𝑥≥𝑎2时，函数𝑓(𝑥)=𝑥2−5𝑎𝑥+6𝑎2是二次函数，对称轴为𝑥=2𝑎， ①当2𝑎≤𝑎2，即𝑎≤0或𝑎≥2时， 𝑓(𝑥)在[𝑎2,+∞)上单调递增，
又∵当𝑥→−∞时，𝑓(𝑥)→−4；当𝑥→+∞时，𝑓(𝑥)→+∞，
𝑎+1
∴要使𝑓(𝑥)有两个零点，则{22−4>0，
𝑓(𝑎)<0
2
5
55
解得2<𝑎<3， ∴≤𝑎<3；
25
②当2𝑎>𝑎2即0<𝑎<2时， 𝑓(𝑥)在(−∞,𝑎2)上单调递增，在(𝑎2,
5𝑎
55
)上单调递减，在(,+∞)上单调递增， 22
5𝑎
当𝑥→−∞时，𝑓(𝑥)→−4；当𝑥→+∞时，𝑓(𝑥)→+∞，
2𝑎+1−4≤02𝑎+1−4>02𝑎+1−4>0222
要使𝑓(𝑥)有两个零点，则{𝑓(𝑎)>0或{𝑓(𝑎)<0或{𝑓(𝑎)≥0，
5𝑎5𝑎5𝑎𝑓(2)=0𝑓(2)<0𝑓(2)<0解得2<𝑎<3或−1≤𝑎≤1， 又∵0<𝑎<2，
∴2<𝑎<或0<𝑎≤1，
2
综上所述，𝑎的取值范围为(0,1]∪(2，3)．
2𝑥+1−4,𝑥<4
【解析】(1)当𝑎=2时，𝑓(𝑥)={2，结合指数函数和二次函数的性
𝑥−10𝑥+24,𝑥≥4质即可得到𝑓(𝑥)的单调区间．
(2)当𝑥≥𝑎2时，函数𝑓(𝑥)=𝑥2−5𝑎𝑥+6𝑎2是二次函数，对称轴为𝑥=2𝑎，对对称轴的位置分两种情况讨论，结合指数函数和二次函数的性质，分别列出𝑓(𝑥)有两个零点时满足的不等式，从而求出𝑎的取值范围．
本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的单调性，是函数图象和性质的综合应
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5
55
2
2
2
用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为函数𝑓(𝑥)=ln(𝑥+1−1)是奇函数，
所以𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，
即ln(−𝑥+1−1)=−ln(𝑥+1−1)， 即ln
−𝑚𝑥+𝑥−1−𝑥+1−𝑚𝑥+𝑥−1−𝑥+1−𝑚𝑥
𝑚𝑥
𝑚𝑥
=ln
𝑥+1
𝑚𝑥−𝑥−1
，
所以
=𝑚𝑥−𝑥−1，
𝑥+1
整理得𝑥2=(𝑚−1)2𝑥2，
所以(𝑚−1)2=1，解得𝑚=0或𝑚=2， 当𝑚=0时，显然不成立，
当𝑚=2时，𝑓(𝑥)=ln𝑥+1，由𝑥+1>0，可得𝑥<−1或𝑥>1， 𝑓(−𝑥)=ln
−𝑥−1−𝑥+1
𝑥−1
𝑥−1
=ln
𝑥+1𝑥−1
=−ln
𝑥−1𝑥+1
=−𝑓(𝑥)，满足𝑓(𝑥)是奇函数，
所以𝑚=2．
(2)因为对任意的𝑥∈[𝑙𝑛2,𝑙𝑛4]，都有不等式𝑓(𝑒𝑥)−𝑥+𝑙𝑛𝑘≥0恒成立， 所以ln𝑥−𝑥+𝑙𝑛𝑘≥0，即ln𝑥−𝑙𝑛𝑒𝑥+𝑙𝑛𝑘≥0在𝑥∈[𝑙𝑛2,𝑙𝑛4]上恒成立，
𝑒+1𝑒+1即𝑘≥
𝑒𝑥(𝑒𝑥+1)𝑒𝑥−1𝑒𝑥−1
𝑒𝑥−1
在𝑥∈[𝑙𝑛2,𝑙𝑛4]上恒成立，
令𝑡=𝑒𝑥−1，𝑡∈[1,3]， 所以
𝑒𝑥(𝑒𝑥+1)𝑒𝑥−1
=
2
(𝑡+1)(𝑡+2)
𝑡
=𝑡+𝑡+3，
2
令𝑔(𝑡)=𝑡+𝑡+3，𝑡∈[1,3]，
则𝑔(𝑡)在[1,√2]上单调递减，在[√2,3]上单调递增， 因为𝑔(1)=6，𝑔(3)=
203
，
20
所以𝑔(𝑡)在[1,3]上的最大值为3， 所以𝑘≥
203
，
20
即𝑘的取值范围是[3,+∞)．
【解析】(1)由奇函数的性质即可求解𝑚的值； (2)利用参变量分离法可得𝑘≥
𝑒𝑥(𝑒𝑥+1)𝑒𝑥−1
在𝑥∈[𝑙𝑛2,𝑙𝑛4]上恒成立，利用换元法及对勾函数
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的性质求出
𝑒𝑥(𝑒𝑥+1)𝑒𝑥−1
的最大值，即可求解𝑘的取值范围．
本题主要考查奇函数的性质，不等式恒成立求参数问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
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